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第59讲 绝对值不等式课时达标1函数f(x)axb,当|x|1时,都有|f(x)|1,求证:|b|1,|a|1.证明 因为|f(x)|1,令x0,得|f(0)|1,所以|b|1.因为|f(1)|ab|1,|f(1)|ab|1,所以2|a|abab|ab|ab|2,所以|a|1.2(2019泉州模拟)已知函数f(x)|x3|x2|.(1)求不等式f(x)3的解集;(2)若f(x)|a4|有解,求a的取值范围解析 (1)f(x)|x3|x2|3,当x2时,有x3(x2)3,解得x2;当x3时,x3(x2)3,解得x;当3x2时,有2x13,解得1x2.综上,f(x)3的解集为x|x1(2)由绝对值不等式的性质可得|x3|x2|(x3)(x2)|5,则有5|x3|x2|5.若f(x)|a4|有解,则|a4|5,解得1a9.所以a的取值范围是1,93(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象;(2)当x0,)时,f(x)axb,求ab的最小值解析 (1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知,yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)axb在0,)成立因此ab的最小值为5.4(2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空,求m的取值范围解析 (1)f(x)当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm,得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2,且当x时,|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.5设函数f(x)|xa|.(1)当a2时,解不等式f(x)4|x1|;(2)若f(x)1的解集为0,2,a(m0,n0),求证:m2n4.解析 (1)当a2时,不等式为|x2|x1|4.当x2时,原不等式化为2x34,解得x,所以x;当1x2时,原不等式化为14,无解;当x0,n0)所以m2n(m2n)24,当且仅当m2n时,等号成立6(2019辽宁联考)已知函数f(x)log2(|x1|x2|m)(1)当m7时,求函数f(x)的定义域;(2)若关于x的不等式f(x)2的解集是R,求m的取值范围解析 (1)由题设知|x1|x2|7,则或或解得函数f(x)的定义域为(,3)(4,)(2)不等式f(x)2,即|x1|x2|m4,因为xR时,
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