2011数学高考一轮复习课件：导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.ppt

第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例,一、函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下 关系： 如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增； 如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减； 如果 ，那么f(x)在这个区间内为常数.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单 调递增的充要条件？,提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x) 0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充 分不必要条件.,二、函数的极值与导数 1.函数的极小值 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近其他点的 函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧 ， 右侧 ，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做 函数yf(x)的极小值.,f(x)0,f(x)0,2.函数的极大值 函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他 点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数yf(x)的极 大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值. 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称 为极值.,f(x)0,f(x)0,2.求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的 . (2)将函数yf(x)的各极值与 比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,端点处的函数值f(a)、f(b),极值,三、函数的最值 1.如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的 曲线，那么它必有最大值和最小值.,连续不断,2.函数的极值和最值有哪些区别？,提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此， 同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极 小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间a，b上 所有函数值的比较.因而在一般情况下，两者是有区 别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值 也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a， b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小 值就是最小值.,1.当x0时，f(x)x 的单调减区间是 ( ) A.(2，) B.(0,2) C.( ，) D.(0， ),解析：f(x)1 ，令f(x)0， 0x2，f(x)的减区间为(0,2).,答案：B,2.设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极值， 则下列点中一定在x轴上的是 ( ) A.(a，b) B.(a，c) C.(b，c) D.(ab，c),解析：f(x)3ax22bxc，由题意知，1，1是方 程3ax22bxc0的两根，则11 ，b0，故 点(a，b)一定在x轴上.,答案：A,3.函数yx2cosx在0， 上取得最大值时，x 的值为( ),解析：法一：代入比较得 最大. 法二：y(x2cosx)12sinx， 令12sinx0，且x0， 时，x 当x0， 时，f(x)0，f(x)是单调增函数； 当x 时，f(x)0，f(x)单调递减. f(x)maxf( ).,答案：B,4.函数f(x)x315x233x6的单调减区间为 .,解析：f(x)3x230x333(x11)(x1)， 令f(x)0，得1x11，函数f(x)x315x233x6的单调减区间为(1,11).,答案：(1,11),5.面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是 .,解析：设矩形的一边边长为x，则另一边边长为 ， 其周长为 令l0，解得x 易知，当x 时，其周长最小.,答案：,求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1.确定函数f(x)的定义域； 2.求f(x)，令f(x)0，求出它在定义域内的一切实根； 3.把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各 实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间； 4.确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定 函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.,【注意】 当f(x)不含参数时，也可通过解不等式 f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间.,设函数f(x)x3ax29x1(a0).若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求： (1)a的值； (2)函数yf(x)的单调区间.,(1)利用切线斜率求a的值，(2)利用f(x)0 (a0)求单调区间.,【解】 (1)f(x)x3ax29x1， f(x)3x22ax9 即当x 时，f(x)取得最小值9 9 12，即a29. 解得a3.由题设a0，得a3.,(2)由(1)知a3，因此f(x)x33x29x1， f(x)3x26x93(x3)(x1). 令f(x)0，解得x11，x23. 当x(，1)时，f(x)0， 故f(x)在(，1)上为增函数； 当x(1,3)时，f(x)0， 故f(x)在(3，)上为增函数. 由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和 (3，)；单调递减区间为(1,3).,1.理(2009北京高考)设函数f(x)xekx(k0). (1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.,解：(1)f(x)(1kx)ekx，f(0)1，f(0)0， 曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx. (2)由f(x)(1kx)ekx0得x (k0). 若k0，则当x(， )时，f(x)0，函数f(x)单调递增. 若k0，函数f(x)单调递增；,当x( ，)时，f(x)0，则当且仅当 1，则0k1时，函数f(x)在(1,1)内单调递增； 若k0，则当且仅当 1，即1k0时，函数f(x) 在(1,1)内单调递增. 综上可知，函数f(x)在区间(1,1)内单调递增时，k的取值范围是1,0)(0,1.,文(2009浙江高考)已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 3，求a，b的值； (2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.,解：(1)由函数f(x)的图象过原点，得b0. 又f(x)3x22(1a)xa(a2)， f(x)在原点处的切线斜率是3， 则a(a2)3，所以a3或a1. (2)由f(x)0，得x1a，x2 又f(x)在(1,1)上不单调，即,所以a的取值范围是,解得,1.求函数f(x)极值的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f(x)； (3)求方程f(x)0的根； (4)检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点(最好 通过列表法).如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如 果f(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值.,2.可导函数极值存在的条件 (1)可导函数的极值点x0一定满足f(x0)0，但当f(x1) 0时，x1不一定是极值点.如f(x)x3，f(0)0，但x0不 是极值点. (2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0) 0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.,已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点 (1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称. (1)求m，n的值及函数yf(x)的单调区间； (2)若a1，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值.,(1)由f(x)过点(1，6)及g(x)图象关于y轴对称可求m，n.由f(x)0及f(x)0可求单调递增和递减区间.(2)先求出函数yf(x)的极值点，再根据极值点是否在区间(a1，a1)内讨论.,【解】 (1)由函数f(x)图象过点(1，6)，得 mn3 由f(x)x3mx2nx2，得 f(x)3x22mxn， 则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn. 而g(x)图象关于y轴对称，所以 所以m3，代入，得n0. 于是f(x)3x26x3x(x2). 由f(x)0，得x2或x0，,故f(x)的单调递增区间是(，0)，(2，)； 由f(x)0，得0x2， 故f(x)的单调递减区间是(0,2). (2)由(1)得f(x)3x(x2)， 令f(x)0，得x0或x2.,当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,由此可得： 当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6， 无极大值； 当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值. 综上得：当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值； 当a3时，f(x)无极值.,2.已知函数f(x)x33ax1，a0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图 象有三个不同的交点，求m的取值范围.,解：(1)f(x)3x23a3(x2a). 当a0， 当a0时，由f(x)0解得x ， 由f(x)0时，f(x)的单调增区间为(， )， ( ，)，f(x)的单调减区间为( ， ).,(2)f(x)在x1处取得极值， f(1)3(1)23a0，a1， f(x)x33x1，f(x)3x23. 由f(x)0解得x11，x21. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3. 直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点， 又f(3)191， 结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1).,1.设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在 a，b上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值. (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,2.(1)根据最值的定义，求在闭区间a，b上连续，开区间 (a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用 判断使f(x)0成立的点是极大值点还是极小值点，直 接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大 (小) 值. (2)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极 值点，该极值点必为最值点.,(2010济南模拟)已知函数f(x) (1)求函数f(x)在1，e上的最大值，最小值； (2)求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数 g(x) 图象的下方.,(1)先判断单调性，求其最值. (2)构造新函数，利用最大值小于零.,【解】 (1)由有f(x) 当x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为增函数， f(x)maxf(e) f(x)minf(1) (2)证明：设,则F（x）=x,当x1，)时，F(x)0，F(x)在1，)上为减函数， 且F(1) 0故x1，)时，F(x)0， 所以在1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x) 图象的下方.,3.设函数f(x) exxex. (1)求f(x)的单调区间； (2)若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m 的取值范围.,解：(1)函数f(x)的定义域为(，)， 因为f(x)xex(exxex)x(1ex)， 由f(x)x(1ex)0得x0，f(x)0得x0， 则f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，). (2)由(1)知，f(x)在0,2上单调递减，在2,0上单调递增， 又f(2)2 ，f(2)2e2， 且 2e2， 所以x2,2时，f(x)min2e2， 故m2e2时，不等式f(x)m恒成立.,利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1.分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根 据实际意义确定定义域；,2.求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0得出定义域内 的实根，确定极值点； 3.比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求 的最大(小)值； 4.还原到原实际问题中作答.,理(2009山东高考)两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：,垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在弧 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. (1)将y表示成x的函数； (2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度 最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说 明理由.,用未知数x把AC、BC表示出来，从而列出函数关系，利用在弧 的中点时的影响度求得k的值，求得解析式，要注明定义域.,【解】 (1)根据题意ACB90，ACx km， BC 且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为 ，对城B的影响度为 因此，总影响度 又因为垃圾处理厂建在弧 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，,则有 解得k9， 所以,(2)因为 由y0解得x4 或4 (舍去)， 易知4 (0,20).,y，y随x的变化情况如下表：,由表可知，函数在(0,4 )内单调递减，在(4 ，20)内单调递增，当x4 时，y取得极小值也是最小值， 此时y ， 故在 上存在C点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点与城A的距离x4 km.,文某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ (注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平 均购,解答本题只需正确地建立平均综合费用的函数关系式，利用导数的运算即可求解.,【解】 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元， 则 令f(x)0，得x15.当x15时，f(x)0； 当10x15时，f(x)0. 因此，当x15时，f(x)取最小值f(15)2000. 为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建 为15层.,f(x)=(560+48x)+,=560+48x+,f(x)=48-,4.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产 过程中产品的正品率P与每日生产量x(xN*)件之间的关 系为P ，每生产一件正品盈利4000元，每 出现一件次品亏损2000元.(注：正品率产品中的正品 件数产品总件数100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数； (2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日 利润的最大值.,所求的函数关系式是 y 3600x(xN*,1x40). (2)显然y36004x2.令y0，解得x30. 当1x0；当30x40时，y0. 函数y 3600(xN*,1x40)在1,30)上是单调递增函数，在(30,40上是单调递减函数.,解：（1） y=400,当x30时，函数y 3600x(xN*,1x40)取得最大值，最大值为 30336003072000(元). 该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72000元.,导数的简单应用，包括求函数的