向量及向量的基本运算.ppt

28.向量及向量的基本运算,1）向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量。向量一般用 来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： ，或用坐标表示。向量的大小即向量的模（长度），记作| |。 零向量：长度为0的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行。 单位向量：模为1个单位长度的向量。 平行向量（共线向量):方向相同或相反的向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。 相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为 。,2）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 ,则: 向量加法有“三角形法则”（首尾相接） 与“平行四边形法则” （起点相同）,说明：（1） ； 2）向量加法满足交换律与结合律；,3)向量的减法 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量。记作 ,零向量的相反向量仍是零向量。 向量减法：向量 加上的 相反向量叫做 与 的差，记作： 。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 的作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点）,向量减法有“三角形法则” （必须起点相同 ）,4)实数与向量的积 实数与向量 的积是一个向量,记作 ，它的长度与方向规定如下： （） ； （）当时 , 的方向与的方向相同；当时 ， 的方向与 的方向相反；当时 ， ，方向是任意的。 数乘向量满足交换律、结合律与分配律。,5)两个向量共线定理 向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 。,证三点共线方法：,6)平面向量的基本定理 如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 ， 使： 其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。,推论：如果 是一个平面内的两个不共线向量，,例1、判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)若 则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若 ， ，则 ； (7)若 ， ，则 (8) 四边形ABCD是平行四边形,则 (9)已知A（3，7），B（5，2），将 平移后可能得到的向量 的坐标为（3,3） (10） 的充要条件是 且 ；,错,错,错,错,对,对,错,错,错,错,题型一:基本概念问题,练习1:,例2、如图平行四边形OADB的对角线OD,AB 相交于点C，线段BC上有一点M满足: BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD3CN, 设,题型二:向量的相互表示,例3: 已知G是ABC的重心，求证：,例4、设 , 是两个不共线的非零向量， 若 ， 求证：A、B、C三点共线；,练习3：设 是不共线的向量,已知向量 若A,B,D三点共线,求k的值,题型三:平面向量基本定理与三点共线问题,例6： O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则 P的轨迹一定通过 的（ ） A 外心 B 内心 C重心 D垂心,B,题型四:判断动点轨迹,课堂小结： 1）向量的有关概念: 向量零向量单位向量平行向量（共线向量）相等向量 2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理 5)平