2019年高考数学专题二三角函数与解三角形第4讲解三角形（二）梯度训练（含解析）新人教A版.docx

第4讲解三角形(二)选题明细表知识点方法巩固提高A巩固提高B解三角形在实际问题中的应用1,3,4,9,13,141,2,8,9,11,12,15,16解三角形在向量中的应用2,5,10,153,5,10,14解三角形在立体几何中的应用74解三角形在解析几何中的应用6,8,11,12,166,7,13巩固提高A一、选择题1. 如图,设A,B两点在江的两岸,一测量者在A的同侧所在的江岸边选定一点C,测出A,C的距离为50 m,C=45,A=105.则A,B两点间的距离为(A)(A)50 m(B)50 m(C)50 m(D)50 m解析:由三角形内角和定理得B=30,由正弦定理,=,=,得AB=50.故选A.2.ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2+c2-b2=ac,0,b=,则a+c的取值范围是(B)(A)(2,3)(B)(,3)(C)(1,3)(D)(1,3解析:由a2+c2-b2=ac,得cos B=,因为B(0,),所以B=.又0,得A为钝角.C(0,),由正弦定理得a+c=2(sin A+sin C)=2sin(-C)+sin C=2sin(C+),C+,所以a+c(,3).故选B.3.有一长为10 m的斜坡,它的倾斜角是75,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30(如图).则坡底要延伸(C)(A)5 m(B)10 m(C)10 m (D)10 m解析:设坡底要延伸x m,因为ACB=105,B=30,则CAB=45,又AC=10,所以在ABC中,利用正弦定理,可知=,所以x=10(m),应选C.4. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作,其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角,半径为6米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(1.73)(C)(A)16平方米(B)18平方米(C)20平方米(D)25平方米解析:结合图形可得弦=2rsin=6,弦心距d=rcos=3,则矢=6-3=3,由题意弧田的面积S=(36+32)=(9+18)20.07.故选C.5.在ABC中,A=120,=-1,则的最小值是(C)(A)(B)2(C)(D)6解析:因为=-1,所以bccos 120=-1,即bc=2,在ABC中,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos 120=b2+c2+bc3bc=6,所以a,即的最小值是.故选C.6.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为(A)(A)150(B)135(C)120(D)30解析:由题意可画图如图:设AB中点为D,直线l斜率为k,则l方程为y=k(x-2),OD=,又AB=2=2,所以SAOB=2OD=,所以OD2=1时,SAOB最大,此时=1,得k2=,由图可知k=-,所以直线l的倾斜角为150.故选A.7.三棱锥SABC中,侧棱SA底面ABC,AB=5,BC=8,B=60,SA=2,则该三棱锥的外接球的表面积为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题,侧棱SA底面ABC,AB=5,BC=8,B=60,则根据余弦定理可得AC=7,ABC的外接圆直径2r=,所以r=,三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离d=SA=,则外接球的半径R=,则该三棱锥的外接球的表面积为S=4R2=.故选B.8.抛物线y2=8x的焦点为F,设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两个动点,x1+x2+4=AB,则AFB的最大值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:由抛物线定义得AF=x1+2,BF=x2+2,所以由x1+x2+4=AB得AF+BF=AB,因此cosAFB=-,所以0AFB.故选D.二、填空题9. 如图,为了测量河对岸A,B两点之 间的距离.观察者找到了一个点C,从C可以 观察到点A,B;找到了一个 点D,从D可以观察到点A,C;找到了一个点E,从E可以观察 到点B,C.并测量得到图中一些数据,其中CD=2,CE=4,ACB=60,ACD=BCE=90,ADC=60,BEC=45,则AB=.解析:由已知可得AC=6,BC=4,在ABC中应用余弦定理:AB=2.答案:210.在ABC中,2=,AB=4,AD=AC=3,则BC=.解析:设=t,则=2t,则cosADB+cosADC=0,即+=0,解得t=,所以BC=3t=.答案:11.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=4,A=60,且ABC外接圆的面积为4,则ABC的面积为.解析:R2=4R=2,所以=2R=4sin B=1,B=,所以a=2,c=2,S=ac=2.答案:212.设椭圆+=1的两个焦点F1,F2都在x轴上,P是第一象限内该椭圆上的一点,且=2,则正数m的值为.解析:由正弦定理可得=2,即=2,结合椭圆的定义有=4,解得m=4.答案:413.某世界杯足球赛上举行升旗仪式.如图,在坡度为15的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30,且座位A,B的距离为10米,则旗杆的高度为米.解析:由题意知ABN=45,BAN=105,所以ANB=30,在ABN中,=,所以AN=20,在RtAMN中,MN=30.答案:3014.已知ABC的三个内角A,B,C的对边依次为a,b,c,外接圆半径为1,且满足=,则ABC面积的最大值为.解析:由=得=,则sin Acos B=2sin Ccos A-sin Bcos A,所以sin(A+B)=2sin Ccos A=sin C,sin C0,所以cos A=,A=,=2r=2,a=,由余弦定理3=a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc2bc-bc=bc,当且仅当b=c时取等号,所以SABC=bcsin A3=,即最大值为.答案:15.已知A,B,C,D四点共面,BC=2,AB2+AC2=20,=3,则的最大值为.解析:设AC=m,由题意可得DC=3m,AB=,则cos C=,A,B,C三点满足解得2m4,由余弦定理BD=,当m=4时,取得最大值为10.答案:10三、解答题16.(2018天津卷)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos(B-).(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解:(1)在ABC中,由正弦定理=,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acosB-,得asin B=acosB-,即sin B=cosB-,可得tan B=.又因为B(0,),所以B=.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,得b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.由bsin A=acos(B-),可得sin A=.因为aba,若向量m=(a-b,1)和n=(b-c,1)平行,且sin B=,当ABC的面积为时,则b等于(B)(A) (B)2(C)4(D)2+解析:由mn得a-b=b-c,即2b=a+c,由cba知B为锐角,所以cos B=,所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-ac,即b2=(2b)2-ac,b2=ac,由S=acsin B=得ac=,ac=,代入得b2=4,b=2.故选B.4.已知点A,B,C在球O的表面上且A=,b=1,c=3,三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为(C)(A)16(B)32(C)20(D)5解析:SABC=13=,由V=h=,得h=,由余弦定理得a2=12+32-213=7,即a=,设ABC外接圆半径为r,由正弦定理得=2rr=,设球O半径为R,则R2=h2+r2=5,则球O的表面积为4R2=20.故选C.5.已知在ABC中,S为ABC的面积,若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(,S)满足pq,则C等于(C)(A)30(B)45(C)60(D)120解析:由题意可得,S=absin C由pq可得4S-(a2+b2-c2)=0由余弦定理可得2absin C=2abcos C.所以sin C=cos C.因为C为三角形的内角,所以C=60.故选C.6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,sin A=sin B,则ABC面积的最大值为(B)(A)(B)(C)(D)2解析:因为sin A=sin B,所以a=b,由余弦定理及c=2得cos C=,所以sin C=,所以ABC的面积S=absin C=b2=,当b2=4,即b=2时,ABC的面积S有最大值是=.故选B.7. 如图,F1,F2分别为双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l交C于A,B两点,若C的离心率为,AB=AF2,则直线l的斜率为(D) (A)(B)(C)(D)解析:由双曲线定义可得AF1-AF2=2a,由AB=AF2,得BF1=2a,又BF2-BF1=2a,故BF2=BF1+2a=4a,由余弦定理可得16a2=4a2+4c2-22a2ccosBF1F2,即3a2=c2-2accosBF1F2,也即3=7-2cosBF1F2,所以cosBF1F2=,sin BF1F2=,则直线l的斜率为tan BF1F2=.故选D.8. 已知矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,AD=12 cm,将矩形纸片的右下角折起,使顶点B恰好落在边AD上,且折痕的两个端点M,N分别位于AB,BC上,设MNB=,MN=l,当l取最小值时,sin 的值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:由题设,NBMNEM,MNB=,MN=l,所以AEM=90-2,则MB=lsin ,AM=lsin sin(90-2),又因为MB+AM=lsin +lsin sin(90-2)=6,从而得l=,化简得l=,由得,所以l=(),令sin =t,u=sin cos2=t(1-t2)=t-t3,u=1-3t2,u=0,t=sin ,umax=,lmin=.故选C.二、填空题9.某货轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军护卫舰在A处获悉后,测得该货轮在北偏东45方向距离为10海里的C处,并测得货轮正沿北偏东105的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救;则护卫舰靠近货轮所需的时间是小时.解析:设靠近渔船所需的时间为t小时,那么AB=21t(海里),BC=9t(海里).根据余弦定理可得:AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120,(21t)2=100+(9t)2-2109t(-),化简得36t2-9t-10=0,解得t=或t=-(不合题意舍去).答案:10.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=2,c=3,且满足(2a-c)cos B=bcos C,则=.解析:由正弦定理可得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,即2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(C+B),也即2sin Acos B=sin A,又sin A0,所以cos B=,所以=cos B=32=3,则=-=-3.答案:-311.在希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三条边长求三角形面积,若三角形的三边长分别为a,b,c,其面积S=,这里p=(a+b+c).已知在ABC中,BC=6,AB=2AC,则ABC面积的最大值为.解析:由题意可知a=6,c=2b,p=(6+3b),且2b6,则S=,当且仅当b2=20即b=2时,Smax=12,且2b=20),从而a=,b=k,c=k,由余弦定理得cos C=,又因为C(0,),所以C=,所以角C的大小是.答案:15.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为,则C=.解析:由题意可知SABC=absin C=,所以a2+b2-c2=2absin C,由余弦定理a2+b2-c2=2abcos C,所以sin C=cos C,因为C(0,),所以C=.答案:三、解答题16.(2018江苏卷) 某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为. (1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积,并确定sin 的取值范围;(2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.解:(1)如图,连接PO并延长交MN于点H,则PHMN,所以OH=10.过点O作OEBC于点E,则OEMN,所以COE=,故OE=40c