2020版高考数学第六章不等式、推理与证明第38讲数学归纳法课时达标理新人教A版.docx

第38讲 数学归纳法课时达标一、选择题1用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“k到k1”左端需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.B解析 当nk时，有(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，则当nk1时，有(k2)(k3)(2k1)(2k2)显然增乘的代数式为2(2k1)2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3 C5 D6C解析 n4时，24421；n5时，25521，故n05.3已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2A解析 f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2，故选A.4(2019黄山高中模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立B解析 根据数学归纳法步骤可知，要证n为正偶数对原式成立，假设nk(k2且k为偶数)时，命题为真，则下一步需证下一个正偶数即nk2时，命题为真，故选B.5(2019陆川一中月考)已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除f(n)，则m的最大值为()A30 B26 C36 D6C解析 因为f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测m的最大值为36.可以利用数学归纳法作如下简要证明：f(n1)2(n1)73n19，所以f(n1)f(n)23n12(2n7)3n(4n20)3n，当n1时，该式的值为72可被36整除，当n2时，4n20可被4整除，3n可被9整除，则(4n20)3n可被36整除，即证故选C.6对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，不等式成立()A过程全部正确Bn1验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确D解析 在nk1时，没有应用nk时的假设，即从nk到nk1的推理不正确，故选D.二、填空题7用数学归纳法证明11)时，第一步应验证的不等式是_解析 由nN*，n1知n取第一个值n02，当n2时，不等式为12.答案 128设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn1)2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_.解析 由(S11)2S得：S1；由(S21)2(S2S1)S2得：S2；由(S31)2(S3S2)S3得：S3.猜想Sn.答案 9设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)个平面区域，则f(2)_，f(n)_(n1，nN*)解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，从而f(n)n2n2.答案 4n2n2三、解答题10求证：1(nN*)证明 当n1时，左边1，右边，左边右边，等式成立假设nk(kN*)时，等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合可知，对一切nN*等式成立11用数学归纳法证明12(nN*，n2)证明 当n2时，12，命题成立假设nk(k2，且kN*)时，命题成立，即12.当nk1时，12231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设nk(k1且kN*)时，结论成立，即ak2k1.当nk1