2020版高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节数系的扩充与复数的引入学案新人教A版.docx

第四节数系的扩充与复数的引入2019考纲考题考情1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部。若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数。(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)。(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)。(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。(5)复数的模：向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|。2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)。(2)复数zabi平面向量(a，bR)。3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)则：加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i。减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i。乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i。除法：(cdi0)。(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)。1复数abi(a，bR)数系表复数2i的乘方具有周期性in(kZ)。3复数的模与共轭复数的关系：z|z|2|2。一、走进教材1(选修12P55A组T2改编)若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为()A1 B2C1或2 D1解析依题意，有解得a2。故选B。答案B2(选修12P63A组T1(2)改编)复数2的共轭复数是()A2i B2iC34i D34i解析22(2i)234i，所以其共轭复数是34i。故选C。答案C二、走近高考3(2018全国卷)i(23i)()A32i B32iC32i D32i解析i(23i)2i3i232i。故选D。答案D4(2018全国卷)(1i)(2i)()A3i B3iC3i D3i解析(1i)(2i)2i2ii23i。答案D三、走出误区微提醒：复数的几何意义不清致误；复数的运算方法不当致使出错；z与的不清致误。5在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B。若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82iC24i D4i解析因为A(6,5)，B(2,3)，所以线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z24i。故选C。答案C6若a为实数，且3i，则a()A4 B3C3 D4解析由3i，得2ai(3i)(1i)24i，即ai4i，因为a为实数，所以a4。故选D。答案D7已知(12i)43i，则z_。解析因为2i，所以z2i。答案2i考点一复数的有关概念【例1】(1)(2019河北衡水中学模拟)已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z3iaai，若复数z是纯虚数，则()Aa3 Ba0Ca0 Da0(2)设复数z(其中i为虚数单位)，则复数z的实部为_，虚部为_。解析(1)由z3iaai，得za(a3)i，又因为复数z是纯虚数，所以解得a0。故选B。(2)z2i，所以复数z的实部为2，虚部为1。答案(1)B(2)21复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意列方程(组)求解。【变式训练】(1)已知复数z1i，则下列说法中正确说法的个数为()|z|；1i；z的虚部为i；z在复平面上对应的点在第一象限。A1B2 C3D4(2)复数z的共轭复数是()A14i B14iC14i D14i(3)若复数(1ai)22i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a()A0B1 C1D1解析(1)因为复数z1i，所以|z|，1i，z的虚部为1，z在复平面上对应的点(1,1)在第一象限，即中的说法正确，中的说法错误。故选C。(2)z14i，所以复数z的共轭复数是14i。故选A。(3)(1ai)22i1a2(2a2)i，因为(1ai)22i是纯虚数，所以即a1。故选D。答案(1)C(2)A(3)D考点二复数的几何意义【例2】(1)复数z(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()ABCD解析(1)因为zi，所以z在复平面内所对应的点在第一象限。故选A。(2)由|z|1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足yx的区域，该区域的面积为11，故满足yx的概率为。故选D。答案(1)A(2)D1复数z、复平面上的点Z及向量一一对应，即zabi(a，bR)Z(a，b)。2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。【变式训练】(1)如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为()A13i B3iC3i D3i(2)已知复数zxyi(x，yR，x0)且|z2|，则的取值范围是_。解析(1)由题图可得Z(1，1)，即z1i，所以z1i1i1i1i22i3i。故选D。(2)因为|z2|x2yi|，|z2|，所以(x2)2y23。设k，则ykx。联立化简为(1k2)x24x10。因为直线ykx与圆有公共点，所以164(1k2)0，解得k，所以的取值范围为，。答案(1)D(2)，考点三复数的运算【例3】(1)(2018全国卷)设z2i，则|z|()A0BC1D(2)(2018天津高考)i是虚数单位，复数_。(3)(2018江苏高考)若复数z满足iz12i，其中i是虚数单位，则z的实部为_。解析(1)因为z2i2i2ii，所以|z|1。故选C。解析：因为z2i，所以|z|1，故选C。(2)4i。(3)复数z(12i)(i)2i的实部是2。答案(1)C(2)4i(3)2,1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算。2.复数除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式。【变式训练】(1)若复数z满足(2i)z|12i|，则z的虚部为()ABi C1Di(2)(2019昆明质检)设复数z满足1i，则z()A1i B1i,C