动量和角动量(2)

1,第章,动量和角动量,2,2.2 力对物体的时间积累效应 动量守恒定律,3,2-2 动量定理 动量守恒定律,2.冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）,3、动量定理：（将力的作用过程与效果动量变化联系在一起）,质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。这个结论称为动量定理。,一 质点动量定理,1.动量 （描述质点运动状态，矢量),4,F为恒力时，可以得出IF t F作用时间很短时，可用力的平均值来代替。,5,注意：动量为状态量，冲量为过程量。,动量定理可写成分量式，即：,为X,Y,Z方向合外力的分量,6,学习要求：要学会计算变力的冲量，掌握在一个平面内应用动量定理求解力学问题的方法。,解 由动量定理：,7,例3 如图所示，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h=0.8m处，煤粉自料斗口自由落在传送带A上。设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg/s, 传送带A以v =3m/s的水平速度匀速向右运动。求卸煤的过程中，煤粉对传送带A的平均作用力的大小和方向。（不计相对传送带静止的煤粉质量，取g=10m/s2）,（1）单位矢量法,间dt内落下的煤粉dm=qmdt为研究对象,应用动量理,有,解 煤粉下落h时的速度 。 取在时,dm:,8,建立直角坐标系(如图)， 于是dm受到的平均冲力:,由图可求得煤粉对传送带A的平均作用力的大小:,画出的 矢量 三角形如右图所示，,(2)三角形法,根据牛顿第三定律，煤粉对 传送带A的平均作用力与此力 大小相等而方向相反。,9,证 设绳的线密度为。任意时刻t (下落h 时)，绳的速度,例题4一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落向桌面。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。,个力的作用：重力mg、桌面的支持力N、落下绳的冲力F。由右下图可知： N=mg+F 取时间tt+dt内落下的绳dm=.vdt为研究对象，由动量定理得 F.dt=dm.v = .v2dt 所以 F= .v2= .2gh =2mg 最后得: N=mg+F=3.mg (即压力是重量的三倍)。,为 ；此时落在桌面上绳的质量为m=h, m受三个,10,质点系(系统)作为研究对象 (它是质点的集合）。 内力系统内各质点间的相互作用力。 外力系统以外的物体对系统内质点的作用力。 处理质点系问题的思路是：把质点动量定理应用于质点系中的每一个质点,然后将这些方程相加，就得到用于整个系统的动量定理。,二 质点系动量定理,设系统有n个物体,如图所示。,别表示系统外的物体对系统内物 体作用的外力。 对第i个质点应用动量定理：,11,这就是质点系的动量定理,它表明系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量。,式中j =1,2,。对所有 质点求和， 就得:,12,三 动量守恒定律,几点说明: (1)系统动量定理和动量守恒定律 告诉我们，一个系统总动量(矢量和)的改变完全由合外力来确定，与内力无关。内力能引起动量在系统内的物体间传递，而不能改变系统的动量的矢量和。,这就是说,当质点系所受的合外力为零时,这一质点系的总动量矢量就保持不变。这一结论叫做动量守恒定律.,(2),13,(2)系统动量守恒的条件是合外力为零,即,由此可见,如果质点系沿某坐标方向所受的合外力为零,则沿此坐标方向的总动量守恒。 (4) 动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系。,(3) 动量守恒表示式 是矢量关系式。在实际问题中,常应用其沿坐标轴的分量式:,14,2.2.3 动量定理与动量守恒定律的应用,1.可运用动量定理求解的问题特征,不考虑中间过程或中间过程很繁杂，而物体系状态量易 求，或由物体系的状态量就可以求解的问题。,2.动量定理应用的常用近似方法,A.平均冲力：由于碰撞问题中作用力的时间一般很短暂，因 而，在没有特别注明情况下，一般将碰撞过程中随时间变化 的冲力视为平均力，即平均冲力。,B.忽略较小外力。一般情况下，冲力的大小比物体的重力、摩 擦力等外力大一到二个数量级，因而，它们常可被忽略。,15,例题5 如图所示，一辆质量为M的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为m 的小物体以水平速度v0滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为，求:(1)从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？,(M+m):水平方向不受外力，故动量守恒： mv0=(M+m)v 式中v是相对静止时的速度。 (1)对物体m应用动量定理，有 - mg.t=mv-mv0 解得,解,16,(2)物体m的加速度a= -mg/m=-g。设车长至少为S，则由v2-v02=2aS得 S= (v2-v02)/2a= M(M+2m)v02/(2g(M+m)2) 这个结果对吗？,正确解法是先求出小物体m 相对地面运动的距离 S1= (v2-v02)/2a， a= -g 再求出小车M相对地面前进的距离 S2=v2/2a0，a0=mg/M 车的最小L=S1-S2=M v02/2g(M+m),这个结果显然是错误的。因为用牛顿定律求出的加速度a是相对惯性系地面的，而速度v、v0也是相对地面的，故由公式 v2-v02=2aS求出的S当然也应是物体相对地面的运动距离，而不是相对非惯性系(车顶)的运动距离。,17,例题6 有一门质量为M(含炮弹)的大炮,在一固定的斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑下L距离时，从炮内沿水平方向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车在发射炮弹后的瞬间停止滑动，炮弹的初速应是多少？（设斜面倾角为）,以炮车、炮弹为系统, 在L处 发射炮弹的过程中，由于内力 很大，外力可忽略，水平方向 动量守恒: Mv0cos =mv (2),MgLsin = Mv02 (1),解 设炮车下滑L时的速度为v0, 由机械能守恒定律，有,18,炮车在发射炮弹的过程中，受两个力的作用：重力Mg和斜面对炮车的支持力N(它的方向垂直于斜面)；虽然内力很大,重力Mg可以忽略，但斜面对炮车的支持力N与内力是同数量级的，不可忽略，所以水平方向的动量根本不守恒。但N在斜面方向没有分量， 所以我们只能沿斜面方向应用 动量守恒定律:,事实上，式(2)是完全错误的。,解式(1)、(2)就得炮弹初速v。 你认为上面的解法有问题吗？,Mv0=mvcos (3),解式(1)、(3)就得炮弹的初速,19,例题7 光滑水平地面上放有一质量为M的三棱柱体(倾角为)，其上又放一质量为m的小三棱柱体。它们的横截面都是直角三角形，M的水平直角边的边长为a ，m的水平直角边的边长为b 。两者的接触面亦为光滑。设它们由静止开始滑动，求当m的下边缘滑到水平面时，M在水平面上移动的距离。,解 对M与m组成的系统，由于 水平方向受外力为零，故水平方 向动量守恒。设M与m相对地面 的速度分别是v和v，m相对于M 的速度为v,则 mvx - Mvx=0 (1) 由相对运动公式有 vx=vx - vx (2),20,设m的下边缘滑到水平面需用的时间为t ， 将上式两边对时间积分，有:,最后求得M在水平面上移动的距离：,而 是m相对于M在水平方 向移动的距离。,显然， = S 就是M相对水平地面移动的距离；,将(2)式代入(1)式得：,(M+m)vx= mvx,21,例8、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h19.6m处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离S11000米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，g=9.8m/s2),解：知第一块方向竖直向下,22,爆炸中系统动量守恒,最高点处:,发射点至最高点:,23,第二块作斜抛运动所以,t21s(舍去）,落地时:,y2=0,t2=4s,由(2),由(1)得:,24,P 65-72质心坐标系 P69 火箭的飞行问题 (不要求),碰撞问题,一, 碰撞过程,碰撞通常分为三类：,25,对心碰撞问题：,碰撞定律：,碰撞后两球的分离速度(v2v1)与碰撞前两球的接近速度(v10 v20)成正比，比值为恢复系数 e，,二, 恢复系数,三, 非弹性碰撞,(),讨论三种情况:,26,讨论：,当两个物体发生完全弹性碰撞时，速度变为：,当m1=m2 时，v1=v20， v2=v10，两球速度交换。,当m1m2 时，v1=2v20v10， v2=v20，,1. e=0，完全非弹性碰撞，两个物体合二为一 机械能损失最大（转换成热能或其它能量）； 2. 0e1，非弹性碰撞，能量不守恒； 3. e=1，完全弹性碰撞，能量守恒。,27,弹弓效应，用于星际探测器加速和改变运动方向。,大质量物体保持静止，小质量物体速度大小几乎不变，方向相反。,4. 碰撞中的能量损失,若 且v20 =0 ，则v1=v10， v2=0，,完全非弹性碰撞:,28,例题10 光滑的水平桌面上，有一质量为m、速度为u的小球A沿水平方向飞行，与一静止的小球B碰撞后，A球的速度变为v1，其方向与u方向成90，B球的质量为5m，它被撞后以速度v2飞行，v2的方向与u成=arcsin(3/5)角，求两小求相碰后速度v1、v2的大小。,解 对两小球组成的系统， 显然动量守恒:,X方向：mu=5mv2cos (1) y方向： 0=-mv1+5mv2sin (2) 解式(1)、(2)得 v1=3u/4, v2=u/4,29,2.2.4 质心 质心运动定理 * 质心坐标系 (不要求)6569,一、质心：质点系的质量中心 质点系 N个质点 质量：m1 m2 m3 mi mN 位矢：r1 r2 r3 ri rN,质心的位矢：(m为总质量),质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点系，质心的位置是固定的。,见P65讲要求,完,30,直角坐标系中的分量式为：,质量连续分布时：,对称物体的质心就是物体的对称中心。由两个质点组成的质点系，常取质心处xc=0以便于分析和计算。,31,例：一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。,解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量为dm，以表示线密度，dm=dl.分析得质心应在y轴上。,注意：质心不在铁丝上。,32,二、质心运动定律,质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积。,33,质心运动定律表明：将质点系当作为一个整体，则质点系在合外 力作用下运动状态所发生的改变，等同于质点系合外力对质心运 动状态产生的改变,34,例：如图，质量为50kg的人站在一条质量为200kg，长度l=4m 的船的船头上，开始时船静止 求：当人走到船尾时，船移动的距离(不记水的阻力),解：将船和人看作为一个系统，系统在水平方向上不受外力作