《概率统计王松桂》PPT课件.ppt

,概率论与数理统计 第十六讲,主讲教师：程维虎教授,北京工业大学应用数理学院,6.4 正态总体,6.4.1 2 分布,它是由正态分布派生出来的一种分布。,定义1: 设 X1, X2, , Xn 相互独立，且均服从正态分布 N(0, 1), 则称随机变量,服从自由度为 n 的卡方分布，记成 。,分布的密度函数为,由 分布的定义，不难得到其如下性质：,进一步，由中心极限定理可以推出, n 充 分大时,近似于标准正态分布 N(0,1)。,分布密度函数图形,n2 分布上 分位点有表可查，见附表4。,对于给定的 (0,1), 称满足条件,的点 n2()为 n2分布的上(右) 分位点。,分布分位点,t 分布的概率密度为,为服从自由度 n 的 t 分布，记为 T tn。,6.4.2 t 分布,定义2: 设 X N(0, 1) , Y n2 , 且 X与Y 相互独立，则称随机变量,t 分布的概率密度图形,当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态分布的概率密度。,数学期望与方差,若 T tn , 对给定的 (0,1)，称满足条件,t 分布的分位点,的点 tn()为 tn 分布上 分位点。,t 分布的上 分位点有表可查，见附表3。,tn 分布上 分位点示意图,6.4.3 F 分布,则称 F =(X/m)/(Y/n)服从第一自由度为m，第二自由度为n 的 F 分布。记成 F Fm ,n 。,定义3：,F 分布的概率密度为,若 FFm, n，对给定的 (0,1), 称满足条件,F 分布的分位点,的点 Fm,n()为F分布的上 分位点。.,F 分布上 分位点有表可查，见附表5。,F 分布上 分位点示意图, 一个需要注意的问题:,这个关系式的证明如下：,证明：若 X Fm,n，则 Y = X -1 Fn,m。 依分位点定义，,上式等价于,再根据 Y ( Fn,m ) 的上 分位点定义，有,这就证明了(1)式。,在通常 F 分布表中，只对 比较小的值,如 = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位点。但有时我们也需要知道 比较大的分位点，,它们在 F 分布表中查不到。这时我们就可利用分位点的关系式(1)把它们计算出来。,例如：对m=12, n=9, =0.95, 我们在 F 分布表中查不到 F12,9(0.95)，但由(1)式，知,可从F 分布 表中查到, 还有一个重要结果: 若X tn , 则X2 F1,n。 请同学们自己证明。,定理 1：,6.4.4 正态总体样本均值与样本方差的分布,定理的证明超出了教学范围，我们把它放在了教材6.4 末尾的附录 ( p143145)中。,定理的内容在后面几章的讨论中将多次用到，希望大家牢记。,例1：设某物体的实际重量为(未知),现在用一台天平称量它,共称 n 次,得到X1,X2,Xn。 假设每次称量过程彼此独立,且无系统误差, 则可认为这些测量值独立同分布, 均服从正态分布N(,2),方差2反映了天平及测量过程的总精度。我们通常用样本均值,根据定理1(基本定理),有,再根据正态分布的性质(见p110,例4.2.6),知,例如：当 = 0.1 时，,也就是说：我们的估计值 与真值 的偏差不超过 的概率约为 99.74%, 并且随称量次数 n 的增加，偏差界限 将越来越小。,若取 n=10，则,若取 n=100，则,例2：在设计导弹发射装置时，重要内容之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差。 对于某类导弹发射装置，弹着点偏离目标中心的距离服从 N(,2)，这里 2 = 100米2。 现在进行了25次发射试验，用 S2 记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差。 求: S 2 超过50米2的概率。,解: 根据基本定理，知,查附表4,得到:,所以，,小结,本讲