2020届高考数学一轮复习考点45立体几何中的向量方法必刷题理（含解析）.docx

考点45 立体几何中的向量方法1（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值【答案】（1）见证明；（2）.【解析】（1）证明：侧面底面，侧面底面，四边形为正方形，面，面，又面，平面，面，平面，面，面，平面平面（2），求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值令，由（1）知，而，当且仅当，即时，的最大值为如图所示，分别取线段，中点，连接，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系由已知，所以，令为面的一个法向量，则有，易知为面的一个法向量，二面角的平面角为，为锐角则.2（湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷一数学理）如图所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为60，PAPC（1）证明：AP平面PBC（2）求二面角PAB一C的余弦值【答案】(1)见解析.(2) .【解析】（1）由已知可知，又平面平面圆，平面平面圆，平面，又，平面，平面，平面.（2）法一：过作于，由于平面平面，则平面，则为直线与圆所在平面所成角，所以.过作于，连结，则，故为二面角的平面角.由已知，在中，由得，在中，故，故，即二面角的余弦值为.法二：过作于，则平面，过作交于，以为原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，从而，设平面的法向量，则得，令，从而，而平面的法向量为，故，即二面角的余弦值为.3（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，分别为，的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）过P作POAD，垂足为O，连结AO，BO，由PAD=120，得PAO=60，在RtPAO中，PO=PAsinPAO=2sin60=2=，BAO=120，BAO=60，AO=AO，PAOBAO，BO=PO=，E，F分别是PA，BD的中点，EF=，EF是PBD的中位线，PB=2EF=2=，PB2=PO2+BO2，POBO，ADBO=O，PO平面ABCD，又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD（2）以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），D（0，3，0），E（0，），F（，），=（0，），=（，0），易得平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-，1），设锐二面角的平面角的大小为，则cos=|cos|=，锐二面角E-AC-D的余弦值为4（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，平面，二面角为为中点（1）求证：；（2）求与平面所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：作SA中点F，连接EFE为SD中点得平行四边形平面为二面角的平面角 （2）作AB中点O，由（1）知 平面如图建立空间直角坐标系设，则设平面SCD的法向量，得令 ，则AB与平面所成角的余弦值为.5（安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，且二面角与二面角都是.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）面ABEF为正方形又，而,面,面面（2），则由（1）知面平面，过作，垂足为，平面以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 由（1）知为二面角的平面角，故，又，则， 由已知，平面又平面平面，故，由，可得平面，为二面角的平面角，设是平面的法向量，则，即，可取 . 则直线与平面BCE所成角的正弦值为 . 6（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)数学（理）在五边形AEBCD中，C，（如图）.将ABE沿AB折起，使平面ABE平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）45【解析】（1）由题意，O是线段AB的中点，则.又，则四边形OBCD为平行四边形，又，则，因，则.，则AB平面EOD.又平面ABE，故平面ABE平面EOD. （2）由（1）易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，EAB为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC，则，取，则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），则，设平面ECD的法向量为，则有取，得平面ECD的一个法向量，因OD平面ABE.则平面ABE的一个法向量为，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为，则，因为，所以，故平面ECD与平面ABE所成的镜二面角为45. 7（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）如图，已知四棱锥中，四边形为矩形，.（1）求证：平面；（2）设，求平面与平面所成的二面角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）证明： BCSD ，BCCD则BC平面SDC, 又则AD平面SDC，平面SDC SCAD又在SDC中，SC=SD=2, DC=AB，故SC2+SD2=DC2则SCSD ，又所以 SC平面SAD （2）解：作SOCD于O，因为BC平面SDC,所以平面ABCD平面SDC，故SO平面ABCD以点O为原点，建立坐标系如图. 则S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0) 设E(2,y,0),因为所以 即E(2,0) 令，则，令，则，所以所求二面角的正弦值为8（陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】解：（1）证明：连接，因为在中，所以所以，因为所以，又平面，且平面，所以，所以平面，因为平面，所以（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，则，取所以，即二面角的平面角的余弦值为9（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，是边长为4的等边三角形，是的中点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】（1）因为是等边三角形，是的中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以，又因为，所以平面.所以.又因为，所以.又且，平面，所以平面.所以.（2）由（1）得平面.所以就是直线与平面所成角.因为直线与平面所成角的正弦值为，即，所以.所以，解得.则.由（1）得，两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点， ，所以，.令平面的法向量为，则由得解得令，可得平面的一个法向量为； 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.10（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）如图，在四棱柱中，侧棱底面，且点和分别为和的中点（I）求证：平面；（II）求二面角的正弦值；（III）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求的长。【答案】（I）见解析（II）（III）【解析】（I）以为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：则，平面的法向量又， ，面 面（II）设面的法向量，且，令，则， 设面的法向量，且，令，则， 即二面角的正弦值是（III）设，则又面的法向量，解得：或（舍），即11（东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学理）如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，点是棱上的动点.（I）求证：平面平面；（）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（）【解析】（）证明：底面，底面， 取的中点，连接，是等边三角形，点共线，从而得，又，平面，平面，平面平面. （）解：取中点，连接，则，底面，两两垂直以为原点如图建立空间直角坐标系，则，,设平面的法向量为，由，得，令，得设，则，当时，有最小值，且，此时设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为12（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，连接，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】解：（1）是圆的直径，与圆切于点，底面圆，平面，.又在中，平面，从而平面平面.（2） ，为二面角的平面角， ，如图建立空间直角坐标系，易知，则，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为， ， ，即故平面的一个法向量为，. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.13（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理）如图1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E，F，O分别为DC，AE，BC的中点以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE平面ABCE（如图2）（）求证：BC平面POF；（）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（）在线段PE上是否存在点M，使得AM平面PBC？若存在，求的值；若不存在，说明理由【答案】（）见解析；（）；（）见解析【解析】（）在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD中点，所以DADE，即PAPE，又F为AE的中点，所以PFAE，又平面PAE平面ABCE，平面PAE平面ABCEAE，PF平面PAE，所以PF平面ABCE，BC平面ABCE，所以PFBC，由F，O分别为AE，BC的中点，易知FOAB，所以OFBC，所以BC平面POF，（）过点O做平面ABCE的垂线OZ，以O为原点，分别以OF，OB，OZ为x，y，z轴建立坐标系Oxyz，则，设平面PBC的法向量为由得，令z3得， ， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值.（）在线段PE上不存在点M，使得AM平面PBC证明如下：点M在线段PE上，设则， ,若AM平面PBC，则，由得，解得20，1所以在线段PE上不存在点M，使得AM平面PBC14（湖南省长沙市第一中学2018届高三下学期高考模拟卷三数学理）如图，菱形的对角线与交于点，点，分别在，上，交于点.将沿折到的位置，.（I）证明：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见解析.( ) .【解析】（），. 四边形为菱形，.，；又，.又，平面.平面，平面平面.（）建立如图坐标系，则，设平面的法向量， 由得，取，.设直线与平面所成角为，.15（安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理）如图，已知圆柱，底面半径为1，高为2，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其路径最短时在侧面留下的曲线记为：将轴截面绕着轴，逆时针旋转 角到位置，边与曲线相交于点.（1）当时，求证：直线平面；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）方法一：当时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，.设平面的法向量为，则，可取，得，.所以直线平面.方法二：在正方形中，平面，又平面所以，又，平面所以直线平面.（2）当时，以所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，所在的直线为轴建立如图空间直角坐标系，可得，所以，设平面的法向量为，则，可取，得，又平面的一个法向量为，则所以二面角的余弦值为.16（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测数学理）如图，正方形边长为，平面平面，(1)证明：；(2)求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；(2).【解析】（1）证明：平面平面，平面平面，面平面，又平面，又，平面平面， 又平面.（2）解：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，在直角中，易得，由（1）知为平面的一个法向量，设是平面BDE的一个法向量则即令，则，二面角的余弦值是.17（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）已知四棱锥的底面是菱形，底面，是上的任意一点.（1）求证：平面平面；（2）设，是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）证明：平面，平面，.四边形是菱形，.，平面.平面，平面平面.（2）设与的交点为，以、所在直线分别为、轴，以过垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），则，.设，则,设， ，.,设平面的法向量，.求得为平面的一个法向量.同理可得平面的一个法向量为平面与平面所成的锐二面角的大小为，解得：.为的中点.18（山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点在上底面圆周上（异于、），点为下底面圆弧的中点，点与点在平面的同侧，圆柱的底面半径为1，高为2.（1）若平面平面，证明：；（2）若直线与平面所成线面角的正弦值等于，证明：平面与平面所成锐二面角的平面角大于.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】（1）由题知：面面，面面，因为，平面，所以平面，平面所以.（2）以点为坐标原点，分别以，为、轴建立空间直角坐标系.所以，设，则，设平面的法向量，因为，所以，所以，即法向量.因此 .所以，解得，所以点.设面的法向量，因为，所以，所以，即法向量.因为面的法向量，所以 ，所以面与面所成锐二面角的平面角大于.19（四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学理）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（）证明：平面平面；（）若点为棱上一点且，求二面角的余弦值【答案】（）证明见解析；（）.【解析】解：（）设的中点为，连接，由题意，得， 在中，为的中点， ， 在中， ，平面，平面，平面，平面平面 （）由平面， ，于是以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ， ， 设平面的法向量为，则由得： 令，得，即设平面的法向量为，由得： ，令，得，z1，即由图可知，二面角的余弦值为20（福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检数学理）四棱锥中，平面，（1）求证: 平面平面;（2）为棱上异于的点，且，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：在与中，因为， ，所以，,即，所以.因为,所以,所以因为平面，平面，所以 ，又，所以平面，又平面， 所以平面平面 （2）过作，因为平面，所以平面，即两两相垂直，以为原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 设，则，. 因为，所以，即，解得，或因为，所以所以，即设为平面的一个法向量，则， 所以取， 设直线与平面所成角为， ,所以直线与平面所成角的正弦值21（福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理）如图，在三棱锥中，为等边三角形，面积是面积的两倍，点在侧棱上.（1）若，证明：平面平面；（2）若二面角的大小为，且为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：因为，所以，所以 取BC中点O，连结DO,AO，所以DOBC，AOBC， 因为，所以BC平面AOD，所以BCAD， 又因为BMAD，所以AD平面BCM，所以平面ACD平面BCM （2）由（1）知，是二面角D-BC-A的平面角，所以， 过作交延长线于G，因为BC平面AOD，平面AOD，所以，因为，所以平面如图，以O为原点，以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 设 ，则，又因为，所以，在中，所以 ， ，所以， 所以，设是平面DCA的法向量，则即取，因为点是线段的中点 ，所以，所以 ， 设直线BM与平面DCA所成角的大小为，则，所以直线BM与平面CDA所成角的正弦值为22（河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（二)数学（理）如图，四边形是边长为2的菱形，且，平面，点是线段上任意一点(1)证明：平面平面；(2)若的最大值是，求三棱锥的体积【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 (1)因为平面，则.又四边形是菱形，则，又,所以平面,因为AC在平面内，所以平面平面. (2)设与的交点为，连结. 因为平面，则，又为的中点，则，由余弦定理得，当AE最短时AEC最大，此时，因为AC=2,OE=