2020版高考数学第十二章选考部分第2节不等式选讲（第2课时）不等式的证明教案文（含解析）北师大版.docx

第2课时不等式的证明最新考纲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法知 识 梳 理1.基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立.定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立.2.不等式的证明方法(1)比较法作差法(a，bR)：ab0ab；ab0a0，b0)：1ab；1a0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_.解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.答案MN3.(选修45P25T3改编)已知a，b，c(0，)，且abc1，则的最小值为_.解析把abc1代入得332229，当且仅当abc时等号成立答案94.(2019聊城模拟)下列四个不等式：logx10lg x2(x1)；|ab|1)，正确；ab0时，|ab|a|b|，不正确；因为ab0，与同号，所以2，正确；由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1恒成立，也正确，综上正确答案C5.(2017全国卷)已知a0，b0，且a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.考点一比较法证明不等式【例1】 设a，b是非负实数，求证：a2b2(ab).证明因为a2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab)(ab)(ab).因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与ab同号，所以(ab)(ab)0，所以a2b2(ab).规律方法比较法证明不等式的方法与步骤1作差比较法：作差、变形、判号、下结论2作商比较法：作商、变形、判断、下结论提醒(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法【训练1】 (1)(2019锦州模拟)设不等式|2x1|1的解集为M.求集合M；若a，bM，试比较ab1与ab的大小.(2)若ab1，证明：ab.(1)解由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1.由和a，bM可知0a1，0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故ab1ab.(2)证明aab.由ab1得ab1，ab0，所以0.即a0，所以ab.考点二综合法证明不等式【例2】 (1)已知a，b，cR，且它们互不相等，求证a4b4c4a2b2b2c2c2a2；(2)已知x，y，z均为正数，求证：.证明(1)a4b42a2b2，b4c42b2c2，a4c42a2c2，2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)，即a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a，b，c互不相等，a4b4c4a2b2b2c2c2a2.(2)因为x，y，z都为正数，所以，同理可得，当且仅当xyz时，以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得.规律方法1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键2在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件【训练2】 已知实数a，b，c满足a0，b0，c0，且abc1.(1)证明：(1a)(1b)(1c)8；(2)证明：.证明(1)1a2，1b2，1c2，相乘得：(1a)(1b)(1c)88.(2)abbcac，abbc22，abac22，bcac22，相加得.考点三分析法证明不等式【例3】 已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x1)f(x3)6；(2)若|a|1，|b|a|f.(1)解由题意，知原不等式等价为|x2|x2|6，令g(x)|x2|x2|，则g(x)当x2时，由2x6，得x3；当2x|a|f，只需证|ab1|ba|，只需证(ab1)2(ba)2.而(ab1)2(ba)2a2b2a2b21(a21)(b21)0，从而原不等式成立.规律方法1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆2分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：【训练3】 已知abc，且abc0，求证：bc且abc0，知a0，c0.要证a，只需证b2ac3a2.abc0，只需证b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0，(ab)(ac)0显然成立，故原不等式成立.思维升华证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据易错防范在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.设a，b0且ab1，求证：.证明因为(1212)25.所以.2.设a0，b0，ab1，求证8.证明a0，b0，ab1，1ab2，即，4，(ab)22448.当且仅当ab时等号成立，8.3.(2019大理一模)已知函数f(x)|x|x3|.(1)解关于x的不等式f(x)5x.(2)设m，ny|yf(x)，试比较mn4与2(mn)的大小.解(1)f(x)|x|x3|f(x)5x，即或或解得x或x或x8.所以不等式的解集为8，).(2)由(1)易知f(x)3，所以m3，n3.由于2(mn)(mn4)2mmn2n4(m2)(2n).且m3，n3，所以m20，2n0，即(m2)(2n)0，所以2(mn)mn4.4.(2019郴州质量检测)已知a，b，c为正数，函数f(x)|x1|x5|.(1)求不等式f(x)10的解集；(2)若f(x)的最小值为m，且abcm，求证：a2b2c212.(1)解f(x)|x1|x5|10等价于或或解得3x1或1x0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2)().证明(1)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3.而abbcca1，故只需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得.所以原不等式成立.(2).在(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明，即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c，所以abcabbcca.所以原不等式成立.6.(2019百校联盟联考)已知函数f(x)|2x3|2x1|的最小值为M.(1)若m，nM，M，求证：2|mn|4mn|；(2)若a，b(0，)，a2bM，求的最小值.(1)证明f(x)|2x3|2x1|2x3(2x1)|2，M2.要证明2|mn|4mn|，只需证明4(mn)2(4mn)2，4(mn)2(4mn)24(m22mnn2)(168mnm2n2)(m24)(4n2)，m，n2，2，m2，n20，4，(m24)(4n2)0，4(mn)2(4mn)20，4(mn)2(4mn)2，可得2|mn|4mn|.(2)解由(1)得，a2b2，因为a，b(0，)，所以(a2b)4，当且仅当a1，b时，等号成立.所以的最小值为4.能力提升题组(建议用时：20分钟)7.已知函数f(x)x1|3x|，x1.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2naba2b，求证：2ab.(1)解根据题意，若f(x)6，则有或解得1x4，故原不等式的解集为x|1x4.(2)证明函数f(x)x1|3x|分析可得f(x)的最小值为4，即n4，则正数a，b满足8aba2b，即8，又a0，b0，2ab(2ab)，当且仅当ab时取等号.原不等式得证.8.(2015全国卷)设a，b，c，d均为正数，且a