（北京专用）2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.3三角函数的图象与性质课件.pptx

4.3 三角函数的图象与性质,高考数学 (北京专用),A组 自主命题北京卷题组,五年高考,考点一 三角函数的性质及其应用,1.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cos (0).若f(x)f 对任意的实数x都成立,则的最 小值为 .,答案,解析 本题主要考查三角函数的性质及其应用. f(x)f 对任意的实数x都成立,f =1, - =2k,kZ,整理得=8k+ ,kZ. 又0,当k=0时,取得最小值 .,名师点睛 由题意知函数f(x)在x= 处取得最大值,从而得出答案.,2.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0).若f(x)在区间 上具有 单调性,且f =f =-f ,则f(x)的最小正周期为 .,答案 ,解析 记f(x)的最小正周期为T. 由题意知 - = , 又f =f =-f , 且 - = , 可作出示意图如图所示(一种情况): x1= = ,x2= = , =x2-x1= - = ,T=.,3.(2018北京文,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+ sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在区间 上的最大值为 ,求m的最小值.,解析 (1)f(x)= - cos 2x+ sin 2x =sin + . 所以f(x)的最小正周期T= =. (2)由(1)知f(x)=sin + . 由题意知- xm. 所以- 2x- 2m- . 要使得f(x)在 上的最大值为 , 即sin 在 上的最大值为1. 所以2m- ,即m .所以m的最小值为 .,4.(2016北京文,16,13分)已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(0)的最小正周期为. (1)求的值; (2)求f(x)的单调递增区间.,解析 (1)因为f(x)=2sin xcos x+cos 2x =sin 2x+cos 2x= sin , (3分) 所以f(x)的最小正周期T= = . (4分) 依题意,得 =,解得=1. (6分) (2)由(1)知f(x)= sin . 函数y=sin x的单调递增区间为 (kZ). (8分) 由2k- 2x+ 2k+ (kZ), 得k- xk+ (kZ). (12分) 所以f(x)的单调递增区间为 (kZ). (13分),评析 本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.,5.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)= sin cos - sin2 . (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间-,0上的最小值.,解析 (1)因为f(x)= sin x- (1-cos x) =sin - , 所以f(x)的最小正周期为2. (2)因为-x0,所以- x+ . 当x+ =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间-,0上的最小值为f =-1- .,思路分析 (1)先把函数f(x)化成正弦型函数,再求最小正周期;(2)利用三角函数的性质求最小 值.,6.(2012北京,15,13分)已知函数f(x)= . (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间.,解析 (1)由sin x0得xk(kZ), 故f(x)的定义域为xR|xk,kZ. 因为f(x)= =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1= sin -1, 所以f(x)的最小正周期T= =. (2)函数y=sin x的单调递增区间为 (kZ).由2k- 2x- 2k+ ,xk(k Z), 得k- xk+ ,xk(kZ). 所以f(x)的单调递增区间为 和 (kZ).,评析 本题主要考查y=Asin(x+)的性质.注意定义域及单调区间的表示方法.,7.(2011北京,15,13分)已知函数f(x)=4cos xsin -1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)因为f(x)=4cos xsin -1 =4cos x -1 = sin 2x+2cos2x-1 = sin 2x+cos 2x=2sin , 所以f(x)的最小正周期为. (2)因为- x , 所以- 2x+ .,于是,当2x+ = , 即x= 时, f(x)取得最大值2; 当2x+ =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值-1.,失分警示 记错三角函数的两角和公式、二倍角公式,造成失分. 记错特殊角的三角函数值,造成失分. 没有注意正弦函数在闭区间上的单调性而求错最值,造成失分.,评析 本题考查三角函数的两角和公式、二倍角公式以及简单的三角恒等变换,考查三角函 数的周期性和三角函数在闭区间上的最值.解题关键是利用三角函数的两角和公式、二倍角 公式进行三角恒等变换,利用三角函数的单调性求三角函数在闭区间上的最值.本题综合性较 强,属于中等难度题.,考点二 三角函数的图象及其变换,1.(2016北京,7,5分)将函数y=sin 图象上的点P 向左平移s(s0)个单位长度得到点P .若P位于函数y=sin 2x的图象上,则 ( ) A.t= ,s的最小值为 B.t= ,s的最小值为 C.t= ,s的最小值为 D.t= ,s的最小值为,答案 A 点P 在函数y=sin 的图象上, t=sin = .函数y=sin 的图象向左平移 个单位长度即可得到函数y=sin 2x 的图象,故s的最小值为 .,2.(2014北京文,16,13分)函数f(x)=3sin 的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值; (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)f(x)的最小正周期为,y0是f(x)的最大值,因此y0=3.由f(x)取最大值时x满足sin = 1,得x=k+ (kZ).由图象知x0是区间(0,+)中从小到大排列的第二个最大值点的横坐标,因 此x0= . (2)因为x ,所以2x+ . 因为在区间 上,y=3sin u分别在u=- 和u=0处取得最小值和最大值,所以当2x+ =0,即x =- 时, f(x)取得最大值0;当2x+ =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值-3.,思路分析 (1)由周期公式即可求出最小正周期;由解析式和图象可求出x0,y0的值. (2)由x 可得2x+ ,由正弦函数的单调性可求出f(x)的最值.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 三角函数的性质及其应用,1.(2019课标全国文,8,5分)若x1= ,x2= 是函数f(x)=sin x(0)两个相邻的极值点,则= ( ) A.2 B. C.1 D.,答案 A 本题主要考查了三角函数的图象和性质;渗透了数学运算的核心素养;体现了创新 意识. 由x1= ,x2= 是f(x)=sin x两个相邻的极值点,可得 = - = ,则T= ,得=2,故选A.,2.(2019课标全国理,11,5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: f(x)是偶函数 f(x)在区间 单调递增 f(x)在-,有4个零点 f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题考查函数的奇偶性、三角函数的图象与性质;考查学生的推理论证能力和运 算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理. f(x)的定义域为(-,+), f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),故f(x)是偶函数,正确; 当x 时, f(x)=sin x+sin x=2sin x单调递减,不正确; 当x0,时,sin x0, f(x)=2sin x有两个零点,当x-,0)时, f(x)=-2sin x仅有一个零点,故不 正确; 当x0时, f(x)=sin x+|sin x|,其最大值为2,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在R上的最大值为2,正 确. 综上,正确,不正确.故选C.,名师点拨 本题背景熟悉,方法常规,但对学生的知识储备要求较高.每个结论考查的侧重点 各不相同,很难通过一个性质排除所有错误结论.,3.(2019课标全国理,12,5分)设函数f(x)=sin (0),已知f(x)在0,2有且仅有5个零点. 下述四个结论: f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点 f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点 f(x)在 单调递增 的取值范围是 其中所有正确结论的编号是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 本题主要考查三角函数的图象、性质及其应用,函数的零点、极值点、单调性等 知识,通过对函数f(x)=sin 图象的研究,考查学生将复杂图象化归为简单图象,将陌生问 题转化为熟悉问题的能力,考查了直观想象的核心素养. 令t=x+ (0),x0,2, t 且y=sin t, f(x)在0,2上有且仅有5个零点, y=sin t在 上有且仅有5个零点, 2+ 5,6), ,故正确. y=sin t在 上极值点的个数即为f(x)在0,2上极值点的个数. 由y=sin t在 上的图象可知f(x)在0,2有且仅有3个极大值点,有2个或3个极小值点,故正确,错误. 当x 时,t , 又 , + , , , y=sin t在t 上单调递增. y=f(x)在 上单调递增,故正确. 故选D.,解题关键 令t=x+ (0),利用整体思想将原函数转化为y=sin t来研究. 当0时,y=sin 的图象可由y=sin x的图象经过平移、伸缩变换得到,y=sin 的 增、减区间可通过讨论y=sin x的增、减区间得到.,4.(2018课标,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 本题主要考查三角函数的性质. f(x)=cos x-sin x= cos , 由题意得a0,故-a+ , 因为f(x)= cos 在-a,a是减函数, 所以 解得0a ,所以a的最大值是 ,故选A.,易错警示 本题易忽略a0,导致a的范围扩大而失分.,5.(2018课标全国文,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( ) A. f(x)的最小正周期为,最大值为3 B. f(x)的最小正周期为,最大值为4 C. f(x)的最小正周期为2,最大值为3 D. f(x)的最小正周期为2,最大值为4,答案 B 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质. f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3 = + ,f(x)的最小正周期T =,当cos 2x=1时,f(x)取最大值,为4.故选B.,解题关键 解题关键是通过三角恒等变换化简函数解析式.,6.(2018课标全国文,6,5分)函数f(x)= 的最小正周期为 ( ) A. B. C. D.2,答案 C 本题考查三角函数的周期. 解法一: f(x)的定义域为 . f(x)= =sin xcos x= sin 2x, f(x)的最小正周期T= =. 解法二: f(x+)= = =f(x),是f(x)的周期. f = ,而tan = = =- ,f =- f(x), 不是f(x)的周期, 也不是f(x)的周期.故选C.,7.(2017课标,6,5分)设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是 ( ) A.f(x)的一个周期为-2 B.y=f(x)的图象关于直线x= 对称 C.f(x+)的一个零点为x= D.f(x)在 单调递减,答案 D 本题考查余弦函数的图象和性质. 由题意知f(x)的最小正周期为2,易知A中结论正确; f =cos =cos 3=-1,为f(x)的最 小值,故B中结论正确;f(x+)=cos =-cos , f =-cos =-cos =0,故C中结论正确;由于f =cos =cos =-1,为f(x)的 最小值,故f(x)在 上不单调,故D中结论错误.故选D.,8.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|.若f =2, f =0,且f(x)的 最小正周期大于2,则 ( ) A.= ,= B.= ,=- C.= ,=- D.= ,=,答案 A f =2, f =0, f(x)的最小正周期大于2, = - = ,得T=3,则= = , 又f =2sin =2,sin =1. +=2k+ ,kZ,=2k+ ,kZ. |,= ,故选A.,易错警示 根据f(x)的最小正周期T2,可知 T= - = ,得T=3.若不注意已知条件,则容 易出现 T= ,得T=,从而造成错误.,思路分析 由三角函数的图象(图略)可知 = - = ,得T=3,= ,然后将 代入y=f (x)中解出的值即可.,9.(2019课标全国文,15,5分)函数f(x)=sin -3cos x的最小值为 .,答案 -4,解析 本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式,二次函数最值问题;考查考生的转化 与化归能力,运算能力和换元方法的应用;考查的核心素养以数学运算为主. f(x)=sin -3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1,令cos x=t,则t-1,1. f(t)=-2t2-3t+1=-2 + , 易知当t=1时,f(t)min=-212-31+1=-4. 故f(x)的最小值为-4.,方法总结 求解有关三角函数的最值问题的常用方法: (1)形如函数y=Asin(x+)(0,A0)的形式,利用函数的单调性求解; (2)涉及sin xcos x,sin xcos x的形式,常采用换元法转化为一元二次函数形式求解; (3)形如f(x)= 的形式常用数形结合思想进行求解.,10.(2017课标,14,5分)函数f(x)=sin2x+ cos x- 的最大值是 .,答案 1,解析 本题主要考查三角函数的最值. 由题意可得f(x)=-cos2x+ cos x+ =- +1. x ,cos x0,1.当cos x= 时, f(x)max=1.,11.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,xR. (1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值; (2)求函数y= + 的值域.,解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学 素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想. (1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+), 即sin xcos +cos xsin =-sin xcos +cos xsin , 故2sin xcos =0, 所以cos =0. 又0,2),因此= 或 . (2)y= + =sin2 +sin2 = + =1-,=1- cos . 因此,函数的值域是 .,思路分析 (1)根据偶函数的定义,知f(-x+)=f(x+)恒成立,利用三角恒等变换,得出cos =0,从 而求出的值. (2)将函数解析式化简为y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式,利用三角函数的性质求值 域.,12.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2 sin xcos x(xR). (1)求f 的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.,解析 本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力. (1)由sin = ,cos =- , f = - -2 ,得f =2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x- sin 2x=-2sin . 所以f(x)的最小正周期是. 由正弦函数的性质得 +2k2x+ +2k,kZ, 解得 +kx +k,kZ. 所以, f(x)的单调递增区间是 (kZ).,13.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sin +sin ,其中03.已知f =0. (1)求; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左 平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在 上的最小值.,解析 本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质. (1)因为f(x)=sin +sin , 所以f(x)= sin x- cos x-cos x = sin x- cos x= = sin . 由题设知f =0,所以 - =k,kZ. 故=6k+2,kZ,又03,所以=2.,(2)由(1)得f(x)= sin , 所以g(x)= sin = sin . 因为x ,所以x- ,当x- =- ,即x=- 时,g(x)取得最小值- .,14.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.,解析 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,- ),ab, 所以- cos x=3sin x. 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0. 于是tan x=- .又x0,所以x= . (2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,- )=3cos x- sin x=2 cos . 因为x0,所以x+ , 从而-1cos . 于是,当x+ = ,即x=0时, f(x)取到最大值3; 当x+ =,即x= 时, f(x)取到最小值-2 .,考点二 三角函数的图象及其变换,1.(2019天津文,7,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)是奇函数,且f(x)的最小正周期 为,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为 g(x).若g = ,则f = ( ) A.-2 B.- C. D.2,答案 C 本题主要考查三角函数的图象变换.要求学生有较强的推理论证能力和数据处理 能力. f(x)的最小正周期为,=2. 又f(x)=Asin(2x+)为奇函数, =k(kZ),|,=0, f(x)=Asin 2x,则g(x)=Asin x, g = ,即Asin = ,A=2. f(x)=2sin 2x,f =2sin = .故选C.,2.(2018天津,6,5分)将函数y=sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数 ( ) A.在区间 上单调递增 B.在区间 上单调递减 C.在区间 上单调递增 D.在区间 上单调递减,答案 A 本题主要考查三角函数的图象变换及三角函数的性质. 将y=sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin = sin 2x,令2k- 2x2k+ (kZ),得k- xk+ (kZ),所以y=sin 2x的递增区间为 (kZ),当k=1时,y=sin 2x在 上单调递增,故选A.,易错警示 进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是对自变量本身而 言;还要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数.,3.(2017课标,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin ,则下面结论正确的是 ( ) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长 度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长 度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度, 得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度, 得到曲线C2,答案 D 首先利用诱导公式化异名为同名. y=sin =cos =cos =cos , 由y=cos x的图象得到y=cos 2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不 变;由y=cos 2x的图象得到y=cos 的图象,需将y=cos 2x的图象上的各点向左平移 个 单位长度,故选D.,方法总结 (1)三角函数的图象变换: 伸缩变换:将y=sin x图象上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,可得到y=sin 的 图象;将y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,可得到y=Asin x的图象. 平移变换:函数图象的平移变换遵循“左加右减”的法则,但是要注意平移量是指自变量x 的变化量. (2)解决三角函数图象变换的问题时,若两函数异名,则通常利用公式sin x=cos 和cos x= sin 将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程.,4.(2016课标全国,6,5分)将函数y=2sin 的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的 函数为 ( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin,答案 D 函数y=2sin 的周期为,将其图象向右平移 个单位后,得到的图象对应的函 数为y=2sin =2sin ,故选D.,5.(2016课标,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称 轴为 ( ) A.x= - (kZ) B.x= + (kZ) C.x= - (kZ) D.x= + (kZ),答案 B 将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到函数y=2sin =2sin 的图象,由2x+ =k+ (kZ),可得x= + (kZ).则平移后图象的对称轴为x= + (kZ),故选B.,思路分析 先得出平移后的图象对应的解析式,再利用正弦函数图象的对称轴得平移后图象 的对称轴.,易错警示 本题易犯的错误是得出平移后的图象为函数y=2sin 的图象.,6.(2015课标,8,5分)函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ( ) A. ,kZ B. ,kZ C. ,kZ D. ,kZ,答案 D 不妨令0,由函数f(x)=cos(x+)的部分图象,可得函数的周期T=2 =2,由T = 得=,f(x)=cos(x+),再根据函数的图象可得 += +2k,kZ,= +2k(kZ),f (x)=cos ,由2kx+ 2k+(kZ),得2k- x2k+ (kZ),f(x)的单调递减区间为 (kZ).故选D.,7.(2016课标,14,5分)函数y=sin x- cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单位长度得到.,答案,解析 函数y=sin x- cos x=2sin 的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单 位长度得到.,8.(2016江苏,9,5分)定义在区间0,3上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是 .,答案 7,解析 在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间0,3上的图象(如图).由图象可 知,共有7个交点.,思路分析 解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图 象是解题的关键.,9.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+) 在某一个周期 内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:,(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的 一个对称中心为 ,求的最小值.,解析 (1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=- . 数据补全如下表:,且函数表达式为f(x)=5sin . (2)由(1)知 f(x)=5sin , 得g(x)=5sin . 因为y=sin x图象的对称中心为(k,0),kZ, 所以令2x+2- =k, 解得x= + -,kZ.,由于函数y=g(x)的图象关于点 成中心对称, 令 + -= ,解得= - ,kZ. 由0可知,当k=1时,取得最小值 .,C组 教师专用题组,考点一 三角函数的性质及其应用,1.(2017山东,7,5分)函数y= sin 2x+cos 2x的最小正周期为 ( ) A. B. C. D.2,答案 C 本题考查辅助角公式及三角函数的性质. y= sin 2x+cos 2x=2sin , 从而最小正周期T= =.,2.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x= 时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是 ( ) A. f(2) f(-2) f(0) B. f(0) f(2) f(-2) C. f(-2) f(0) f(2) D. f(2) f(0) f(-2),答案 A 0,T= =,=2.又A0,f =-A,即sin =-1,得+ =2k+ ,k Z,即=2k+ ,kZ,又0,可取f(x)=Asin ,f(2)=Asin , f(-2)=Asin , f(0)=Asin .sin(-)=0,从而有0f(-2)f(0). 故有f(2)f(-2)f(0).,3.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 .,答案 ; (kZ),解析 f(x)=sin2x+sin xcos x+1= + sin 2x+1= (sin 2x-cos 2x)+ = sin + .易 知最小正周期T= =.当 +2k2x- +2k(kZ),即 +kx +k(kZ)时, f(x) 单调递减,所以f(x)的单调递减区间为 (kZ).,4.(2015湖南,15,5分)已知0,在函数y=2sin x与y=2cos x的图象的交点中,距离最短的两个 交点的距离为2 ,则= .,答案,解析 由 消去y,得sin x-cos x=0, 即 sin =0,解得x= + ,kZ. 取k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为 , ,又两交点的距离为2 , 所以 +( + )2=(2 )2,解得= .,5.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2 . (1)求f(x)的单调区间; (2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f =0,a=1,求ABC面积的最大值.,考点二 三角函数的图象及其变换,1.(2016四川,4,5分)为了得到函数y=sin 的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 C.向上平行移动 个单位长度 D.向下平行移动 个单位长度,答案 A 根据“左加右减”的原则可知,把函数y=sin x的图象上所有的点向左平行移动 个 单位长度可得y=sin 的图象.故选A.,评析 本题考查三角函数图象的平移变换.,2.(2015山东,4,5分)要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=sin 4x的图象 ( ) A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位,答案 B 因为y=sin =sin ,易知只需将y=sin 4x的图象向右平移 个单位,即 得y=sin 的图象,故选B.,3.(2015陕西,14,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 .,答案 8,解析 由y=3sin +k可知,ymin=-3+k,所以-3+k=2,即k=5,所以ymax=3+k=8.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 三角函数的性质及其应用,1.(2018北京东城期末,2)函数y=3sin 图象的相邻两条对称轴之间的距离是 ( ) A.2 B. C. D.,答案 C T= =,则相邻的两条对称轴之间的距离为 = ,故选C.,2.(2017北京西城一模,3)函数f(x)=sin2x-cos2x的最小正周期是 ( ) A. B. C. D.2,答案 B f(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,所以最小正周期为.,3.(2019北京延庆一模,4)函数f(x)=sin 2x- cos 2x在区间 上的零点之和是 ( ) A.- B.- C. D.,答案 B 由sin 2x- cos 2x=0得tan 2x= ,从而2x= +k,kZ,即x= + ,kZ,因为x ,所以x=- 或x= ,因此函数f(x)=sin 2x- cos 2x在区间 上的零点是- 与 ,所 以零点之和是- + =- ,故选B.,解后反思 根据零点的定义,求函数f(x)的零点,即解方程f(x)=0,然后结合三角函数的图象与性 质求解.,4.(2019北京石景山一模文,7)已知f(x)=sin x,则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)= ( ) A.0 B.505 C.1 010 D.2 020,答案 A 函数f(x)=sin x的周期是 =5,只需算出一个周期内的函数值的和即可. f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0+sin +sin +sin +sin =0+sin +sin -sin -sin =0, f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)=4040=0.故选A.,5.(2019北京怀柔一模,11)函数f(x)=sin xcos x+cos2x- 的最小正周期是 , f(x)的取值范 围是 .,答案 ;,解析 f(x)=sin xcos x+cos2x- = sin 2x+ - = sin 2x+ cos 2x= (sin 2x+cos 2x)= sin ,所以函数f(x)=sin xcos x+cos2x- 的最小正周期是, f(x)的取值范围是 .,6.(2019北京西城期末文,15)已知函数f(x)=2cos xsin x+ - . (1)求f(x)的最小正周期; (2)若直线x=为函数f(x+a)图象的一条对称轴,求实数a的值.,解析 (1)因为f(x)=2cos x - =sin xcos x+ cos2x- = sin 2x+ cos 2x =sin , (6分) 所以f(x)的最小正周期T=. (7分) (2)由(1)知f(x+a)=sin , 因为直线x=为函数f(x+a)图象的一条对称轴, 所以f(+a)为函数f(x+a)的最大值或最小值, 即f(+a)=sin =sin =1, (10分) 所以2a+ =k+ ,kZ, 解得a= + ,kZ. (13分),7.(2019北京海淀期末,15)已知函数f(x)=acos -cos 2x,其中a0. (1)比较f 和f 的大小; (2)求函数f(x)在区间 上的最小值.,解析 (1)因为f = - , f =a+1,所以f -f =(a+1)- = + .因为a0,所以 + 0,所以f f . (2)因为f(x)=asin x-cos 2x=asin x-(1-2sin2x)=2sin2x+asin x-1. 设t=sin x,因为x , 所以t-1,1, 所以y=2t2+at-1,其图象的对称轴为直线t=- . 当t=- 4时,在t=-1处取得最小值1-a; 当t=- -1,即0a4时,在t=- 处取得最小值- -1.,8.(2019北京门头沟一模文,15)已知函数f(x)= sin xcos x-cos2x+ (xR). (1)求f(x)的最小正周期及单调增区间; (2)当x 时,求f(x)的最大值与最小值.,解析 (1)f(x)= sin 2x- cos 2x=sin ,所以f(x)的最小正周期T=. 令2k- 2x- 2k+ ,kZ,解得k- xk+ ,kZ,所以f(x)的单调增区间为 (kZ). (2)由0x 得- 2x- , 所以f(x)min=- , f(x)max=1.,9.(2019北京丰台期末文,15)已知函数f(x)=2 sin xcos x-cos 2x. (1)求f 的值; (2)求证:当x 时, f(x)-1.,解析 (1)因为f(x)= sin 2x-cos 2x=2sin , 所以f =2sin =1. (6分) (2)证明:因为0x , 所以- 2x- . 当2x- =- ,即x=0时, f(x)取得最小值-1. 所以当x 时, f(x)-1. (13分),10.(2017北京海淀二模,15)已知函数f(x)=sin 2xcos -cos 2xsin . (1)求f(x)的最小正周期和f(x)图象的对称轴方程; (2)求f(x)在区间 上的最小值.,解析 (1)f(x)=sin 2xcos -cos 2xsin =sin , 所以f(x)的最小正周期T= =, 因为y=sin x图象的对称轴方程为x=k+ ,kZ, 令2x- = +k,kZ,得x= + k,kZ, 所以f(x)图象的对称轴方程为x= + k,kZ. 或者:令2x- = +2k,kZ或2x- =- +2k,kZ, 得x= +k,kZ或x= +k,kZ,所以f(x)图象的对称轴方程为x= +k,kZ或x= +k,k Z,(2)因为x ,所以2x0, 所以2x- , 所以当2x- =- ,即x= 时, f(x)取得最小值.,则f(x)在区间 上的最小值为-1.,11.(2019北京海淀一模,15)已知函数f(x)=2 cos cos x+a的最大值为 . (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调递增区间.,解析 (1)因为f(x)=2 cos cos x+a =(2sin x+2cos x)cos x+a=2sin xcos x+2cos2x+a =sin 2x+cos 2x+1+a= sin +1+a, 所以函数f(x)的最大值为 +1+a, 所以1+a=0,所以a=-1. (2)因为y=sin x的单调递增区间为 ,kZ, 所以令2k- 2x+ 2k+ ,kZ, 得k- xk+ ,kZ. 则函数f(x)的单调递增区间为 ,kZ.,12.(2019北京东城一模,15)已知函数f(x)=4acos xsin x- ,且f =1. (1)求a的值及f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在区间0,m上单调递增,求m的最大值.,解析 (1)由f =1,得4a =1,解得a=1, 所以f(x)=4cos xsin =4cos x =2 sin xcos x-2cos2x= sin 2x-cos 2x-1 =2sin -1. 所以f(x)的最小正周期为. (7分) (2)由(1)知f(x)=2sin -1, 当x0,m时,2x- , 若f(x)在区间0,m上单调递增,则2m- ,即m , 所以m的最大值为 . (13分),考点二 三角函数的图象及其变换,1.(2017北京平谷零模,6)若将函数f(x)=sin 的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴 对称,则的最小正值是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 把函数f(x)的图象向右平移个单位,可得函数g(x)=sin =sin 的图象.由于所得图象关于y轴对称,故有-2+ =k+ ,kZ,即=- - ,kZ,故的最小正值 为 ,故选A.,2.(2019北京朝阳一模,5)如图,函数f(x)的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的,则f(x) 的解析式可以是 ( ) A. f(x)=sin B. f(x)=sin C. f(x)=cos D. f(x)=cos,答案 A T=2 =2 =,|=2,排除B、D;由f =1,排除C,只有A项符合,故选 A.,3.(2019北京东城一模文,15)已知函数f(x)=4cos xsin +1. (1)求f 的值; (2)求f(x)的最小正周期,并画出f(x)在区间0,上的图象.,解析 (1)f =4cos sin +1=4cos sin +1=4 1+1=-1. (3分) (2)f(x)=4cos xsin +1 =4cos x +1 =4cos x +1 =2 sin xcos x-2cos2x+1 = sin 2x-cos 2x =2 =2sin . (9分),列表如下:,4.(2018北京海淀二模,15)如图,已知函数f(x)=Asin(x+) A0,0,| 在一个周期内的图 象经过B ,C ,D 三点. (1)写出A,的值; (2)若 ,且f()=1,求cos 2的值.,解析 (1)A=2,=2,=- . (2)由(1)得, f(x)=2sin . 因为f()=1,所以sin = . 因为 ,所以2- . 所以2- = , 所以2= , 所以cos 2=cos =- .,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:95分钟 分值:135分 一、选择题(每小题5分,共10分),1.(2018北京门头沟一模,7)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图象如图所示,则 “m2”是“函数f(x)m对任意x0,8恒成立”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,2.(2019清华中学生标准学术能力试卷文,9)已知函数f(x)=sin(x+)(0,-0)的最小正周 期为,将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度后所得图象过点 ,则函数g(x)=cos(x+) ( ) A.在区间 上单调递减 B.在区间 上单调递增 C.在区间 上单调递减 D.在区间 上单调递增,答案 D 由题意知f(x)=sin(2x+),其图象向左平移 个单位长度得y=sin 的图象, 又点 在函数y=sin 的图象上,所以sin = ,所以 += +2k(kZ) 或 += +2k(kZ),又因为-0,所以=- ,所以g(x)=cos ,由-+2k2x- 2k (kZ)得- +kx +k(kZ),令k=0,则- x ,因而函数g(x)=cos 在 上单调递增.,二、填空题(每小题5分,共20分) 3.(2019北京西城一模,11)函数f(x)=sin 2x+cos 2x的最小正周期T= ;如果对于任意的x R都有f(x)a,那么实数a的取值范围是 .,答案 ; ,+),解析 f(x)=sin 2x+cos 2x= sin , T= = =. f(x)= sin , a .,4.(2017北京海淀一模,13)已知函数f(x)=sin x(0),若函数y=f(x+a)(a0)的部分图象如图所示, 则= ,a的最小值是 .,答案 2;,解析 由图象知 = - = , T=. =2.f(x)=sin 2x. y=f(x+a)=sin2(x+a), 由题图知点 在y=f(x+a)的图象上, sin =1. +2a=2k+ ,kZ. a=k+ ,kZ. a0,a的最小值为 .,解后反思 熟练掌握正弦型函数的图象与性质是解题关键.,5.(2017北京石景山一模,12)如果将函数f(x)=sin(3x+)(-0)的图象向左平移 个单位,所得 到的图象关于原点对称,那么= .,答案 -,解析 把函数f(x)的图象向左平移 个单位,可得函数g(x)=sin 的图象,当x=0时,3 += +=k,kZ,=k- ,kZ,-0,=- .,6.(2019北京西城二模文,12)若函数f(x)=sin(x+)(0)在区间 上单调递减,则的最小值为 .,答案,解析 由 +2kx+ +2k,kZ,得 -+2kx -+2k,kZ. 由题意知 kZ, 故2k+ 2k+ ,kZ,令k=0,得 ,则的最小值为 .,三、解答题(共105分) 7.(2019北京西城二模,15)已知函数f(x)=cos +2sin xcos x. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)将函数f(x)的图象向左平移 个单位,得到的图象对应的函数解析式为g(x),求g(x)的单调递 增区间.,解析 (1)因为f(x)=cos +2sin xcos x =cos 2xcos +sin 2xsin +sin 2x = sin 2x+ cos 2x = sin , (6分) 所以函数f(x)的最小正周期T= =. (8分) (2)由(1)知, f(x)= sin , 所以g(x)= sin = sin . (10分) 由- +2k2x+ +2k,kZ,得- +kx- +k,kZ, 所以g(x)的单调增区间为 ,kZ. (13分) (注:单调区间写成开区间不扣分),8.(2018北京东城一模,16)函数f(x)=sin(x+) 的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式; (2)