2020届高考数学一轮复习考点43直线、平面垂直的判定与性质必刷题理（含解析）.docx

考点43 直线、平面垂直的判定与性质1（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学（理）如图，四边形为矩形，平面平面，点在线段上.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长度.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：，又平面平面，平面平面，平面，平面.（2）以为原点，以，为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题知，平面，为平面的一个法向量，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，可得，得或（舍去），.2（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）如图，在三棱柱中，侧面底面，分别为棱和的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】（1）取的中点，连接， 在中，因为，分别为，的中点，所以，且，在三棱柱中，又为棱的中点，所以且，从而四边形为平行四边形，于是，又因为面，面，所以平面.（2）证明：在中，因为，为的中点，所以，又因为侧面底面，侧面底面，且面，所以平面，又面，所以平面平面.3（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，在直三棱柱中，是棱的中点（1）求证：；（2）求证：【答案】(1)见详解；（2）见详解.【解析】（1）连接AC1，设AC1A1CO，连接OD，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：ODBC1，又因为：BC1平面A1CD，OD平面A1CD，所以：BC1平面A1CD（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：ACAA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，所以：AC1A1C，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，因为：AB平面ABC，所以：ABAA1，又因为：ABAC，ACAA1A，AC平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，所以：AB平面ACC1A1，因为：A1C平面ACC1A1，所以：ABA1C，又因为：AC1A1C，ABAC1A，AB平面ABC1，AC1平面ABC1，所以：A1C平面ABC1，因为：BC1平面ABC1，所以：BC1A1C4（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为上一点，为中点.（1）若平面，求证：为的中点；（2）若，求证：平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）连接，由四边形是正方形知，为中点平面，面，面面为中点 为的中点（2）在四棱锥中，四边形是正方形 为中点 又底面，底面 而四边形是正方形 平面， 平面又平面 平面，平面5（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）如图四棱锥中，底面是正方形，且，为中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：底面为正方形，又，平面，.同理，平面 .（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2则，设为平面的一个法向量，又， ，令，得.同理是平面的一个法向量， 则.二面角的正弦值为.6（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）如图，在四棱锥中，平面，是的中点 （1）求和平面所成的角的大小（2）求二面角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】解：（1）在四棱锥中，平面，平面，又，平面故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角在中，故所以和平面所成的角的大小为（2）在四棱锥中，平面，平面，由条件，平面又平面，由，可得是的中点，又，平面过点作，垂足为，连接，如图所示平面，在平面内的射影是，是二面角的平面角由已知，设，则，中，在中，得在中，所以二面角的正弦值为7（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）如图在直角中，为直角，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，为的中点（）证明：面；（）若，求二面角的余弦值【答案】（）详见解析；（）.【解析】证明：（ ）取中点，连结、， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，在中，又 为的中点，又 ，解：（）， ，以为原点，、所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，设，则， ，设面的法向量，则，取，得，同理，得平面的法向量，设二面角的平面角为，则， 二面角的余弦值为8（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）已知四棱锥，底面为菱形，,为上的点，过的平面分别交，于点，且平面（1）证明：；（2）当为的中点，与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值【答案】(1)见证明(2) 【解析】（1）连结、且，连结因为，为菱形，所以，因为，所以，因为，且、平面，所以，平面，因为，平面，所以，因为，平面，且平面平面，所以， 所以，（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以，平面,所以与平面所成的角为，所以，所以，因为，所以，.以，分别为，轴，如图所示建立空间直角坐标系记，所以，所以， ，记平面的法向量为，所以，即，令，解得，所以，记与平面所成角为，所以，.所以，与平面所成角的正弦值为.9（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且，（）求证：；（）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小【答案】（）详见解析；（）.【解析】（）如图，取的中点，连接.因为，所以.由平面侧面，且平面侧面，得平面.又平面，所以，因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以 又，从而侧面，又侧面，故 ()由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为， ，轴建立空间直角坐标系.设，则，.设平面的一个法向量，由，得.令，得，则.设直线与平面所成的角为，则，所以，解得， 即.又设平面的一个法向量为，同理可得.设锐二面角的大小为，则，由，得.锐二面角的大小为.10（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）如图1，菱形中， 于将沿翻折到，使，如图2（）求证：平面平面；（）求直线AE与平面ABC所成角的正弦值；（）设为线段上一点，若平面，求的值【答案】（）见解析；（）；（）1【解析】（）在菱形中，因为，所以，所以因为，平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面（）由（）知，如图建立空间直角坐标系，则 ，, ，所以，,设平面的法向量，由得所以令，则.所以所以，又 ,，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为（）由（）可知，,设，则因为 平面，所以，即所以，即所以11（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知三棱锥中， .若平面分别与棱相交于点且平面.求证:（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明（1）因为平面，平面平面,平面，所以有,同理可证出,根据平行公理，可得；（2）因为，,平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.12（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）如图，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（）证明：平面；（）设为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（）见解析；（）.【解析】（）E,F分别为AB ,AC边的中点,所以因为 又因为 ，所以平面（）取BE的中点O,连接PO, 由（1）知平面,EF平面BCFE，,所以平面PBE平面BCFE因为PB=BE=PE,所以PO,又因为PO平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE所以PO . 过O作OM/BC交CF于M,分别以OB，OM，OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示. N为线段PF上一动点设,由,得设平面PCF的法向量为则 即取 设直线BN与平面PCF所成角 直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为13（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）在三棱柱中平面平面，是棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) .【解析】（1）取的中点,连接与交于点，连接，,则 为的中点， ,且，所以是平行四边形.又是棱的中点，所以 . 侧面底面，且 ，所以平面 ，得平面，又平面，所以平面平面.（2）连接，因为，所以是等边三角形，设.故 面 ，由已知可得 .以 分别为轴建立空间直角坐标系.则 ， ，设平面的法向量为 则，所以 ，取 ，所以 设平面的法向量为 , 则，所以，取 ，故 ，因为二面角为锐角，所以其余弦值为. 14（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）在三棱柱中，侧面底面，D是棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】解：（1）取的中点，连接与交于点，连接.则为的中点，因为三棱柱，所以，且，所以四边形是平行四边形.又是棱的中点，所以.因为侧面底面，且，所以平面所以平面又平面，所以平面平面（2）连接，因为，所以是等边三角形，故底面。设，可得，分别以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则设平面的一个法向量为则所以，取所以又平面的一个法向量为故因为二面角为钝角，所以其余弦值为.15（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）在直角梯形中，分别为，的中点（如图1）沿将四边形折起，使得（如图2） （1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值【答案】(1)见证明；(2) 【解析】（1）由题设条件，则，又且则平面，又平面故平面平面（2）如图，建立空间角坐标系，则， ，设，则有，由知解得 从而， 平面的法向量为 设平面的法向量为 由得取y=,得则二面角的余弦值为16（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱）中，CACB，CACBCC12，动点D在线段AB上（1）求证：当点D为AB的中点时，平面B1CD上平面ABB1A1；（2）当AB3AD时，求平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）在等腰RtABC中，D为斜边AB的中点，CDAB，又在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1B平面ABC，CD平面ABC，B1BCD，ABB1BB，CD平面ABB1A1，又CD平面B1CD，平面B1CD上平面ABB1A1（2）如图，CA，CB，CC1两两垂直，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），D，（0，2，2），设平面B1CD的法向量（x，y，z），则，令z1，得，平面BB1C1C的法向量（2，0，0），设平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的平面角为，则cos ，平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的余弦值为17（湖北省黄冈市2019届高三2月联考数学理）在三棱柱中，侧面为菱形，。（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值。【答案】(1)见解析.(2) .【解析】（1）过点作交于点，连接OC，在三角形AOC中，易得，平面，在中，在中，即二面角为直二面角，平面平面；（2）由（1）知直线两两垂直，故以为坐标原点，直线所在的直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系则，。设是平面的法向量，则，即，取，则，平面的一个法向量为，同理，平面的一个法向量为，即二面角的余弦值为.18（甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考数学理）如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，（1）证明：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)见解析.(2) .【解析】（1）证明：因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，则 .又，所以平面，所以.因为，所以是正方形，所以.又，所以平面.（2）因为四棱柱是直四棱柱，底面是矩形，所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,， , , 设平面的法向量为 由，可得，令，则，设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.19（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）在如图所示的几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面， （1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接交于点，因为是菱形，所以，平面，又平面，平面，平面，平面ACF平面BDEF （2）取的中点，连接，则，平面，平面，两两垂直以所在直线分别作为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则，,则，所以，且，所以平面，所以平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，则，得，令，得平面的一个法向量，从而.即二面角的余弦值.20（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学理）如图，矩形所在平面，、分别是、的中点.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】如图，取中点，连接，.（1）证明：，为中点，是平行四边形，又，面，面面.，为中点，面，面，面，平面平面.（2）建立如图所示坐标系，.由（1）知面，.直线与平面所成角的正弦值为，由得.设为面的法向量，则，.由得，面，设二面角为，为锐角，则，.21（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学理）如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点, 是上异于,的点, .（1）证明:平面平面;（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）证明：因为半圆弧上的一点，所以