高中数学第二章平面向量2.1从位移速度力到向量课件2北师大版必修.ppt

第二章 平面向量 2.1 从位移、速度、力到向量,【知识提炼】 1.向量的定义 既有_又有_的量. 2.有向线段 (1)概念:具有_的线段. (2)记法:以A为起点,以B为终点的有向线段记作_. (3)长度:线段AB的长度,记作| |.,大小,方向,方向,3.向量的表示法 (1)向量可以用_来表示.有向线段的长度表示_, 即长度(也称_).箭头所指的方向表示_. (2)向量也可以用黑体小写字母如a,b,c,来表示,书写用_, 来表示.,有向线段,向量的大小,模,向量的方向,4.与向量有关的概念,0,单位1,相等,相同,a=b,平行或重合,平行,ab,【即时小测】 1.思考下列问题. (1)两个向量能比较大小吗? 提示:不能.向量是既有大小,又有方向的量. (2)有向线段是向量吗? 提示:不是.有向线段只是向量的一种表现形式.,2.下列物理量:质量;速度;位移;力;加速度;路程;密度;功.其中不是向量的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】选D.由向量的定义知速度;位移;力;加速度既有大小又有方向,其他4个不是向量.,3.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是 ( ) A.也可以用 表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 【解析】选D.终点是N而不是M.,4.如图,在O中,向量 是 ( ) A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 【解析】选C. 均等于O的半径,大小相等.,5.如图,以1cm3cm方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,以A为起点,可以写出_个不同的向量.,【解析】由图可知,以A为起点的向量有 共有7个. 答案:7,【知识探究】 知识点1 向量的物理背景及概念 观察图形,回答下列问题:,问题1:上图中的两个物理量有何特点? 问题2:直角坐标平面上的x轴、y轴是向量吗? 问题3:这些物理量与数量有何区别,与有向线段有无区别?,【总结提升】 1.向量与数量的联系和区别,2.向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量. (2)有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段. (3)向量可自由移动,并且平移前后不变;有向线段不能随意移动.,知识点2 与向量有关的概念 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:单位向量是否唯一?有多少个单位向量? 问题2:共线向量有几种情况?共线向量与平行向量的含义一样吗?,【总结提升】 1.对平行(共线)向量的三点说明 (1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称.根据定义可知,平行(共线)向量所在的直线可以平行,也可以重合. (2)共线向量所在的直线可以平行,与平面几何中的“共线”含义不同. (3)平行向量可以在同一条直线上,与平面几何中“直线平行”不同,平面中两直线平行是指两直线没有公共点.,2.零向量的理解 (1)零向量的大小为零,方向任意. (2)零向量与任一向量平行. (3)所有的零向量相等.,3.关于相等向量的关注点 (1)两个向量相等必须满足两个条件:模相等,方向相同,二者缺一不可.例如,单位向量不一定是相等向量. (2)相等向量是平行(共线)向量,但是平行(共线)向量不一定是相等向量.,【题型探究】 类型一 向量有关概念的理解 【典例】1.下列结论中正确的是 ( ) A.向量 的长度和向量 的模长相等 B.向量a与b平行,则b与a方向相同 C.两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同 D.若a与b平行同向,且|a|b|,则ab,2.给出下列几种说法: (1)若|a|=|b|,则a=b或a=-b. (2)向量的模一定是正数. (3)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量. (4)向量 是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一直线上. 其中正确的序号是_.,【解题探究】1.相等向量有何特征? 提示:模长相等,方向相同. 2.向量共线与向量同向有何区别与联系? 提示:共线不一定同向,但同向一定共线.,【解析】1.选A.,2.(1)错误.由|a|=|b|仅说明a与b模相等,但不能说明它们方向的关系. (2)错误.0的模|0 |=0. (3)正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向,是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同. (4)错误.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量 必须在同一直线上. 答案:(3),【方法技巧】理解向量有关概念时的四个关注点 (1)理解向量的问题时不可忽视向量的大小与方向. (2)理解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零,方向任意;零向量与任一向量平行. (3)共线向量包括同向和反向,向量相等指向量的大小相等方向相同. (4)向量a的单位向量有两个,这两个单位向量方向相反.,【拓展延伸】判定一个量是否为向量的方法 (1)看大小,即看其是否具有大小特征. (2)看方向,即看其是否具有方向性.,【变式训练】下列说法正确的是 ( ) A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线 B.向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线 C.向量 是共线向量,则A,B,C,D四点可构成平行四边形 D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量,【解析】选D.当b=0时,A不对;如图, b与a,b与c均不共线,但a与c共线,所以B错. 当A,B,C,D四点共线时 也是共线向量,所以C错. 若a与b有一个为零向量,则a与b一定共线,所以a,b不共线时,一定有a与b都是非零向量,故D正确.,类型二 向量的表示 【典例】在如图所示的坐标纸中,用直尺与圆规画出下列向量. (1)| |=3,点A在点O的正东方向. (2)| |=3,点B在点O的正西方向.,【解题探究】如何确定题中的向量? 提示:根据模长定长度,根据上北下南左西右东的原则定方向即可确定.,【解析】如图所示:,【延伸探究】 1.(改变问法)若本例的前提条件不变,试画出满足下列条件的向量. (1) 点C在点O的东北方向. (2)| |=2,点D在点O的西南方向.,【解析】如图所示:,2.(改变问法)如果将题中的“| |=3”改为“1| |2”,试求 点A构成的图形的面积. 【解析】因为1| |2,所以点A在以点O为圆心,半径为2的圆内, 在以点O为圆心,半径为1的圆外.所以点A构成的图形是一个圆环,其面 积为22-12=3.,【方法技巧】用“四定一标”法来表示向量 (1)所谓“四定”,即定向量长度、定向量的起点、定向量方向及终点. (2)所谓“一标”,即用箭头标明向量的方向性. 注意:任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.,【补偿训练】一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向西偏北60行驶了200千米到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达点D.作出向量,【解析】如图所示:,【延伸探究】 1.(改变问法)本题条件不变,求| |. 【解析】由题意,易知 方向相反, 故 所以在四边形ABCD中,AB CD. 所以四边形ABCD为平行四边形. 所以 =200千米.,2.(改变问法)本题条件不变,点D在点B的什么位置? 【解析】由题意知,点B,C,D构成直角三角形,所以 所以点D在点B的正北方向 千米.,类型三 相等向量与共线向量 【典例】如图所示,ABC的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点. (1)写出与 共线的向量. (2)写出与 的模相等的向量. (3)写出与 相等的向量.,【解题探究】1.题(1)中判断向量共线的依据是什么? 提示:依据是看两个向量的方向是否相同或相反. 2.题(2)中判断向量的模是否相等的依据是什么? 提示:判断表示向量的有向线段的长度是否相等. 3.题(3)中判断向量相等的依据是什么? 提示:判断两个向量的方向是否相同,模是否相等.,【解析】因为E,F分别是AC,AB的中点, 所以EFBC,且EF= BC. 又因为D是BC的中点,所以EF=BD=DC. (1)与 共线的向量有: (2)与 的模相等的向量有: (3)与 相等的向量有:,【延伸探究】在本例条件不变的情况下,写出与 共线的向量和与 相等的向量. 【解析】与 共线的向量有: 与 相等的向量有:,【方法技巧】判断相等向量与共线向量的注意点 (1)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念:两个向量平行包含两个向量所在直线共线,但两条直线平行不包含两条直线重合. (2)平行(共线)向量无传递性(因为有0). (3)共线向量一般在一条直线上或分别在两条平行直线上.,【变式训练】如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些? (2)与a共线的向量有哪些?,【解析】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有 (2)与a共线的向量有,易错案例 对向量的相关概念的正确理解 【典例】下列四个说法: 若|a|=0,则a=0; 两个单位向量一定相等; 若ab,则|a|=|b|; 若ab,bc,则ac. 其中正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【失误案例】,【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因在于对向量的相关概念理解不透彻.认为正确是忽略了0和0的区别.认为正确是忽视只由两个向量平行,可以得到它们的方向相同或相反,而未必得到它们的模相等;认为正确,是因为忽视了零向量与任何向量平行.,【自我矫正】选A.错误,由|a|=0可知a是零向量,即a=0;错误,单位向量模为1,但方向不一定相同,故单位向量不一定相等;错误,两个向量平行,可以得到它们的方向相同或相反,而未必得到它们的模相等;错误,若b=0,则a与c不一定平