04_第三章_卷积

3.4 图象的卷积计算,3.4.1 卷积积分 3.4.2 二维卷积 3.4.3 离散二维卷积的矩阵运算 3.4.4 卷积与滤波,3.4.1 卷积积分,卷积(convolution) (积分)是图像处理中十分重要的基本计算法则，就像算术中的四则运算一样。 卷积积分(卷积) ： h(t)是表征线性平移不变系统特性的一个函数，叫做该系统的冲激响应，是指当系统的输入是单位冲激时得到的输出。 线性平移不变系统的输出 可通过 输入信号 与 该系统的冲激响应的 卷积 得到。 卷积积分可以简化为：g=h*f 运算符合“*”代表前后两个函数的卷积。下页图描述了两个函数的卷积过程。卷积积分的结果是图中的阴影部分的面积，最后的结果g(t)是t的函数。,3.4.1 卷积积分,1）线性移不变系统的两种表示形式 复数形式的传递函数； 实数形式的卷积冲激响应； 两者是统一的。 2）卷积的性质 交换性 加法的分配率 结合率 求导的性质,卷积积分的步骤,1 折迭：把 h() 相对纵轴作出其镜像,2 位移：把 h(-) 移动一个 t 值,3 相乘：将位移后的函数 h(t-) 乘以 f(),4 积分： h(t-) 和 f() 乘积曲线下的面积即为 t 时刻的卷积值, 包含脉冲函数的卷积：即 f(t) 或 h(t) 中有一个为脉冲函数，则它们的卷积是一种最简单的卷积,-T0,T0,h(t)*f(t),t,A,A, 卷积定理：如果 f(t) 和 h(t) 的傅立叶变换分别为 F(f) 和 H(f) ,则f(t) * h(t) 的傅立叶变换为 H(f)F(f)。可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段, 卷积定理的简单推导：,相关函数,对两个不同的函数f1(t)和f2(t), 则积分,称为两个函数的互相关函数, 记为R12(t), 即,关于互相关函数, 有如下的性质: R21(t)=R12(-t),相关函数, 相关定理：如果 f(t) 和 h(t) 的傅立叶变换分别为 F(f) 和 H(f) ,则f(t) 和 h(t) 的相关积分为 F(f)H*(f)。即,其中，F*(f) 为 F(f) 的复共轭,当f1(t)=f2(t)=f(t)时, 积分,称为f(t)的自相关函数(简称相关函数). 用记号R(t)表示, 即,卷积积分的过程,卷积积分的过程, 卷积积分的图解表示：,1,1,卷积积分的过程, 卷积积分的图解表示（续）：,位移,h(t1- ),2,g(t),1,t,积分,3.4.1 卷积积分,3）一维离散卷积,3.4.2 二维卷积,设f和h分别是二元连续函数，即f(x,y)和h(x,y)，则它们的卷积积分为 式中的h是一个卷积函数 用在图像处理之中，这个卷积函数就是一个表征图像处理系统性质的函数。 二维连续函数的卷积过程与一维卷积相似，也是反转平移直（点）积积分的过程。二维卷积的结果g(x,y)是一个体积。,3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算,二维卷积过程如下： 由h(i, j)产生序列h(i-m, j-n)。首先把h(m, n)对m和n轴进行反转，然后进行平移，使得抽样h(0, 0)处于(i, j)点上。 计算f(m,n)h(i-m, j-n)乘积序列。 将乘积序列的各非零抽样值相加，得到卷积输出值g(i, j) 当m、n变化时，则序列h(i-m, j-n)移到(m,n)平面的另一个位置，得到另一个卷积输出值。,3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算,二维卷积卷积运算比较复杂，不能用两个二维序列的矩阵形式直接运算。要对它们进行适当的构造以通过矩阵相乘的运算得到卷积的结果。 首先认为两个序列f(i, j)与h(i, j)都是在x和y方向上周期至少为N和M的无限长周期序列的一部分。 将它们用矩阵形式描述，则为F与H，它们的卷积为G=F*H=H*F 设F的大小为(mfnf)，H的大小为(mhnh)。由于卷积运算是两个序列之间展转相乘求和的过程，所以在运用矩阵形式时要把F和H加以扩展。扩展后的矩阵大小为MN（其中Mmf+ mh-1, Nnf+ nh-1）用”0”元素填充扩展区的行、列，把扩展后的矩阵命名为Fp和Hp。为了方便起见，令M=N。,3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算,3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算,扩展后分别为：,构造Fp：按行堆叠方法将它构造成一个(MN)1= N21维列向量fb 行堆叠操作：把Fp元素按行转置之后作为fb列向量的一组(N个)元素。 E.g. Fp中的第一行(1 2 3 0)、第二行(4 5 6 0) 第四行(0 0 0 0)，分别转置后依次排列成为fb列向量1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0T 构造Hp：Hp是卷积核，它要在输入矩阵的范围内移动，并与输入矩阵的各个元素展转相乘，应该把矩阵Hp构造成能够适应这种运算的形式。为此，要构造一个NN个“块矩阵”组成的“循环”矩阵Hb。而每一个块矩阵又都是一个由Hp的每一行元素构成的循环矩阵。,Hp的第一行（-1 1 0 0）构成的块矩阵为H1,Hp的第二行（-2 2 0 0）构成的块矩阵为H2,第三行和第四行（0 0 0 0）构成的块矩阵均为H3和H4,这四个块矩阵分别构成了循环矩阵Hb的第一列。Hb的第二列、第三列和第四列由第一列四个块矩阵的次序循环交换构成。,3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算,2.3. 离散二维卷积的矩阵运算,将Hb与fb相乘，得到 Gb=Hbfb=-1 -1 -1 3 -6 -3 -3 12 -15 -3 -3 21 -14 -2 -2 18T 最后，把Gb变成NN卷积矩阵G,3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算,3.4.4. 卷积与滤波,卷积的数字实现可用于对数字信号和数字图像的线性滤波,采样方波信号和滤波器冲激响应的卷积过程,2.4. 卷积与滤波,单位脉冲输入通过一个一阶低通滤波器之后,减少了一定的高次谐波,卷积的作用和应用,1）平滑 可采用矩形脉冲、三角脉冲或高斯脉冲