二项式定理(binomialtheorem).ppt

二项式定理 Binomial theorem,引入课题,今天是星期四，试问22012天之后是星期几呢？,引入课题,1.(ab)2和(ab)3展开后分别等于什么？,(ab)2a22abb2，,(ab)3a33a2b3ab2b3.,2.对于ab，(ab)2，(ab)3，(ab)4，(ab)5等代数式，数学上统称为二项式(binomial)，其一般形式为(ab)n（nN*）.由于在许多代数问题中需要将它展开，因此，研究(ab)n展开后的表达式的一般结构，就是一个具有重要意义的课题.,二项式定理,探究（一）：二项式定理,问题1：将(ab)2(ab)(ab)按多项式乘法法则展开，每个括号内各取一个数相乘得到展开式中的一项，根据分步计数原理，在合并同类项之前共有多少项？其中不取b，取一个b和一个a，取二个b的项数用组合数分别怎样表示？由此可得(ab)2的展开式是什么？,问题2：类似地，将(ab)3(ab) (ab)(ab)按多项式乘法法则展开，在合并同类项之前共有多少项？其中不取b，取一个b和二个a，取二个b和一个a，取三个b的项数用组合数分别怎样表示？由此可得(ab)3的展开式是什么？,问题3：在(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的展开式中，有哪几种形式的项？合并同类项之后各项的系数分别是什么组合数？由此可得(ab)4的展开式是什么？,问题4：根据归纳推理，你能猜测出 (ab)n(nN*)的展开式是什么吗？,问题5：如何证明这个猜想？,(a+b)n是n个(a+b)相乘，,每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能得到展开式的一项。,对于每一项an-kbk ，它是由n-k个(a+b)选了a， k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。,其中每一项都是an-kbk的形式，k=0，1，n；,定理的证明,问题6：公式 叫做二项式定理binomial theorem ，等式右边叫做二项展开式，其中各项的系数 (k0，1，2，n)叫做二项式系数binomial coefficient ，那么二项展开式在结构上有哪些基本特征？,共有n1项；字母a的最高次数为n且按降幂排列；字母b的最高次数为n且按升幂排列；各项中a与b的指数幂之和都是n；各项的二项式系数依次为 ，且与a，b无关.,问题7：根据二项式定理，(1x)n (nN*)等于什么？,问题8：(ab)n(nN*)的展开式是什么？,探究（二）：二项展开式的通项,问题1：在二项展开式中，用Tk表示从左到右第k项，那么Tk和Tk1分别等于什么？,问题2：在(ab)n的二项展开式中， 叫做二项展开式的通项，那么(ab)n的二项展开式的通项是什么？,问题3：(2x3y)20的二项展开式的通项是什么？,问题4：(12x)7的展开式中第4项的二项式系数和系数分别是什么？,二项式系数： ， 系数： .,经典范例,例1 求 的展开式.,例2 求 的展开式中x3的系数.,84,例3 已知 的展开式中 第5项与第3项的二项式系数之比为143，求展开式中所有的有理项.,“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1, ,课堂小结,1.二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式，其中n是正整数，a，b可以任意取值，也可以是代数式.,2.(ab)n的展开式统一规定按a的 降幂排列，各项的系数与a，b的取值有关，各项的二项式系数与a，b的取值无关.,3.二项展开式的通项 是研究二项展开式问题的重要工具，但需注意通项是表示二项展开式中的第 k1项.对于求展开式