011--III型弹塑性裂尖场-J积分@@@

第11讲：小范围屈服条件下III型裂纹的弹塑性解和J积分,III型问题,在一般情况下，求解弹塑性情况下的裂纹问题在数学上是很困难的，即使对于小范围屈服条件下，I型裂纹的弹塑性问题也没有封闭解。 对于小范围屈服情况下，可以得到其封闭解。 为I型和II型问题的分析提供参考，而且III型问题在工程中也是具有实际意义的。,理想弹塑性下的型问题-SSY,Hutchinson的半逆解法 设材料为理想弹塑性材料。对于型反平面问题，假设非零的位移分量 和应力分量 和 是空间坐标 和 的函数，与 无关。在极坐标系中，平衡方程为(在工程上，常采用符号 ) : 几何关系为：,对于理想塑性材料，在塑性区内，应力分量 和 满足：,即,1,剪切屈服应变,由Von Mises屈服条件,由Treaca屈服条件,假设在裂纹尖端塑性区内，满足塑性形变理论的适用条件(这一点将在下文中得到证实)，则弹性应变： 塑性应变为： 总应变为： 如果我们能找到一组应力应变场，满足以上各方程以及相应的边界条件，则即应是实际的场。设塑性区内的应力场为： 这组应力满足平衡方程和屈服条件。,对应的应变分量为： 由几何方程，有： 对比以上结果，可得： 于是问题归结为求解函数 。它可以通过在弹塑性区上满足连续条件来确定。,塑性比例因子,为了描述发生塑性屈服后弹性区的解，假设塑性区的形状是以 为圆心，以半径为 的一个图形区域，则裂纹尖端塑性区周围的弹性场相当于裂纹尖端向前运动之后的 场，即： 和 是以虚设裂纹尖端为坐标原点 的极坐标系。 在弹塑性区的交界线上，有： 于是有：,换算到极坐标系： 对应的应变和位移分量： 由弹塑性交界面上应力分量 连续，可以导出： 由此得到塑性区半径为：,由弹塑性交界面上位移 连续，得塑性区的位移： 从而可得： 裂纹尖端的张开位移为：,在求解前做了两个假设即应力分量以及塑性区的形状。但是这样的解的确满足所有的方程（平衡、几何、本构）以及边界条件（弹塑性交界、远场），因此，它实际上就是问题的真实解。,弹塑性交界线的极坐标表示，显然，塑性区的形状是圆。,理想弹塑性材料型裂纹尖端场,对理想弹塑性材料III型裂纹尖端场的全场解进行更细致的分析与讨论去除SSY假设。 III型问题塑性区应力分布的特点：前述讨论中已经给出了该问题的基本方程，由屈服条件，可以不失一般性设： 上式使屈服条件恒满足，如果设成其它的形式如: 结果也是完全一样的。,如果找到一条曲线 ,则沿该曲线上所有点的应力状态相同，这样的曲线称为特征线。 由直角坐标系中的平衡方程： 得： 沿着特征线 ，有： 要使 和 有非零解，要求行列式：,在整个塑性区成立,沿特征线方向成立,上式即： 由于对于同一条特征线， 所以特征线是斜率为常数的的曲线，即直线。(注意直接由此式并不容易看出) 考虑从原点出发的特征线，可得： 此式表明，特征线 即为从原点出发的射线。 由此，应力分布为： 所以，沿特征线上极坐标系中每一点的剪应力为垂直于特征线的最大应力 。,根据特征线理论，如果将以原点出发的射线称为特征线 ，则与其垂直的特征线构成一族以裂尖为圆心的弧，称为特征线 。 注意：在上面的推导中，并未列作塑性区大小，形状等假设，仅有的假设是理想弹塑性材料模型。因此，所得到的应力分布对于小范围屈服、大范围屈服等都适用。,表示特征 线的斜率,小范围屈服条件下的III型裂纹全场解,弹性区应力分布为(在小范围屈服条件下，假设远场仍为K场分布): 即有： 现在要解决的问题是： (a)弹性区与塑性区的边界； (b)弹性区内的应力分布。 该问题通常用复变函数的保角变换方法求解。,在如图所示的物理平面上，弹塑性的交界线未知，但是根据屈服条件，其剪应力分量必须满足 ，因此，在应力平面 上，弹塑性边界上的各点均位于半径为 的圆周上，而弹性区内各点则对应着圆周内的点。,裂纹面上的点A，B，C，D(由于裂纹面上 )，所以对应到轴 上。而且由于在塑性区内 所示以整个弹性区对应着应力平面上半径为 的上半个圆形区域内。为了数学上的方便，将图中的坐标轴顺时针方向旋转 ,且纵坐标均除以 以无量纲化，这样得到的一个复平面 。,在 平面上， ， ，发现在物理空间上弹塑性边界上的一点P(该处的应力为 , )，对应到平面 上相同的方位上。 根据以往的分析有： 因此 是 的函数。,设逆函数为： 在应力空间上需要满足的条件有： (1)裂纹表面自由边界条件： (2)在物理空间上无限远处的渐近边界条件：在远场上为 场，因此有： 即：,(3)在弹塑性区的交界线上(记交界线为 ， )，由于塑性区的尺寸为实数 ，因此有： 为了求解 的表达式，设 为级数形式。得其形式为： 又知： 的表达式：,应力状态,物理空间 上的位置,为纯虚数,为实数,该式是由基本方程和边界条件得到的小范围屈服条件下的封闭解。,将 代入 ，得到塑性区边界为： 它是以 为中心，以 为半径的圆。 亦可得：,即： 它就是相当于裂纹前端向右移 以后对应的 场。这样我们就得到了在小范围屈服条件下的塑性区与弹塑性区的全场解： 弹性区：应力、应变和位移仍然为III型K场分布，但是相当于向前移了 的距离。 塑性区： ， ，即存在一簇特征线 ，它为从裂纹出发的射线，沿 特征线的剪应力为 。,J积分的物理意义,1968年，Rice和Cherepanov提出了弹塑性断裂力学中最重要的一个概念-J积分。J积分不仅具有明确的物理意义，而且具备积分路径无关性，从而可以作为材料起裂的弹塑性断裂参数，与线弹性断裂力学的K构成了断裂力学中最核心的概念。,加载系统用一个非线性弹簧表示，它的力-位移关系为： 整个系统的总应变能为: 对于沿裂纹面方向的扩展，定义单位厚度含裂纹构件的能量释放率为:,设试件具有单位厚度。试件承受外载 作用，设试件和加载系统的柔度分别为 和 ，在力 下，试件与加载系统的伸长量分别为 和 。,弹簧应变能,含裂纹试件 的应变能,在位移控制加载条件下，假设在裂纹扩展一小量的过程中 则: 于是:,上式中的J与加载系统的性质无关。对于线弹性体， ，则上式中的J即为LEFM中的能量释放率G，即J=G。 在载荷控制的加载条件下： 则：,位移加载条件下J的定义,载荷控制条件下J的定义,J积分的守恒性,考虑一个含贯穿裂纹的平面问题(可以是平面应力，平面应变或反平面剪切)，该裂纹面上无外力作用，裂纹周围的应力、应变、位移场分别用 ， 和 表示。围绕裂纹尖端取一路径 ，起点和终点分别位于裂纹的下表面和上表面。,则沿路径 定义J积分为： J积分也可以表示为：,应变能密度,沿路径 的作用力矢量,路径 的外法 线单位矢量：,在一定的条件下，以上定义 的J积分是与路径无关的。,选取任意的积分路径 和 ，则曲线ABDCA构成了一条单连通的封闭曲线 ，在其内部没有奇点存在(即没有缺陷，没有载荷作用)。应用格林公式： 于是有： 假设材料在加载过程中满足小应变、单调比例加载，即其变形过程可以看作是小应变的非线性弹性情况，应力应变关系可以通过应变能密度表示为：,假定裂纹体中体积力可以略去不计，即应力的平衡方程表示为： 于是有： 定义沿 的线积分： 显然必有： 注意到由四部分组成，即： 在 和 上， ，且裂纹面上无外力作用，即 ，因此,小应变的几何关系,上式表明，由任意两条路径计算的J积分，结果是相同的，这就证明了J积分的路径无关性。 注意：在上述的证明中，我们用到了几个假设，这就是J积分的路径无关的条件，即： 在加载过程中，裂纹尖端不存在卸载发生，即塑性力学中的形变理论可以适用。否则， 和 之间将不存在一一对应关