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第68讲圆锥曲线的综合应用(一)(与最值、范围的综合)1(2018北京卷文节选)已知椭圆M:1(ab0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k1,求|AB|的最大值 (1)由题意得解得a,b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)设直线l的方程为yxm,A(x1,y1),B(x2,y2)由得4x26mx3m230,所以x1x2,x1x2.所以|AB| .当m0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为.2(经典真题)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则1,1,1.由此可得1.因为x1x22x0,y1y22y0,所以a22b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2b23.因此a26,b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn(nb0)的左、右顶点,|AB|4,且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若点P(x0,y0)(y00)为直线x4上任意一点,PA,PB交椭圆于C,D两点,求四边形ACBD面积的最大值 (1)依题意|AB|2a4,所以a2,又e,所以c,从而b2a2c22.所以椭圆方程为1.(2)设P(4,t)(不妨设t0),则直线PA的方程为y(x2),直线PB的方程为y(x2),设C(x1,y1),D(x2,y2)由得(18t2)x24t2x4t2720.则2x1,所以x1,于是y1(x12).由得(2t2)x24t2x4t280.则2x2,所以x2,于是y2(x22).S四边形ACBDSACBSADB|AB|y1|AB|y2|4()323232.设ut,则u2,),S四边形ACBDg(u),g(u)在2,)递减,故(S四边形ACBD)maxg(2)2.4(2018浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y24x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点,求PAB面积的取值范围 (1)设P(x0,y0),A(y,y1),B(y,y2)因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程()24即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0,因此,PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0,|y1y2|2.因此,PAB的面积SPA
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