010-裂纹张开位移COD与DB模型

第十讲弹塑性断裂力学 D-B模型和COD理论,概述,线弹性力学假设裂纹体为理想的线弹性材料组成。 线弹性断裂力学适用的条件是假设裂纹尖端发生塑性变形和微观结构演化的区域充分小，相对于应力强度因子主导区的尺寸可以忽略不计，即所谓的小范围屈服情况。即：认为线弹性下的应力强度因子K不仅主导着弹性区内的应力分布，而且控制着裂纹尖端断裂过程区的变形与损伤，因而可以用来K表征裂纹尖端（或用修正的）的应力应度场的强度，并以此建立裂纹体的断裂判据。 对于一些韧性好和受载荷比较大的材料，其裂纹尖端不再满足小范围屈服的条件，裂纹尖端的行为已无法用来K刻画和描述。,Dugdale-Barenblatt模型,直接利用弹塑性力学的基本方程求解裂纹问题是很复杂的。通过实验观察与理论分析，寻求材料变形破坏的简单规律，并据此建立适当的物理模型，可以简化分析，并为裂纹的弹塑性断裂提供一些定量或定性的结果。Dugdale模型用的就是这样一种方法。,Dugdale据此建立了裂纹尖端的条带塑性区模型，人们称为Dugdale模型。 设塑性屈服区的长度s比板厚t大得多，这样的塑性区是塑性变形局部化的一种特例。塑性区的宽度接近于板的厚度t，可以将该塑性区简化为一个沿裂纹方向的窄带。,1960年，Dugdale通过对软钢薄板裂纹 尖端性区的实验结果发现，塑性区集 中在与板平面成45的横向滑移带上。,设材料具有理想弹塑性的本构关系，则在沿x轴方向的屈服带内的应力 可取作拉伸屈服应力 ，其中 为单拉情况下的屈服应力)，即在屈服区内，解除位移约束，代之以上下表面间之作用力 ，如图所示。 在计算中近似取带状屈服区的高度为零。 由于解除了约束，则带状区的上下表面可以存在相对位移，造成位移的间断。实际上，这一位移间断并不存在，它是由图中的简化模型引起的，它实际上是高度不为零的塑性区滑移带内的塑性变形的模型化。,将x=a处的裂纹尖端称为物理裂纹尖端。 塑性带的出现可以等效为将裂纹尖端向前运动了距离 ，相应地在 的裂纹上下表面施加应力 ， 处称为虚设裂纹尖端。 Dugdale假设，在带状塑性区的顶端，由于应力不存在奇异性，在顶端处总的应力强度因子为零。利用这一假设，可以求解带状塑性区的长度。,无限大板中的穿透直裂纹，假设远场施加垂直于裂纹面的单向拉伸应力 。此时远场应力引起的应力强度因子为 ： 在 的条状屈服区内分布着均匀的压应力 时，对应的应力强度因子为：,例,等效裂纹半长,利用塑性裂纹尖端处应力强度因子为零的条件： 可得：,1962年，Barenblatt提出了 “内聚力”模型。线弹性断裂力学假设裂纹尖端的曲率半径为零，引起了裂纹尖端应力的奇异，实际上裂纹尖端的应力不可能是无穷大。因此，他假设在裂纹尖端存在一个很小的内聚力区。,在加载时，内聚力区内的原子间要被拉开 的距离，而对应的原子间吸引力为 ，即由于外加应力的作用，该区域内的各点将发生一定的相对位移，而内聚力的效果是正好抵消了远场引起的应力奇异性。 原子间的内聚力与张开位移的关系称为内聚力律。 当原子间的相对位移达到某一临界值 时，原子间被拉开，即裂纹向前扩展。,如果取 ，则Barenblatt模型即简化为Dugdale模型，所以这类模型又统称为Dugdale-Barenblatt模型，简称D-B模型。 内聚力模型( Cohesive model )显然略显粗糙，但由于其简单性，而得到了广泛的关注，被推广应用于疲劳裂纹，考虑损伤的裂纹，界面裂纹，动态裂纹，三维裂纹等情况。,裂纹张开位移（COD）理论,在塑性变形比较大的情况下，裂纹尖端形貌会发生明显的张开，因此Wells (1965)在大量实验和工程经验的基础上提出以裂纹尖端张开位移(简称COD)作为弹塑性情况下的断裂参数，并以此建立了相应的裂纹扩展准则，称为COD准则，它在结构的安全评定等领域得到了较广泛的应用。,Wells对含中心裂纹的大板进行了系统的实验研究，采用的材料接近于理想弹塑性。 原裂纹尖端处的张开位移可以作为表征材料抵抗延性断裂的能力的参数。 随着裂纹的张开，裂纹尖端出现钝化，而裂纹尖端的张开位移是连续变化的，而且裂纹尖端的物质点也随着变形而运动，因此，需要具体指定裂纹尖端张开位移的具体位置。,COD多种不同的定义,将原来裂纹尖端物质质点的相对位移作为COD，记作 ，这种定义比较适宜于显镜测量，可以用显微形貌标记来辨别哪一点是原裂尖。对工程应用不具有良好的可操作性。 原裂纹尖端空间坐标处的张开位移，也不是很便于量测，因为在裂纹的变形过程中，裂纹面的点会发生横向的位移。,为了消除上述两种定义的不易操作性和不确定性，Rice提出以当前的裂纹尖端画出两条与裂纹方向成45的线，两条线与裂纹面相交于点A和B，这两点之间的距离作为COD，通常记作 。 在第一种定义中，是定义裂纹表面近似为直线 的段和 的向前延长，与裂纹尖端D处的垂线相交于 和 ，这两点之间的距离作为张开位移。,亦有人认为以 和 段与弹塑性区的交界点 和 之间的距离 作为COD。理由是塑性变形是导致金属材料韧性破坏的主要原因。 反映着裂尖塑性变形的程度，因此应该作为韧性断裂的度量。但是，C点在变形过程中的逐渐移动，实验测量不方便。,裂纹尖端的张开位移尚没有一 个统一的定义，在使用过程中 应保持定义的一致性，即实验 测量,理论分析或数值计算应 采用同一种定义，这样才具有 可比性。,Wells研究了小范围屈服与全面屈服两种极端情况下的COD。在小范围屈服情况下，他发现平面应力状态下的 I 型裂纹尖端张开位移与能量释放效率之间有如下的近似关系： 在全面屈服的情况下，Wells建议将 表示为(称为Wells公式 )： Wells的理论与对宽板构形所进行的研究结果有较大的偏差。,裂纹尖端张开位移的计算： 根据卡氏第二定理（Second Castigliano theorem），有： 在Dugdale模型中，有：,远场应变,屈服应变,弹性应变能,利用G与K的关系式 得到： 在远场应力 、塑性区内的均布压力 及 处的两对集中力 的作用下，虚设裂纹尖端的应力强度因子分别为：,总的应力强度因子为： 于是得到：,对同一问题Goodier和Field用复变函数方法方法 得到了相同的结果。Bilby,Cottrell和Swinden用 位错连续分布理论分析了同一模型,得到的塑性 尺寸，裂纹张开位移的表达式与前面介绍的 结果相同，因此，其模型也称为BCS模型。,COD(Crack Opening Displacement)准则,Wells建议将裂纹尖端张开位移作为刻画裂纹尖端场的主要参数，并由此建议起在弹塑性情况下裂纹的断裂准则，简称COD准则。 在线弹性和小范围屈服的条件下， 和 、 之间存在着简单的函数关系，此时， 为小量，利用级数展开方法并略去高阶小量，有： 于是 近似表示为：,利用无限大板中中心的穿透裂纹的应力强度因子 以及 ，得 到： 因此 亦可以看作是表征材料断裂韧性的物理参数。 COD断裂准则为：当裂纹尖端张开位移 达到临界值 时，裂纹启裂，即：,裂纹启裂,大变形时此 式不成立。,是裂纹启裂的临界值，而不是裂纹最后失稳的临界值。 裂纹开裂与失稳扩展是两个不同的概念。 随着裂纹的扩展，材料的阻力(即 )将增大，因此，裂纹的临界张开位移也是裂纹扩展量 的函数，存在与K-R曲线相类似的 阻力曲线(或称为 曲线)。 如果裂纹发生一个小量的扩展后，裂纹将由于 曲线的高斜率而止裂，则裂纹仍然是稳定的。即当 时，裂纹扩展的稳定性由下式判断：,对于随遇扩展的情况： 与温度有关：,表示启裂的临界COD,表示裂纹失稳即材料能够承受的最大COD,随着温度的上升， 与 之间的 差别明显增大，意味着材料的韧 性随温度的上升而明显增大。,在大范围屈服的情况下， Wells建议的式 不成立，可以作为的一种简单近似。 Burdekin通过实验和理论分析，建议采用如下的拟合公式： COD理论在应用于焊接结构和压力容器的安全分析时是很有效的，而且由于 的测量比较容易