2020版高考数学第七章立体几何第45讲用向量方法求空间角及应用课时达标理新人教A版.docx

第45讲 用向量方法求空间角及应用课时达标一、选择题1已知三棱锥SABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，SAC，SBC的距离分别为，1，则PS的长度为()A9 B. C. D3D解析 由条件可分别以SA，SB，SC为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系Sxyz，则点S的坐标为(0,0,0)，点P的坐标为(，1，)，由两点之间的距离公式可得PS3.2在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D90C解析 不妨设ABACAA11，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，1,0)，A1(0,0,1)，A(0,0,0)，C1(1,0,1)，所以(0,1,1)，(1,0,1)，所以cos，所以，60，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.B解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以(0,1，1)，.设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1,2,2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，所以cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.4若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()Al Bl Cl Dl与斜交B解析 因为u2a，所以ua，则l.5已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧面积是其下底面面积的4倍，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为()A. B. C. D.A解析 设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，由题意可得4，整理得ab.取A1C1的中点E，连接B1E，易知B1EA1C1，又AA1底面A1B1C1，所以AA1A1C1，AA1B1E.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，设a为1，则E(0,0,0)，A，B1.设AB1与平面ACC1A1所成的角为，为平面ACC1A1的一个法向量， ，则sin |cos，|.故选A.6(2018浙江卷)已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则()A123 B321C132 D231D解析 由题意得四棱锥SABCD为正四棱锥，设O为其底面中心，则SO平面ABCD.过点E作EGBC交CD于点G，则SEG1，易知SESG，取EG中点H，所以tan 1.取AB中点F，连接OF，SF.因为OFBC，所以OFAB.因为SASB，F为AB中点，所以ABSF，所以SFO为二面角SABC的平面角，所以SFO3，tan 3.因为OFEH，SHSO，所以tan 1tan 3，又1，3，所以13.因为SO平面ABCD，所以SEO为SE与平面ABCD所成的角，所以SEO2，tan 2.因为OEOF，所以tan 3tan 2，又2，3，所以32，所以132，当且仅当E为AB中点时，123.故选D.二、填空题7在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，点D在棱BB1上，若BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为_解析 如图，设AD与平面AA1C1C所成的角为，E为AC的中点，连接BE，则BEAC，所以BE平面AA1C1C，可得()1cos (为与的夹角)，所以cos sin ，所以所求角的正切值为tan .答案 8如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_解析 不妨令CB1，则CACC12，可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，所以(0,2，1)，(2,2,1)，所以cos，0.所以与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案 9已知长方体ABCOA1B1C1O1，OAOC2，OO14，D为BC1与B1C的交点，E为A1C1与O1B1的交点，则DE的长度为_解析 以O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O1(0,0,4)，B1(2,2,4)，C(0,2,0)，因为D为BC1与B1C的交点，所以D是B1C的中点，同理，E是O1B1的中点，所以D(1,2,2)，E(1,1,4)，所以(0，1,2)，所以|DE，所以DE的长度为.答案 三、解答题10如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点(1)求证：平面AB1D平面ABB1A1；(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；(3)求平面AB1D与平面ABC所成锐二面角的大小解析 (1)证明：取AB1的中点E，AB的中点F，连接DE，EF，CF.因为E，F分别是AB1，AB的中点，所以EFBB1，且EFBB1.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，D是CC1的中点，所以CDEF，且CDEF，所以四边形CDEF为平行四边形，所以DECF.因为ABC是正三角形，所以CFAB.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1CF，而BB1ABB，所以CF平面ABB1A1.因为DECF，所以DE平面ABB1A1.因为DE平面AB1D，所以平面AB1D平面ABB1A1.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A，C(0，a,0)，D，B1(0,0，a)，(0，a,0)，设异面直线AB1与BC所成角为，则cos ，故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.(3)由(2)得，.设n(1，y，z)为平面AB1D的一个法向量由得即n.显然平面ABC的一个法向量为m(0,0,1)则cosm，n，故m，n，即所求锐二面角的大小为.11(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值解析 (1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，故四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.12选做题如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN平面BDE；(2)求二面角CEMN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长解析 如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)(1)(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨设z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2)易知n1(1,0,0)为平面CEM的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面E