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第85讲不等式的证明1(2018广州二模)已知函数f(x)|2x1|2x1|,不等式f(x)2的解集为M.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|ab|ab|1. (1)f(x)2,即|2x1|2x1|2,当x时,得(2x1)(12x)2,解得x,故x;当x时,得(2x1)(12x)2,即22.故x1,n1,对tT,不等式log3mlog3nt恒成立,求mn的最小值 (1)令f(x)|x1|x2|则1f(x)1.因为xR使得不等式|x1|x2|t成立,所以t1,即Tt|t1(2)由(1)知,log3mlog3n1,因为m1,n1,所以log3m0,log3n0,又log3mlog3n22,所以mn9,当且仅当mn3时,取等号所以mn的最小值为9.4(2017河北石家庄二模)设函数f(x)|x1|2x1|的最大值为m.(1)作出函数f(x)的图象;(2)设a0,b0,c0,若a22c23b2m,求ab2bc的最大值 (1)f(x)画出图象如下图所示(2)由(1)知m,因为ma22c23b2(a2b2)2(c2b2)2ab4bc,所以ab2bc,所以ab2bc的最大值为.当且仅当abc时,等号成立5(经典真题)设a,b,c,d均为正数,且abcd,证明:(1)若abcd,则;(2)是|ab|cd,得()2()2,所以.(2)若|ab|cd|,则(ab)2(cd)2,即(ab)24abcd.由(1)得.若,则()2()2,即ab2cd2,因为abcd,所以abcd.所以(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2,因此|ab|是|ab|0,b0,函数f(x)|xa|2xb|的最小值为1.(1)证明:2ab2;(2)若a2btab恒成立,求实数t的最大值 (1)证明:因为a,所以f(x)显然f(x)在(,)单调递减,在(,)单调递增,所以f(x)的最小值为f()a1,即2ab2.(2)因为a2btab恒成立,所以t
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