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第85讲不等式的证明1(2018广州二模)已知函数f(x)|2x1|2x1|，不等式f(x)2的解集为M.(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|ab|1. (1)f(x)2，即|2x1|2x1|2，当x时，得(2x1)(12x)2，解得x，故x；当x时，得(2x1)(12x)2，即22.故x1，n1，对tT，不等式log3mlog3nt恒成立，求mn的最小值 (1)令f(x)|x1|x2|则1f(x)1.因为xR使得不等式|x1|x2|t成立，所以t1，即Tt|t1(2)由(1)知，log3mlog3n1，因为m1，n1，所以log3m0，log3n0，又log3mlog3n22，所以mn9，当且仅当mn3时，取等号所以mn的最小值为9.4(2017河北石家庄二模)设函数f(x)|x1|2x1|的最大值为m.(1)作出函数f(x)的图象；(2)设a0,b0,c0,若a22c23b2m，求ab2bc的最大值 (1)f(x)画出图象如下图所示(2)由(1)知m，因为ma22c23b2(a2b2)2(c2b2)2ab4bc，所以ab2bc，所以ab2bc的最大值为.当且仅当abc时，等号成立5(经典真题)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2，所以.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2，因为abcd，所以abcd.所以(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2，因此|ab|是|ab|0，b0，函数f(x)|xa|2xb|的最小值为1.(1)证明：2ab2；(2)若a2btab恒成立，求实数t的最大值 (1)证明：因为a，所以f(x)显然f(x)在(，)单调递减，在(，)单调递增，所以f(x)的最小值为f()a1，即2ab2.(2)因为a2btab恒成立，所以t
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