2020版高考数学第三单元导数及其应用课时3导数在函数中的应用——极值与最值教案文（含解析）新人教A版.docx

导数在函数中的应用极值与最值1掌握函数极值的定义及可导函数的极值点的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)2会研究一些简单函数的极值3会利用导数求一些函数在给定区间上的最值 知识梳理1函数的极值(1)函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值.(2)判断可导函数f(x)的极值的方法是：如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值2函数的最值(1)(最值定理)一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)一般地，求函数f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：求函数f(x)在(a，b)内的极值.将f(x)的极值和端点的函数值 比较，其中最大的一个为最大值；最小的一个为最小值. 热身练习1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(A)A1个 B2个C3个 D4个 因为f(x)与x轴有4个交点，即f(x)0有4个解，但仅左边第二个交点xx0满足xx0时，f(x)0；xx0时，f(x)0，其他交点均不符合该条件2函数f(x)在xx0处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则(C)Ap是q的充分必要条件Bp是q的充分条件，但不是q的必要条件Cp是q的必要条件，但不是q的充分条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 因为函数f(x)在xx0处可导，所以若xx0是f(x)的极值点，则f(x0)0，所以qp，故p是q的必要条件；反之，以f(x)x3为例，f(0)0，但x0不是极值点所以pq故p不是q的充分条件3(2016四川卷)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a(D)A4 B2C4 D2 由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，所以当x2或x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0，所以f(x)在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数，在(2，)上为增函数所以f(x)在x2处取得极小值，所以a2.4函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是(C)A1，1 B1，17C3，17 D9，19 令f(x)3x230，得x1.f(1)1311，f(1)1313，f(3)17，f(0)1.所以最大值为3，最小值为17.5(2016北京卷)函数f(x)(x2)的最大值为2. f(x)，当x2时，f(x)0，所以f(x)在2，)上是减函数，故f(x)maxf(2)2. 求函数的极值、最值求函数f(x)x34x4的极值 因为f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)所以当x2时，f(x)有极大值f(2)；当x2时，f(x)有极小值f(2). (1)求可导函数f(x)的极值的步骤：确定函数的定义域，求导数f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程根左、右值的符号；作出结论：如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值(2)求可导函数f(x)在a，b上最值的步骤：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)各极值与f(a)，f(b)比较，得出f(x)在a，b上的最值1求函数f(x)x34x4在3,3上的最大值与最小值 由例1可知，在3,3上，当x2时，f(x)有极大值f(2)；当x2时，f(x)有极小值f(2).又f(3)7，f(3)1，所以f(x)在3,3上的最大值为，最小值为. 含参数的函数的极值的讨论已知函数f(x)xaln x(aR)，求函数f(x)的极值 由f(x)1(x0)可知(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a0时，由f(x)0，解得xa.当x(0，a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值 对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f(x)的零点的存在；(2)参数是否影响f(x)不同零点的大小；(3)参数是否影响f(x)在零点左右的符号如果有影响，则要分类讨论2(2018银川高三模拟节选)已知函数f(x)ax1ln x(aR)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数 f(x)的定义域为(0，)f(x)a.当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递减，所以f(x)在(0，)上没有极值点当a0时，由f(x)0得0x0得x.所以f(x)在(0，)上递减，在(，)上递增，所以f(x)在x处有极小值所以当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点 含参数的函数的最值讨论已知函数f(x)ln xax(a0)，求函数f(x)在1,2上的最大值 f(x)a(x0)，令f(x)0，得x.(1)当1，即a1时，函数f(x)在1,2上是减函数，所以f(x)maxf(1)a.(2)当2时，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)maxf(2)ln 22a.(3)当12，即a1时，函数f(x)在1，上是增函数，在，2上是减函数所以f(x)maxf()ln a1.综上可知：当0a时，f(x)maxln 22a；当a0)，求函数f(x)在1,2上的最小值 f(x)a(x0)，令f(x)0，得x.(1)当1，即a1时，函数f(x)在1,2上是减函数，所以f(x)minf(2)ln 22a.(2)当2时，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)minf(1)a.(3)当12，即a1时，函数f(x)在1，上是增函数，在，2上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，f(x)minf(1)a；当ln 2a1时，f(x)minf(2)ln 22a.综上可知：当0aln 2时，函数f(x)mina；当aln 2时，函数f(x)minln 22a.1求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定f(x)的定义域，求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查f(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值2求可导函数f(x)在a，b上的最大值和最小值可按如下步骤进行：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)