高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数1课件2北师大版必修.ppt

3.3 二倍角的三角函数(一),【知识提炼】 二倍角公式及其变形,sincos+cossin,2sincos,coscos-sinsin,2cos2-1,1-2sin2,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)公式T2成立的条件是什么? 提示:k+ ,k ,kZ. (2)二倍角公式应用过程中,“角”和三角函数式的“次数”是如何变化的? 提示:两种变化形式:一是“角”变二倍,“次数”降低为一次;二是“角”变为原来的一半,“次数”升高为二次.,2.计算1-2sin222.5的结果等于 ( ) 【解析】选B.1-2sin222.5=cos45= .,3.sin15sin75的值为 ( ) 【解析】选B.sin15sin75=sin15cos15 = 2sin15cos15 = sin30= .,4.2cos275-1=_. 【解析】2cos275-1=cos150=-cos30=- . 答案:-,5.若tan=2,则tan2=_. 【解析】tan2= 答案:,【知识探究】 知识点 正弦、余弦、正切的二倍角公式 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:二倍角的含义是什么?其有哪些变形? 问题2:二倍角公式及其变形各有什么特点?它们如何使用?,【总结提升】 1.对二倍角中“倍”的说明 (1)“倍”具有广泛的含义.例如,2是的二倍角,同样地,4是 2的二倍角,2n是2n-1的二倍角,是 的二倍角,3是 的二 倍角等. (2)在具体应用中可先对角进行观察,寻求待求的角与已知角之间的 差异,再决定用哪种“倍”的关系.,2.二倍角公式的应用 (1)直接应用公式进行升幂、配方、开方、求值化简证明等运算. (2)变形应用公式主要体现在化异角为同角、化异次为同次、逆用公 式等方面,其中二倍角的余弦公式最灵活.如:1+cos2=2cos2; cos2= ;1-cos2=2sin2;sin2= , 不仅仅是逆用,更重要的是体现了幂指数的变化,其中是从一次幂 向二次幂转换,因此把它们称为升幂公式,则是从二次幂向一次幂 转换,因此把它们称为降幂公式.,【题型探究】,类型一 求二倍角的函数值 【典例】1.若sin= ,则cos2=_. 2.已知 的值是_.,【解题探究】1.典例1中的条件和所求式中的角有什么联系? 提示:两角为二倍角关系. 2.典例2中 是哪个角的二倍?这个角与 有什么关系? 提示:,【解析】1.由sin= ,得cos2=1-2sin2= 答案: 2.因为 所以 答案:-,【方法技巧】用二倍角公式求解给值求值问题的常用策略 (1)当已知和待求式含有三角函数的平方式时,需先降幂,再求解. (2)先探寻到已知和待求式中角的倍、单角关系,再正用或逆用二倍角公式求解. (3)当式子中涉及的角较多时,要探寻其间的关系,化异角为同角.,【变式训练】已知 求sin2,cos2,tan2的 值. 【解题指南】由sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2知应先 求出sin,cos的值.,【解析】因为 所以sin=- cos,代入sin2+cos2=1, 得 cos2+cos2=1. 因为 所以sin2=2sincos= cos2=cos2-sin2= tan2=,类型二 化简与证明三角函数式 【典例】1.化简: =_. 2.证明:,【解题探究】1.典例1中 有什么关系? 提示: 2.典例2中左、右两边的差别是什么?如何消除差别? 提示:左边为弦函数的高次的分式,右边为切函数,将左边正向运用二倍角公式进行约分化简即可证明.,【解析】1.原式= 答案:1,2.左边= =tan=右边.,【延伸探究】(变换条件)若将典例1的式子改为“ ”, 结果如何? 【解析】原式= 答案:,【方法技巧】 1.化简三角函数式的策略 一般地,三角函数式的化简要从减少角的种类,减少函数的种类,改变函数式的运算结构入手,通过切化弦、弦化切、异角化同角、高次降幂、分解因式、逆用公式等手段,使函数式的结构化为最简形式.,2.证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”、变换式子结构“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.,【变式训练】化简下列各式:,【解析】(1)原式= (2)方法一:原式= 方法二:原式=,易错案例 由条件求值 【典例】(2015榆林高一检测)已知 则sin=_.,或,【失误案例】,【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是利用二倍角公式及其变形求值过程中忽视了 角的范围致误,实际上本题由sin(2-)= 0,可进一步缩小角 2-的范围.,【自我矫正】因为 所以0,得22- , 所以cos(2-)= .因为- 0,所以cos2=cos(2-)+ =cos(2-)cos-sin(2-)sin 由cos 2=1-2sin2,得sin2= , 又 ,所以sin= . 答案:,【防范措施】 1.审题问题 已知条件角度的认识不到位,不能够结合三角函数值的符号,将已知角 的范围进一步缩小,在本例中求得sin(2-)= 0,可以将2-