2020版高考数学计数原理、概率、随机变量及分布列第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布教案理新人教A版.docx

第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布基础知识整合1离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量X的分布列为均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平方差称D(X)xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差(2)均值与方差的性质E(aXb)aE(X)b.D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)两点分布与二项分布的均值、方差2正态分布(1)正态曲线的性质曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示(2)正态分布的三个常用数据P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(31)0.5，P(X2)0.3，则P(Xa)0.5.由P(X1)0.5，可知a1，所以P(X2)0.3.故选B.3(2019广西名校联考)设整数m是从不等式x22x80的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量m2，则的数学期望E()()A1 B5 C2 D.答案B解析由x22x80得2x4，S2，1,0,1,2,3,4，m2，可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为，的数学期望E()0149165.故选B.4(2019孝感模拟)已知袋中有3个白球、2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)()A. B. C4 D.答案B解析由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X3)，P(X4)，P(X5)，所以E(X)345.5一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分某人每次击中目标的概率为，则此人得分的数学期望与方差分别为_答案20，解析记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则XB，Y10X，E(Y)10E(X)10320，D(Y)100D(X)1003.6已知离散型随机变量X的分布列如下表. 若E(X)0，D(X)1，则a_，b_.答案解析由核心考向突破考向一离散型随机变量的均值与方差角度与古典概型有关的均值与方差例1盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)解(1)取到2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4，X4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X4)；X3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X3)；于是P(X2)1P(X3)P(X4)1.所以随机变量X的概率分布如下表：因此，随机变量X的数学期望E(X)234.触类旁通求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.即时训练1.(2019江西师大附中模拟)已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2)若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望解(1)3名学生选择的选修课所有不同选法有4364种；各人互不相同的选法有A种，故互不相同的概率P.(2)选修课A被这3名学生选修的人数X的可能取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为数学期望E(X)0123.角度与二项分布有关的期望与方差例2张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由解(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则P(A)C3C2.所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).随机变量X的分布列为E(X)012.(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，YB，所以E(Y)3.因为E(X)141)P(12727)1P(22)0.023，故141分以上的人数为10000.02323(人)(3)X的可能取值为0,1,2,3,4，P(X0)4，P(X1)C13，P(X2)C22，P(X3)C31，P(X4)4，故X的分布列为期望E(X)41，方差D(X)np(1p)4.考向二均值与方差的实际应用例3(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0；当p(0.1,1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验触类旁通均值与方差的实际应用(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.即时训练3.(2017北京高考)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“ *”表示服药者，“”表示未服药者(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E()；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论)解(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为0.3.(2)由图可知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).所以的分布列为故的期望E()0121.(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差考向三正态分布例4(1)设随机变量服从正态分布N(3,4)，若P(a2)，则a的值为()A5 B3 C. D.答案D解析因为服从正态分布N(3,4)，P(a2)，所以x2a3与xa2关于x3对称，所以3，即3a7，解得a.选D.(2)(2019山东淄博模拟)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且XN(800,502)则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为()(参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.6826，P(2X2)0.9544，P(3900)0.0228，P(X900)10.02280.9772.故选A.触类旁通正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1的性质(2)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个.即时训练4.若随机变量服从正态分布N(0,1)，已知P(1.96)0.025，则P(|1.96)()A0.025 B0.050C0.950 D0.975答案C解析由随机变量服从正态分布N(0,1)，得P(1.96)1P(1.96)，所以P(|1.96)P(1.961.96)P(1.96)P(1.96)12P(1.96)12P(1.96)120.0250.950.5(2015山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%答案B解析由正态分布N(0,32)，可知落在(3,6)内的概率为13.59%.(2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得i9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2，16.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(3Z3)0.9974,0.9974160.9592，0.09.解(1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为0.0026，故XB(16,0.0026)因此P(X1)1P(X0)10.9974160.0408.X的数学期望E(X)160.00260.0416.(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的由9.97，s0.212，得的估计值为9.97，的估计值为0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为(169.979.22)10.02.因此的估计值为10.02.160.2122169.9721591.134，剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为(1591.1349.2221510.022)0.008，因此的估计值为0.09.答题启示本题考查正态分布、概率统计问题的综合，是在知识网络的交汇处命制的一道较为新颖的试题正态分布与统计案例有些知识点是所谓的高考“冷点”，由于考生对这些“冷点”的内容重视不够，复习不全面，一旦这些“冷点”知识出了考题，虽然简单但也做错，甚至根本不会做，因而错误率相当高此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点对点训练(2018宿州模拟)为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本直径的平均值65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)：P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(3X3)0.9974.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备M