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一维谐振子的能量本征方程为,则方程简化为,2.4 一维谐振子,不难证明 时，渐近解为 。,但 不满足束缚条件。因此不妨令方程 表示为,代入式 可求得 满足Hermite方程,当 时，方程 近似表示为,为满足束缚态边界条件，必须要求级数解 中断为一个多项式；可以证明,当方程满足如下条件：,时，级数解成为多项式，记为 ，上述要求就是对谐振子的能量 E 的相应限制，即,此即谐振子的能量本征值,利用正交性公式（附录A3，式（12）,可以证明，正交归一的谐振子能量本征函数（实）为,最低的三条能级上的谐振子波函数如下:,线性谐振子波函数,线性谐振子位置概率密度,线性谐振子 n =11 时的概率密度分布,虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短 粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。,讨 论,微观一维谐振子能量量子化,能量特点：,(1)量子化，等间距,(2)有零点能,符合不确定关系！,概率分布特点:,E V 区有隧道效应,基态的性质,基态位置概率分布,是个Gauss分布,量子：,在其它范围也能找到粒子。,在x = 0 处概率最大,见右图。,如下图所示：,符合玻尔对应原理,量子概率分布过渡到经典概率分布,跃迁只能逐级进行,各跃迁发出的谱频率 相同，只有一条谱线,跃迁有选择定则
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