2020版高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理练习（含解析）新人教A版.docx

1.3.1二项式定理课时过关能力提升基础巩固1(x-y)n的二项展开式中,第r项的二项式系数为()A.CnrB.Cnr+1C.Cnr-1D.(-1)r-1Cnr-1解析:由展开式通项知Tr=Cnr-1xn+1-r(-y)r-1,则第r项的二项式系数为Cnr-1.答案:C2x-13x12展开式中的常数项为()A.-1 320B.1 320C.-220D.220解析:Tk+1=C12kx12-k-13xk=(-1)kC12kx12-43k,令12-43k=0,得k=9.故T10=(-1)9C129=-220.答案:C32x+1x27的展开式中倒数第3项的系数是()A.C762B.C7626C.C7525D.C7522解析:2x+1x27的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=C75(2x)21x25=C7522x-8.该项的系数为C7522.答案:D4S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=()A.x4B.x4+1C.(x-2)4D.x4+4解析:S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C40(x-1)4+C41(x-1)3+C42(x-1)2+C43(x-1)+C44=(x-1)+14=x4,故选A.答案:A53x+ax12的展开式中的常数项为-220,则a的值为()A.1B.-1C.2D.-2解析:Tk+1=C12kx12-k3-kak.Tk+1为常数项,12-k3-k=0,k=3.C123a3=-220,a=-1.答案:B6x-1x5的展开式中含x3项的二项式系数为()A.-10B.10C.-5D.5解析:Tk+1=C5kx5-k-1xk=(-1)kC5kx5-2k,令5-2k=3,则k=1.故含x3项的二项式系数为C51=5.答案:D7x3+12x5的展开式中含x8的项的系数是_.(用数字作答)解析:展开式的通项公式Tk+1=C5k(x3)5-k12xk=C5k2-kx15-72k(k=0,1,2,5).令15-72k=8,得k=2,于是展开式中含x8的项的系数是C522-2=52.答案:528若A=37+C7235+C7433+C763,B=C7136+C7334+C7532+1,则A-B=.解析:A-B=37-C7136+C7235-C7334+C7433-C7532+C763-C77=(3-1)7=27=128.答案:1289在2x2-13x8的展开式中,求:(1)第5项的二项式系数及系数;(2)含x2的项的系数.解: (1)因为T5=C84(2x2)4-13x4=C8424x203,所以第5项的二项式系数是C84=70,第5项的系数是C8424=1120.(2)2x2-13x8的通项是Tk+1=C8k(2x2)8-k-13xk=(-1)kC8k28-kx16-73k,根据题意得,16-73k=2,解得k=6,因此含x2的项的系数是(-1)6C8628-6=112.10求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=39n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(Cn+108n+1+Cn+118n+Cn+1n8+1)-24n+37=364(Cn+108n-1+Cn+118n-2+Cn+1n-1)+24Cn+1n-24n+40=643(Cn+108n-1+Cn+118n-2+Cn+1n-1)+64.显然上式是64的倍数,故原式能被64整除.能力提升1对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是()A.3B.6C.9D.21解析:由已知,x3=2+(x-2)3=C3023+C3122(x-2)+C322(x-2)2+C33(x-2)3,所以a2=C322=6.答案:B2若(1+2)5=a+b2(a,b为有理数),则a+b等于()A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+2)5=1+C512+C52(2)2+C53(2)3+C54(2)4+C55(2)5=1+52+20+202+20+42=41+292,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C3(1-x)6(1+x)4的展开式中含x的项的系数是()A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1-x)6的展开式的通项为C6m(-x)m,(1+x)4的展开式的通项为C4n(x)n,其中m=0,1,2,6;n=0,1,2,3,4.令m2+n2=1,得m+n=2,于是(1-x)6(1+x)4的展开式中含x的项的系数等于C60(-1)0C42+C61(-1)1C41+C62(-1)2C40=-3.方法二:(1-x)6(1+x)4=(1-x)(1+x)4(1-x)2=(1-x)4(1-2x+x).于是(1-x)6(1+x)4的展开式中含x的项的系数为C401+C41(-1)11=-3.答案:B4设aZ,且0a13,若512 020+a能被13整除,则a等于()A.0B.1C.11D.12解析:由二项式定理,得512020+a=a+(1-134)2020=a+1-C20201(134)+C20202(134)2-+C20202020(134)2020,显然当a+1=13k(kZ)时,512020+a能被13整除.又0a0,设x2+1x5的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为.解析:由T3=C52x231x2=54x,T4=C53x221x3=52x,则M+N=5x4+52x2258=522.当且仅当5x4=52x,即x=2时,等号成立.答案:5226在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记含xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=.解析:在(1+x)6(1+y)4的展开式中,含x3y0项的系数是C63C40=20,f(3,0)=20;含x2y项的系数是C62C41=60,f(2,1)=60;含xy2项的系数是C61C42=36,f(1,2)=36;含x0y3项的系数是C60C43=4,f(0,3)=4.故f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120.答案:1207已知(ax+1)n=anxn+an-1xn-1+a2x2+a1x+a0(xN*),点Ai(i,ai)(i=0,1,2,n)的部分图象如图,则a=.解析:由展开式得Tk+1=Cnk(ax)n-k=an-kCnkxn-k,由题图可知a1=3,a2=4,即aCnn-1=3,且a2Cnn-2=4,化简得na=3,且n(n-1)a22=4,解得a=13.答案:138已知(1+mx)n(mR,nN*)的展开式的二项式系数之和为32,且展开式中含x3项的系数为80.(1)求m,n的值;(2)求(1+mx)n(1-x)6展开式中含x2项的系数.解: (1)由题意,得2n=32,则n=5.由通项Tr+1=C5rmrxr(r=0,1,5),则r=3,所以C53m3=80,所以m=2.(2)即求(1+2x)5(1-x)6展开式中含x2项的系数,(1+2x)5(1-x)6=C50+C51(2x)1+C52(2x)2+(C60-C61x+C62x2-)=(1+10x+40x2+)(1-6x+15x2-),所以展开式中含x2项的系数为115+10(-6)+401=-5.9已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,nN*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式含x2的项;(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中含x的项的系数为12,当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?解: (1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3展开式的通项为C3kxk,(1+2x)4展开式的通项为C4k(2x)k,f(x)g(x)的展开式含x2的项为1C42(2x)2+C31xC41(2x)+C32x21=51x2.(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m