数值积分

胡支军 贵州大学数学系 贵州赛区组委会,数学建模讲座(三) 数 值 积 分,为什么要作数值积分,积分是重要的数学工具，是微分方程、概率 论等的基础；在实际问题中有直接应用。,数值积分,数 值 积 分 的 基 本 思 路,回 忆 定 积 分 的 定 义,各种数值积分方法研究的是,使得既能保证一定精度，计算量又小。,n充分大时In就是I的数值积分,（计算功效：算得准，算得快）,1.从矩形公式到梯形公式,平均，得到,梯形公式,2.辛普森(Simpson)公式 （抛物线公式）,梯形公式相当于用分段线性插值函数代替,每段要用相邻两小区间 端点的三个函数值,提高精度,数值积分,区间数必须为偶数,对k求和(共m段)，得（复合）辛普森公式：,二次插值函数sk(x),2.辛普森(Simpson)公式（抛物线公式）,梯形公式在每小段上是用线性插值函数T(x)代替 f(x),梯形公式 的误差估计,因为：(x-xk)(x-xk+1)在(xk,xk+1)不变号，所以：,梯形公式Tn的 误差是h2阶的,估计,梯形公式的误差,同理可得：,其中,辛普森公式Sn的误差是h4阶的。,辛普森公式的误差估计,梯形公式和辛普森公式的收敛性,则称 In是 p 阶收敛的。,c=0: 至少p阶收敛（超p阶收敛）,积分步长的自动选取,选定数值积分公式后，如何确定步长h以满足给定的误差,梯形公式,用二分法只要,其中fk+1/2是原分点xk,xk+1的中点（记xk+1/2）的函数值,且T2n可在Tn 基础上计算,高斯(Gauss)求积公式,矩形公式(1)、(2),梯形公式(3),辛普森公式(4),Ak是与f无关的常数,代数 精度,而当,则称In的代数精度为m.,Newton-Cotes方法,梯形公式的代数精度（考察T1）,k=1 f(x)=x,k=2 f(x)=x2,梯形公式的代数精度为1,辛普森公式的代数精度为3,高斯公式的思路,取消对节点的限制，按照代数精度最大 的原则，同时确定节点xk和系数Ak,构造求积公式,对于,使G2的代数精度为3,确定,将f(x)代入计算得,用n个节点，Gn的代数精度可达2n-1, 但是需解 复杂的非线性方程组，实用价值不大。,常 用 的 高 斯 公 式,将(a,b)分小，把小区间变换为(-1，1), 再用G2,代数精度为3,节点加密时，原计算信息无法利用,思路：将积分区间分小，在小区间上用n不太 大的 。而在节点加密一倍时能够利用原节点的函数值，可以把区间的端点作为固定节点。,改进的高斯公式,Gauss-Lobatto求积公式,其中a, b为小区间的端点，,为2n-2个参数，,代数精度可达到2n-3,注意：实际计算中一般采用自适应方法确定步长,用MATLAB 作数值积分,矩形 公式,Sum(x),输入数组x(即fk),输出x的和(数),cumsum(x),输入数组x,输出x的依次累加和(数组),梯形 公式,trapz(x),输入数组x,输出按梯形公式x的积分(单位步长),trapz(x,y),输入同长度数组 x,y,输出按梯形公式 y对x的积分(步长不一定相等),用MATLAB 作数值积分,辛普森公式,quad(fun,a,b,tol,trace) I,fn=quad(),用自适应辛普森公式计算 tol为绝对误差，缺省时为10-6,Gauss-Lobatto公式,quadl(fun,a,b,tol,trace) I,fn=quadl(),用自适应Gauss-Lobatto公式计算 tol为绝对误差，缺省时为10-6,注意：fun.m中应以自变量为矩阵的形式输入(点运算),矩形域上计算二重积分的命令：,dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol),广义积分、二重和三重积分,长方体上计算三重积分的命令：,triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax, zmin,zmax,tol),注：fun是被积函数，本身可以有自己的参数,广义积分：,通过分析和控制误差，转换成普通积分,quadv(fun,a,b,tol,trace),向量值积分：,用MATLAB 作数值积分,例. 计算,1）矩形公式和梯形公式,将(0, /4)100等分,2）辛普森公式和Gauss-Lobatto公式,精确、方便,无法计算用数值给出的函数的积分,Jifen1a.m Jifen1b.m,精确值为,数值积分的应用,实例 人造卫星轨道长度,轨道长度,需要作数值积分,s1=439km, s2= 2384km, r=637