第4章多自由度体系的振动分析.ppt

第 4 章 多自由度体系的振动分析,4-1 多自由度体系自由振动,多自由度结构体系运动方程的一般形式：,（2-15a）,（2-15b）,柔度矩阵表示：,刚度矩阵表示：,无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：,无阻尼多自由度结构体系运动方程：,（4-1）,（4-2）,质量矩阵,刚度矩阵,阻尼矩阵,柔度矩阵,位移向量,等效荷载向量,荷载位移向量,速度向量,加速度向量,4.1.1 多自由度体系的振动频率分析（刚度法）,无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：,（4-3）,假设无阻尼多自由度结构体系自由振动是简谐振动，(4-3)式的特解取如下形式：,（4-5）,其中：ji，w，a为未知的待定系数。,按自由度序号排列成的位移向量可以写成：,其中：j为位移的幅值向量：,带入式中的第一个方程：,无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：,（4-3）,（4-5）,展开此式：,已设第i个运动自由度方向的位移为：,消去式中的公因子sin(wt+a)：,同理可得到其它所有方程的情况：,称为频率方程或特征方程。 将频率方程展开，可得到一个关于w2 的n 次代数方程。,（4-9）,（4-8）,从频率方程可解得n 个正实根 ；,开方得到各阶频率，记作：,如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：,振型方程：,频率谱：w1w2 wn，分别称作第1阶频率、第2阶频率第n 阶频率。 动力学问题转变为矩阵求特征值问题。,频率向量：,2个自由度体系的特征方程为：,（4-9）,求解一元二次方程得：,由上式可得到两个自振频率，注意 w1w2 。,（4-14）,（4-13）,（4-12）,将特征方程行列式展开得：,这是一个关于w2的一元二次方程，即：,例4-1 求解图示双层刚架的自振频率。,已知：横梁刚性；立柱不计质量，l=5m ， EI=6.0106Nm2 。m1=m2=5000kg。,解 确定自由度数: 2个自由度； 确定两个质量的位移 y 1、y 2 ；,刚度系数：,频率公式：,已知：立柱不计质量，EI=6.0106Nm2 , m1=m2=5000kg, l=5m。,刚度系数：,频率公式：,计算：,解得：,无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：,小结：多自由度体系的振动频率分析（刚度法）,按自由度序号排列成的位移向量可以假设成：,其中：j为位移的幅值向量：,（4-3）,（4-8）,代入运动方程中，整理得到振型方程：,（4-9）,将频率方程展开，可得到关于w2 的n 次代数方程。,从频率方程可解得n 个正实根 ；,开方得到各阶频率：,频率方程：,Next step?, 振型（Mode shapes）。,4.1.2 多自由度体系的振型分析（刚度法）,无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：,（4-3）,和各阶频率w1、w2、 、wn 。,（4-8）,已求得振型方程：,将第i 阶频率w1代入振型方程：,（4-15）,第i 个振型方程：,可求得其位移幅值向量为,n个自由度体系可得到n个线性无关的位移幅值向量：, 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的！ 无法得到j1i、 j2i、 、 jni 的确定值， 但可以确定各质点振幅之间的相对比值： 振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。,j 称为振型矩阵； ji 称为对应于第i 阶频率wi 的主振型，简称第i 阶振型；,为了描述振型的形状，进行规格化处理； 振型规格化处理方式很多，原则：保持形状不变！ 最简单可取ji 的第一个元素j1i =1 ；,振型方程：,（4-15）,按j1i =1进行振型规格化：,得到按j1i =1规格化的振型：,（4-19）,（4-18）,对于有n个自由度的体系，可以得到n个线性无关的主振型：,规格化的主振型矩阵：,（4-19）,无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：,（4-3）,第i 阶振型的特解：,用规格化振型 表示成：,这样的特解有n个！,振型的物理意义,自由度=2时，振型方程（4-15）成为：,（4-21）,展开第i个方程得：,其中wi为已知，解得：,对应wi的振型：,（4-22）,（4-23）,则标准化振型：,即：,（4-24）,（4-25）,振型还有其它标准化形式！,例4-2 求解图示双层刚架的振型。,解：,由例4-1已解得：,振型公式：,EI=6.0106Nm2 , m1=m2=5000kg, l=5m。,解得：,物理意义：,4.1.3 多自由度体系的振动频率分析（柔度法）,无阻尼多自由度结构体系柔度法自由振动方程：,（4-4）,假设无阻尼多自由度结构体系自由振动是简谐振动：,引入单位矩阵I ，特征值l =1/w2:,（4-26）,得振型方程：,振型方程成为：,代入（4-4）得：,（4-27）,振型方程：,（4-27）,振型方程有非零解的条件：,（4-28）,此式称为特征方程。 将特征方程展开，可得到一个关于l 的n 次代数方程。 从频率方程可解得n 个正实根li； 1/li开方得到各阶频率wi ：,4.1.4 多自由度体系的振型分析（柔度法）,将第i 个特征值li代入振型方程：,（4-27）,（4-29）,解上式可求出振型。以2个自由度为例：,展开得：,柔度法振型为：,比较刚度法振型：,（4-25）,（4-30）,4.1.5 多自由度体系自由振动的通解,无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：,（4-3）,自由振动的任何一个特解都可以表示为：,用规格化振型 表示成：,这样的特解有n个！,这n 个解的线性组合仍是原方程的解，因此运动方程的通解：,（4-32）,物理意义：,例4-2，n=2时：,Ci、ai是待定常数。,4.2 多自由度体系振型的正交性,4.2.1 正交的数学概念,If：两个n 维向量A1和A2存在如下关系：,称向量A1和A2正交。 If：存在一个方阵B，使得：,称向量A1和A2加权正交。 称向量A1和A2对矩阵B正交。 B称为权矩阵。,（4-33）,（4-34）,4.2.2 振型向量的正交性,n个自由度的体系有n个振型向量：,其中：,（4-8）,已求得振型方程：,代入（4-8）式得：,（4-37）,两边同时左乘 ，可得：,（4-38）,同理可得：,（4-39）,（4-40）,将（4-39）两边转置：,已得关系式：,（4-40）,两式相减，得：,（4-38）,（4-41）,一般，ij时，wiwj，所以有：,（4-42）,振型向量的正交性：对应不同自振频率的振型向量对质量矩阵M和刚度矩阵K正交。,定义,4.2.2 振型正交性的应用,振型检验,例4-3 检验例4-2所求的振型是否正确。,解：已求得：,计算：,满足正交条件，振型正确。,已知振型自振频率计算,将无阻尼运动方程的通解：,（4-32）,代入运动方程：,两边同时左乘 ，可得：,（4-44）,第j 阶频率可由下式求出：,第j 阶广义刚度：,第j 阶广义质量：,第j 阶频率可由广义刚度和广义质量计算：,（4-46）,例4-4 利用例4-2所求的振型求体系的自振频率。,解：已求得：,计算：,已知：EI=6.0106Nm2 , m1=m2=5000kg, l=5m。,即所求频率为：,计算第2 频率：,利用已知振型计算其他振型,对n个自由度体系，已知n-1个振型，求未知振型。,对3个自由度体系，已知前2个振型：,设未知的第3阶振型为：,由正交条件：,解方程组求出第3阶振型。,位移的分解,多自由度体系运动方程的位移可表示成任意形式：,体系的位移可以分解为各阶振型的线性组合，用矩阵号表示：,组合系数h称为广义坐标向量：,振型矩阵F起着将广义坐标转换成几何坐标的作用。,（4-49）,（4-32）,任意形式解：,Y = 位移,j = 振型,h = 振型系数,体系的位移可以分解为各阶振型的线性组合:,给定位移向量Y ，广义坐标向量h可按下式计算：,（4-49）,利用正交性求广义坐标向量，由（4-48）式：,两边左乘 可得：,（4-50）,利用正交性：,任意位移向量的振型分解表达式：,例4-5 用振型向量分解位移向量,已知：,解：广义坐标表达式,同理得到：,位移向量Y 的振型分解表达式：,多自由度体系运动方程的简化振型分解法,位移向量可以表示成为广义坐标的线性组合：,两边左乘 ，利用振型的正交性，可得：,这是一组互相独立的用广义坐标表示的单自由度体系运动方程！,求解出每个广义坐标hj(t)的响应，体系的原始几何坐标响应为：,（4-53）,自由振动初值的确定,多自由度体系自由振动的通解：,待定常数Ci、ai可由初始条件确定：,两边左乘 ，根据振型的正交性可得：,设t=0时：,引入符号：,代入上式：,直接求得：,4.3 多自由度体系的受迫振动,4.3.1 多自由度无阻尼体系的受迫振动分析,1、简谐荷载作用下的响应分析,运动方程：,（4-59）,式中：F0为简谐荷载的幅值向量，为简谐荷载的频率。 设体系稳态解的形式为：,（4-60）,式中：A为位移幅值向量。代入（4-59）式：,体系的稳态解为：,（4-59）,稳态解为：,如果系数行列式：,体系的响应将无穷大，出现共振现象。比较频率方程：,如果q=wi，将出现共振现象。 干扰频率等于体系的任意一阶自振频率时，出现共振。 n 个自由度的体系，将有n 个共振点。,例4-6 试推导2个自由度的体系在谐振荷载下的一般解。,解：对于2个自由度的体系：,如果q wi，则：,式中：,2个自由度的体系在谐振荷载下的一般解：,如果只有一个自由度承受简谐荷载，例如F02=0：,展开上式：,调整参数，使得：,则有：,应用：,调整参数，使得：,则有：,主结构上安装一附加质量-弹簧系统；,2个自由度的体系在谐振荷载下的一般解：,2、任意荷载作用下的响应分析,运动方程：,（4-69）,n 阶耦合运动方程组。 用振型分解法：,两边左乘 ，利用振型的正交性，可得：,这是一组互相独立的用广义坐标表示的单自由度体系运动方程！,（4-71）,广义荷载：,体系的原始几何坐标响应为：,（4-53）,由Duhamel 积分求解出每个广义坐标hj(t)的响应：,（4-72）,自振特性分析：求出各阶自振频率wj和对应的振型jj ； 振型分解法：耦合运动方程组独立振型方程； 计算广义质量和广义荷载： 由Duhamel 积分求解每个广义坐标hj(t)的响应； 振型叠加法：计算位移响应向量。,振型叠加法步骤：,例4-7 求图示结构在质点2处受突加荷载作用时的位移响应,解,已知：m1=m2=m, EI=const,1）求自振频率wj和对应的振型jj ：,求柔度系数：,代入频率方程：,柔度法振型：,2）计算广义质量和广义荷载：,3）由Duhamel 积分求解出每个广义坐标hj(t)的响应：,3）由振型迭加求出体系的位移响应向量：,4）讨论：高阶振型的作用。,3. 无阻尼结构的动内力计算,无阻尼体系的惯性力向量：,简谐荷载作用下的运动方程：,（4-59）,惯性力向量：,简谐荷载作用下的位移响应向量：,惯性力与简谐荷载同步：,内力幅值 = 荷载幅值引起的内力+ 惯性力幅值引起的内力。,4.3.1 多自由度有阻尼体系的受迫振动分析,运动方程：,（4-76）,两边左乘 ，利用振型的正交性，可得：,（4-79）,广义阻尼系数：,用振型分解法：,（4-80）,这是一组互相独立的用广义坐标表示的单自由度运动方程！,体系的原始几何坐标响应为：,由Duhamel 积分求解出每个广义坐标hj(t)的响应：,（4-81）,（4-79）,其中：,（4-79）,广义阻尼系数：,应成立！,假定：,称为比例阻尼或Rayleigh阻尼：,满足正交条件：,根据实测阻尼比和上式求得两个常数。,第四章小结,重点 多自由度体系无阻尼自由振动：解矩阵特征值。 体系的自振频率取决于结构的刚度（柔度）、质量矩阵，可用频率方程求解。 振型向量：通过振型方程求解振型向量，振型向量的物理意义。 振型的正