2020版高考数学第十二章选考部分第1节坐标系与参数方程（第2课时）参数方程教案文（含解析）北师大版.docx

第2课时参数方程最新考纲1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程知 识 梳 理1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫作参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.3.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)温馨提醒直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离微点提醒1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式cos2 sin2 1，1tan2 .基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量.()(3)方程(为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()解析(4)当t时，点M的坐标为，即M(1，2)，OM的斜率k2.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修44P22例1改编)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，点M(6，a)在曲线C上，则a_.解析由题意得答案93.(选修44P26习题A4改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为_.解析消去t，得xy1，即xy10.答案xy104.(2014湖北卷)已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，则C1与C2交点的直角坐标为_.解析将曲线C1的参数方程化为普通方程为yx(x0)，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程为x2y24，联立解得故曲线C1与C2交点的直角坐标为(，1)答案(，1)5.(2015广东卷)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为(cos sin )2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为_.解析曲线C1：cos sin 2的直角坐标方程为xy2，曲线C2：的普通方程为y28x，由解得则C1与C2交点的直角坐标为(2，4)答案(2，4)6.(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解(1)a1时，直线l的普通方程为x4y30.曲线C的标准方程是y21，联立方程解得或则C与l交点坐标是(3，0)和.(2)直线l的普通方程是x4y4a0.设曲线C上点P(3cos ，sin ).则P到l距离d，其中tan .又点C到直线l距离的最大值为，所以|5sin()4a|的最大值为17.若a0，则54a17，a8.若a0，则54a17，a16.综上，实数a的值为a16或a8.考点一参数方程与普通方程的互化【例1】 将下列参数方程化为普通方程.(1)(t为参数)；(2)(为参数).解(1)由t210t1或t10x1或1x0.由式代入式得普通方程为x2y21.其中或(2)由x2sin2 ，0sin2 122sin2 32x3，普通方程为2xy40(2x3).规律方法消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数(2)利用三角恒等式消去参数(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数【训练1】 (1)设cos ，为参数，求椭圆1的参数方程.(2)将下列参数方程化为普通方程.()(t为参数)；()(为参数).解(1)把cos 代入椭圆方程，得到cos2 1，于是(y2)25(1cos2 )5sin2 ，即y2sin ，由参数的任意性，可取y2sin ，因此椭圆1的参数方程为(为参数).(2)()由参数方程得etxy，etxy，所以(xy)(xy)1，得普通方程为x2y21.()因为曲线的参数方程为由y2tan ，得tan ，代入得普通方程为y22x.考点二参数方程的应用【例21】 已知椭圆C：1，直线l：(t为参数).(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与到直线l的距离相等，求点P的坐标.解(1)椭圆C的参数方程为(为参数)，直线l的普通方程为xy90.(2)设P(2cos ，sin )，则|AP|2cos ，P到直线l的距离d.由|AP|d，得3sin 4cos 5，又sin2 cos2 1，得sin ，cos .故P.【例22】 (2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.解(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.【例23】 (2019濮阳三模)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；(2)已知与直线l平行的直线l过点M(2，0)，且与曲线C交于A，B两点，试求|AB|.解(1)直线l的参数方程可化为(t为参数)，消去t可得直线的普通方程为y(x1)1，又直线l的极坐标方程为cos sin 10，由可得2(1cos2 )2cos ，曲线C的直角坐标方程为y22x.(2)直线l的倾斜角为，直线l的倾斜角也为，又直线l过点M(2，0)，直线l的参数方程为(t为参数)，将其代入曲线C的直角坐标方程可得3t24t160，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程的根与系数的关系知t1t2，t1t2，|AB|t1t2|.规律方法已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为(t为参数)1若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|t1t2|，|t2t1|.2若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3.3若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1t20，t1t20，可得1m3，由m为非负数，可得0m0，即(m)24(m22m)0，得1m0，.6.(2019茂名二模)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数，0).(1)若，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.解(1)由直线l的参数方程(t为参数)及可得其直角坐标方程为xy30，由曲线C的极坐标方程，得其直角坐标方程为y22x.(2)把直线l的参数方程(t为参数)，代入抛物线方程y22x得t2sin2 2t(sin cos )30(*)，设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1t2.P(2，1)为AB的中点，P点所对应的参数为0，sin cos 0，即.则(*)变为t230，此时t26，t，|AB|2.能力提升题组(建议用时：20分钟)7.(2019衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.解(1)C1的极坐标方程是，4cos 3sin 24，4x3y240，故C1的直角坐标方程为4x3y240.曲线C2的参数方程为x2y21，故C2的普通方程为x2y21.(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(为参数).设N(2cos ，2sin )，则点N到曲线C1的距离d.当sin()1时，d有最小值，所以|MN|的最小值为.8.(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点.(1)求的取值范围；(2)求A