2020版高考数学总复习第八章立体几何初步第5节垂直关系教案文（含解析）北师大版.docx

第5节垂直关系最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直线面垂直)l性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角.(2)范围：.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(3)二面角的范围：0，.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l微点提醒1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()解析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与斜交或l或l，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P40例3改编)已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系为()A.b B.bC.b或b D.b与相交答案C3.(必修2P42A5改编)已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的是()A. B.C. D.解析如图，因为PAPB，PAPC，PBPCP，且PB平面PBC，PC平面PBC，所以PA平面PBC.又BC平面PBC，所以PABC，同理可得PBAC，PCAB，故正确.答案A4.(2019安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A.且m B.mn且nC.mn且n D.mn且解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.答案C5.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案C6.(2018安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法错误的是()A.若a，b，则abB.若a，b，ab，则C.若a，ab，则bD.若a，ab，则b或b解析对于A，若a，则a，又b，故ab，故A正确；对于B，若a，ab，则b或b，存在直线m，使得mb，又b，m，.故B正确；对于C，若a，ab，则b或b，又，所以b或b，故C错误；对于D，若a，ab，则b或b，故D正确.答案C考点一线面垂直的判定与性质【例1】 (2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点.(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知，OPOB.由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足为H.又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OCAC2，CMBC，ACB45.所以OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.规律方法1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，ll).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】 (2019南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160.(1)求证：BC1平面ABC；(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥EABC的体积为，求线段CE的长.(1)证明AB平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，ABBC1，在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160，由余弦定理得BCBC2CC2BCCC1cosBCC11222212cos 603，BC1，BC2BCCC，BCBC1，又AB，BC平面ABC，BCABB，BC1平面ABC.(2)解AB平面BB1C1C，VEABCVAEBCSBCEABSBCE1，SBCECEBCsinBCECE，CE1.考点二面面垂直的判定与性质【例2】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形.BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，而且ABED为平行四边形.BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，且PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD.E和F分别是CD和PC的中点，PDEF.CDEF，又BECD且EFBEE，CD平面BEF，又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.规律方法1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】 (2019商洛模拟)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC90，ADSD，BCCDAB，侧面SAD底面ABCD.(1)求证：平面SBD平面SAD；(2)若SDA120，且三棱锥SBCD的体积为，求侧面 SAB的面积.(1)证明设BCa，则CDa，AB2a，由题意知BCD是等腰直角三角形，且BCD90，则BDa，CBD45，所以ABDABCCBD45，在ABD中，ADa，因为AD2BD24a2AB2，所以BDAD，由于平面SAD底面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面SAD，又BD平面SBD，所以平面SBD平面SAD.(2)解由(1)可知ADSDa，在SAD中，SDA120，SA2SDsin 60a.作SHAD，交AD的延长线于点H，则SHSDsin 60a，由(1)知BD平面SAD，因为SH平面SAD，所以BDSH.又ADBDD，所以SH平面ABCD，所以SH为三棱锥SBCD的高，所以VSBCDaa2，解得a1.由BD平面SAD，SD平面SAD，可得BDSD，则SB2.又AB2，SA，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为，则SAB的面积为.考点三平行与垂直的综合问题多维探究角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例31】 (2018北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.规律方法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题【例32】 如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得ACBM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题知AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin 60，由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高.又PA1，所以三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN.又BM平面MBN，所以ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN.由MNPA，得.规律方法1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.角度3空间位置关系与几何体的度量计算【例33】 (2019湖北六市联考)如图，在RtABC中，ABBC3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EFBC，将AEF沿EF折起到PEF的位置，使得二面角PEFB的大小为60.(1)求证：EFPB；(2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求四棱锥PEBCF的侧面积(1)证明因为在RtABC中，ABBC3，所以BCAB.又因为EFBC，所以EFAB，翻折后垂直关系没变，仍有EFPE，EFBE，又因为PEBEE，PE，BE平面PBE，所以EF平面PBE，所以EFPB.(2)解因为EFPE，EFBE，所以PEB是二面角PEFB的平面角，即PEB60，在BEP中，PE2，BE1，由余弦定理得PB，所以PB2BE2PE2，所以PBBE，所以PB，BC，BE两两垂直，又EFPE，EFBE，所以PBE，PBC，PEF均为直角三角形由AEFABC可得，EFBC2，SPBCBCPB，SPBEPBBE，SPEFEFPE2.在四边形BCFE中，过点F作BC的垂线，垂足为H，则FC2FH2HC2BE2(BCEF)22，FC.在PFC中，FC，PC2，PF2，由余弦定理可得cosPFC，则sinPFC，SPFCPFFCsinPFC.所以四棱锥PEBCF的侧面积为SPBCSPBESPEFSPFC22.规律方法1.本题的综合性较强，属于翻折问题，其关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况根据翻折的过程，把翻折前后一些线、面位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，应用到求解中2第(1)问证明线线垂直，这类问题的一般是通过证明线面垂直来证明第(2)问的解决过程中要清楚二面角PEFB的平面角是哪一个，并且利用这个角的大小找出四棱锥中各线、面的位置关系，确定各侧面三角形的形状，即可求四棱锥的侧面积【训练3】 (2019长沙模拟)在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB.(1)求证：AC平面FBC；(2)求四面体FBCD的体积；(3)线段AC上是否存在点M，使EA平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由(1)证明在ABC中，因为AC，AB2，BC1，所以AC2BC2AB2，所以ACBC.又因为ACFB，BCFBB，BC，FB平面FBC，所以AC平面FBC.(2)解因为AC平面FBC，FC平面FBC，所以ACFC.因为CDFC，ACCDC，所以FC平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1.所以BCD的面积为S.所以四面体FBCD的体积为VFBCDSFC.(3)解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA平面FDM.证明如下：连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN.因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点所以EAMN.因为MN平面FDM，EA平面FDM，所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA平面FDM成立考点四线面角、二面角的概念及应用【例4】 (1)(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_解析由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高设圆锥的母线长为l，则由SASB，SAB的面积为8，得l28，得l4.在RtASO中，由题意知SAO30，所以SOl2，AOl2.故该圆锥的体积VAO2SO(2)228.答案8(2)已知正三棱锥PABC的侧面与底面所成的二面角为60，且正三棱锥的体积为，则其侧面积为_解析如图所示，设AB的中点为M，连接CM，PM，由正三棱锥的性质可知PMAB，CMAB，所以PMC60，设点P在平面ABC上的射影为H，则H是CM靠近M的三等分点，设ABa，则MHa，在直角三角形PMH中，PHa，故三棱锥PABC的体积为a2aa3，解得a1，则PM，故SPAB1，所以三棱锥的侧面积为3SPAB3.答案规律方法(1)解决这类问题的关键是根据线面角、二面角的定义找出或做出这个角，利用线面角或二面角的大小计算几何体中的相关的量(2)找出或做出线面角和二面角的平面角都要根据其定义，恰当地利用图形中的垂直关系如(1)题中圆锥的轴线与底面垂直，(2)题中PM与AB，CM与AB垂直【训练4】 (1)(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8 B6C8 D8解析连接BC1，因为AB平面BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以ABC1为直角三角形又AB2，所以BC12.又B1C12，所以BB12，故该长方体的体积V2228.答案C(2)在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且AB2，若平面A1BD和平面ABCD所成的二面角为45，则A1A_解析如图所示，连接AC，交BD于O，则AOBD，连接A1O，由于A1BA1D，所以A1OBD，则A1OA即为二面角的平面角，即A1OA45，所以A1AAOAB.答案思维升华1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性质：，l，a，ala；2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3.转化思想：三种垂直关系之间的转化易错防范1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.直观想象立体几何中的动态问题1直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养2立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动