环境管理_环境水力学概述

环境水力学 Environmental Hydraulics,随流扩散方程的若干解析解,环境工程教研室 郑天柱,回顾,一、瞬时源,1、集中源,2、分布源,一维分子扩散,一维分子扩散,延伸分布源,有限分布源,注意点：公式中的 x应理解为计算点P距排放点的距离；t 应理解为距某一指定时刻的时段长。,第三节 若干定解条件下一维扩散方程的解,1、集中源 2、起始分布源 1) 一维延伸分布源 2) 一维有限分布源 二、时间连续源,1）、一维延伸分布源,物理模型：在一条长管中，左端（x0）充满了浓度均匀的红色染液，染液浓度为c0,管子的右端（x0）装满清水。 在t =0时，突然开启隔离红色染液和清水的闸板。管左端的红色染液立即向右端扩散。在x 正方向，初始浓度具有瞬时源的特征。,建立坐标系,一维扩散方程为：,定解条件：,x,O,由于左边的红色染液是无限延伸的，所以染液只会沿x 方向扩散。,误差函数,性质：a)奇函数 b),余误差函数定义为,利用瞬时集中源一维分子扩散的结论求解。,在右端x0的浓度场，可看成是各个d微元引导的分浓度场的叠加。,源分解，再叠加,O,x,c,P,x,O,d,x,-,c0,对于点而言，该点的实际浓度值是所有各个d扩散至这一点的浓度之和。,O,单个d微元引导的浓度为：,O,积分求解：,-,变量代换,取,则,浓度分布,c,c0,x,o,c0/2,扩散至t 时刻浓度,初始浓度,一维延伸源扩散演示,例题3：,如图，某足够长的河道，在某时刻的浓度分布为C01=10 mg/L，C02=8 mg/L，求C(x,t)=? (已知 D210-5cm2/s),O,C02=8 mg/L,C01=10 mg/L,t=0,x,例3答案,其中：,2) 一维初始有限分布源,如果初始分布不是一端无限，而是局限在一定范围中间，如图，染料向两端扩散。,O,d,x,c0,z,h,h,一维初始有限分布源浓度分布,设坐标原点在源的中间，则定解问题为：,解法（1）,类似地，可通过变量代换求解，请同学们课后练习。,源分解，再叠加,解法（2）,两个延伸分布源相减：,所以：,其中：,讨论：,a)分布曲线关于x=0 对称，且随着t 的增大，浓度分布渐趋平坦； 设想用一张平面在x=0点把它们截开分为两半，显然不影响浓度分布。这种情况可用来表示一端是固壁的有限分布源的扩散。 b)t0, |x|h, c=c0；|x|h, c=0；满足初始条件。,静水中一维初始有限源扩散演示,二、时间连续源,若污染物质的投放不是一次瞬间完成的，而是持续一定时间，这样的污染源称为时间连续源。,1、一维扩散时间连续源,设源断面为空间坐标的原点，开始投放时刻为时间起点。,O,x,c0,建立坐标系。扩散方程为：,初始条件：,边界条件：,求解方法之一：,量纲分析法 设解为,C0为恒定时间连续源的投放浓度。,其中，无量纲变量,于是： 而 故,由于： 因为 故,将上述结果代入一维扩散方程中,可得：,即：,经过变换，把扩散方程变成了常微分方程，求解该方程，满足边界条件,可解得： 由边界条件 得：,1、一维扩散时间连续源,设源断面为空间坐标的原点，开始投放时刻为时间起点。,O,x,c0,建立坐标系。扩散方程为：,初始条件：,边界条件：,求解方法之二：拉普拉斯变换,把x当作参变量，作c(x,t) 关于t的拉普拉斯变换。,积分变换,Laplace变换的定义：,Laplace变换的性质： 1、线性运算：,其中：,2、指数函数： 3、斜坡函数： 4、正弦函数： 5、脉冲函数：,微分变换： 积分变换：,作变换：,变换为,其中，A，A为积分常数。,通解为：,求积分常数,综合上述，令x 为离原点的距离，则有：,浓度分布,表示一维扩散、时间连续源情况下浓度的时空分布。,静水中一维时间连续源扩散演示,若源点投入浓度非恒定,对于时间连续非恒定源，即x=0处的源函数c0()随时间是变化的。,c0(),在每个d时间增量中， x=0处的浓度变化为,它引导的浓度分布为：,d,O,t,t 时刻总的浓度是t 以前全部时段内浓度分布的加和，即：,若源点给定质量速率,源投放时间从0 至t 的每个块团所引起的浓度总和，即：,这里,当 恒定时：,浓度分布曲线,c/c0,x,t1,t2,O,t1t2,因C(-x,t)=C(x,t)，只需考虑x正方向即可。,一维扩散、时间连续源浓度分布,复习,瞬时源,集中源,分布源,一维分子扩散,一维分子扩散,延伸分布源,有限分布源,连续源,一维分子扩散,2、三维扩散时间连续源,如有一条排污管道，恒定地向一巨大水体排出污染物，下面来讨论这个排污口在三维扩散条件下浓度的时空分布规律。,以污染源为原点，建立坐标系,设排污管的排污口为空间坐标原点，空间任一点的坐标P（x,y,z)。 P点至原点O的距离是r,管道开始排污的时刻为t=0,污染物排放速率为m(g/s).,微分方程为：,式中：为分子扩散系数，m=常数。 初始及边界条件：,三维扩散时间连续源的解法,引用三维扩散瞬时点源的结果,瞬时脉冲源引导的浓度分布,三维扩散时间连续源的解法,令单位时间投放的质量为m且恒定不变，若把连续时间t看作