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模型之二：复利计算的数学模型一、单利和复利单利 在贷款过程中，本期利息不转入下期本金的计算利息方法称为单利法。利息与本金之比称为利率。以 表示本金，表示利息，利率记为 ，则有。若贷款时间为 期，则单利计算公式为：例1 50000 元存了 5 个月得利息 1400元，单利计算，求月利率。解 已知 , , 。 从上式解出 ，得 即月利率为 5 厘 6 。 复利 在贷款一期之末结息一次，并将利息转入本金，即该利息与本金一起作为下一期本金产生利息， 这种计息方法称为复利。记本利和为 ，。第 2 期末的本利和为，第 3 期末的本利和为： ，第 期末的本利和为：。贷款 期的利息为： 。例2 若本金为 700 元，年利率为 10，复利计算。为得本利和 1240 元，求存期。解 在等式 两边取常用对数得 ， 已知 , , , 从上式解出 , 得 年，即为得本利和 1240 元，需存 6 年。二、货币的时间价值（现值和终值） 货币用来投资，随着时间的推移会产生收益，从而使货币增值，这就是货币的时间价值。由于银行利率由经济发展的各种因素综合确定，因此，通常用银行利率来计算货币的时间价值。终值和现值是刻画货币时间价值的两个概念。 在复利计算公式 中， 称为 期末 的终值，表示现在的 元到 期末将变为 元 。反过来， 期末的 元相等于现在的 元， 和 的关系为 。称为 的现值。 例3 公司欲进行厂房投资，厂房价格为 万元。据预测，厂房 3 年后的价格将为 27 万元，银行年利率为 ，试问此项投资是否合算。解法一计算 3 年后 万元的现值，即现值低于投资，投资不合算。解法二 计算 3 年后的终值。万元，即存银行收益率超过房屋投资的收益，该房屋投资是不可行的。两种解法的结论一致。三、周期支付和偿还问题按终值计算法： 设在每期初支付（或偿还）的金额为一固定数 ，每期的利率为 ，记第 期末时总共支付（或偿还）的总金额的终值为 ，则有： 利用等比级数求和公式，。 若支付（或偿还）发生在每期的期末，记第 期末时总共支付（或偿还）的总金额的终值为 。因为每期的支付（或偿还）都要少记一期的利息，应有 ， 利用等比级数求和公式，。按现值计算法：由于在第 期末数量为 的货币相当于现值为 的货币，把上述相应的终值公式改变后可以得到相应的现值公式。 在每期初支付（或偿还）金额为一固定数 ，到第 期末时总共支付（或偿还）的总金额的现值记为 ，则有 。 在每期末支付（或偿还）金额为一固定数 ，到 期期末时总共支付（或偿还）的总金额的现值记为 ，则有 。例4商店用分期付款的方式吸引顾客购买电视机。一种售价为 3000 元的电视机，若购买时首次付 500 元，以后每隔一个月付款一次，每次付款数一样，一年内付清全部款项，每月应定为付款多少？银行贷款月利率为 1.2 设为不变。分析和求解分析 首次付款后的 12 次付款可以看作发生在期末、付款数相同的 12 次周期付款。支付的总金额的现值应该等于首次支付后的货款余额 。求解 按上述 公式计算，应有 。 解得 ，即每月应支付 225 元。例5诺贝尔奖金金额 A诺贝尔（ Alfred Bernhard Nobel(18331896)）把他留下的大部分财产投资于安全证券构成基金，其利息以奖金方式奖给对人类作出了最有益贡献的人。现在诺贝尔奖分为 6 项：物理学、化学、文学、经济学、生理学和医学以及和平奖。诺贝尔留作基金的总额为 850 万美元，随着物价的上涨，颁发给受奖人的奖金金额正逐步提高。1998 年诺贝尔奖每项奖金金额为 98.7 万美元。问诺贝尔奖基金的利率是多少？分析和求解分析 诺贝尔基金会开始时的投资总额为 850 万美元，为了增加资金总额应以复利形式投资，才能支付日益增加的奖金金额。为了简化问题，作以下假设：假设一 每年平均复利率不变为。假设二 每年发放奖金的总额是该年所获利息的一半，另一半利息用于增加基金资金总额。假设三 1896 年记作 0 年，1897 年起作为奖金颁发的第一年，以后每年颁发奖金一次。由假设三，1998 年为第 102 年。建立模型 设 表示第 年资金的总额。第 年的本金和按利率 计算应为 ，其中利息 的一半作为第 年颁发的奖金，余下的总金额归入第 年的基金总额 ，因而得 由 1998 年 的奖金数，得 。求解 可通过叠代法解。有我们用编写下面 Matlab 程序来求方程的根。方法一：用for循环（缺点是循环次数自己要先估计）clearformat shortyy(1)=0.95for i=1:50 z=log(1.3934/yy(i)/102; yy(i+1)=2*(exp(z)-1); if abs(yy(i+1)-yy(i)=0.000001 i=i+1; z=log(1.3934/yy(i)/102; yy(i+1)=2*(exp(z)-1);endyyy=yy(i+1);yyy验证 利用求得的 可算出各年份的诺贝尔奖的金额，这样的计算结果与实际基本相符合。以下程序可再现 P28页的表格：clearformat short gyyy =0.0620year=zeros(102,1);bj=zeros(102,1);jj=zeros(102,1);year(1)=1896;bj(1)=850;for i=1:102 year(i+1)=year(i)+ 1; bj(i+1)=(1+yyy)*bj(i)-yyy/2*bj(i); jj(i+1)=yyy/2*bj(i+1)/6;endyear,bj,jj年份资金总额估计值(万美元)每项诺贝尔奖的金额(万美元)1960599331.01970813242.019801103357.019901497177.319981911098.7200020339 105.1201027600 142.6201229338 151.6注：2012年诺贝尔奖每项奖金为1000万瑞典克朗（包括我国莫言的文学奖：约合937万人民币，约合148万美元，非常接近表格内的数字）。例6房屋贷款偿还问题 为了促进个人住房商品化的进程，我国 1999 年元月公布了个人住房公积金贷款利率如下表所示。贷款期限 （年数）公积金贷款月利率（）13.5423.6333.7243.7853.8763.9674.0584.1494.2075104.275114.365124.455134.545144.635154.725 王先生家要购买一套商品房，需要贷款公积金贷款 10 万元，分 12 年还清，贷款按月等额偿还。问： 王先生每月应还款多少？ 用列表方式给出每年年底王先生尚欠的款项。分析和求解假设假设一 王先生有足够的支付能力，可以及时按月等额偿还；假设二 在还款期间贷款利率不变。建立模型以 表示第 个月王先生尚欠的公积金金额（公积金贷款余额）， 每月的还款数记为 。第 个月王先生的公积金贷款余额 与第 个月的公积金贷款余额 的关系为。 (1)每月的公积金还款数可以按周期性还款公式计算。公积金贷款总额 ，月利率 ，还款次数 ，还款可视为发生在每期期末。由还款现值公式，应有 ，解得 。求解 方程(1)是一个差分方程，求解简单差分方程的一般方法可参考教材的第十四章，这里可用迭代法归纳出解为。完全类似地可以计算出王先生的商业贷款余额（书P31）：。由此可计算出王先生各月的公积金贷款余额如教材中第 32 页的表格第二列所示。完全类似地可计算出王先生各月的商业贷款余额如教材中第 32 页的表格第三列所示。我们可以用Matlab编程求解本问题，程序如下：clearformat short gyy1=0.004455; yy2=0.005025;B=942.34; C=1268.20;y0=100000; z0=150000;yr=zeros(15,1);y=zeros(15,1);z=zeros(15,1);for i=1:15 k=12*i; yr(i)=i; y(i)=(1+yy1)k*y0-(1+yy1)k-1)/yy1*B; if y(i)10 y(i)=0; end z(i)=(1+yy2)k*z0-(1+yy2)k-1)/yy2*C; if z(i)10 z(i)=0; endendyr,y,z,y+z下面是上述程序执行的结果，可以看到它与教材中第 32 页的表格十分吻合：第几年公积金贷款余额商业贷款余额总的贷款余额1938901.4365e+0052.3754e+0052874451.3691e+0052.2436e+0053806461.2975e+0052.104e+0054734751.2215e+0051.9563e+0055659121.1408