（江苏专用）2020版高考数学一轮复习第二章函数2.5函数与方程课件.pptx

2.5 函数与方程,高考数学 (江苏省专用),五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,1.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数, f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f (x)是奇函数.当x(0,2时, f(x)= ,g(x)= 其中k0.若在区间(0,9上,关 于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是 .,答案,解析 本题考查函数的奇偶性、周期性、直线与圆的位置关系等知识,考查学生的逻辑推理 能力和运算求解能力,考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算. 根据函数f(x)的周期性及奇偶性作图,如图所示. 由图知,当x(0,2时,g(x)与f(x)的图象在x轴上方有2个公共点, 当x(2,4时,g(x)与f(x)的图象在x轴下方有1个公共点, 由f(x)与g(x)的周期性知,当x(4,8时,g(x)与f(x)的图象有3个公共点,当x(8,9时,g(x)与f(x)的 图象有2个公共点. 当y=k(x+2)与y= (0x2)的图象相切时,求得k= ,当直线y=k(x+2)过(1,1)时,k= , k .,从而在(0,9上, f(x)=g(x)有8个不同实数根时,k的取值范围是 .,2.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间0,1)上, f(x)= 其中集 合D= ,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是 .,答案 8,解析 解法一:由于f(x)0,1),则只需考虑1x10的情况, 在此范围内,xQ且xZ时,设x= ,p,qN*,p2且p,q互质,若lg xQ,则由lg x0,1),可设lg x = ,m,nN*,m2且m,n互质,因此1 = ,则10n= ,此时等号左边为整数,等号右边为非整 数,矛盾.因此lg xQ, 因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等, 只需考虑lg x与每个周期内xD对应的部分的交点. 画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lg x)= = 1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.,解法二:先证明结论:1 k- ,其中p,qN*且p,q互质,k,nN*. 假设1 =k- ,则10q= . 左边是整数,而右边不是整数,矛盾. 则1 k- , 则原方程即f(x)-lg(x+k)=0,其中kN*,x0,1), 该方程即k=10f(x)-x. 当xD时,该方程有唯一解x=0,此时k=1, 由于函数y=10x-x在(0,1)上单调递增, 因此,当xD时,k=2,3,4,5,6,7,8均满足该方程有唯一解. 综上所述,方程的解的个数为8.,3.(2015江苏,13,5分)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)= 则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为 .,答案 4,解析 由|f(x)+g(x)|=1可得f(x)+g(x)=1,即g(x)=-f(x)1,则原问题等价于函数y=g(x)与y=-f(x)+1 或y=g(x)与y=-f(x)-1的图象的交点个数问题,在同一坐标系中作出y=g(x),y=-f(x)+1及y=-f(x)-1的 图象,如图: 由图可知,函数y=g(x)的图象与函数y=-f(x)+1的图象有2个交点,与函数y=-f(x)-1的图象有2个交 点,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.,名师点睛 一些对数型方程不能直接求出其零点,常通过平移、对称变换转化为相应的函数 图象问题,利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数,而函数零点个数的判断 通常转化为两函数图象交点的个数.这时函数图象是解题关键,不仅要研究其走势(单调性、 极值点、渐近线等),而且要明确其变化速度快慢.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 集合及其关系,1.(2019天津文改编,8,5分)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=- x+a(aR)恰有两 个互异的实数解,则a的取值范围为 .,答案 1,解析 本题以分段函数和方程的解的个数为背景,考查函数图象的画法及应用.,画出函数y=f(x)的图象,如图. 方程f(x)=- x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=- x+a的公共点的个数. 当直线l经过点A时,有2=- 1+a,a= ; 当直线l经过点B时,有1=- 1+a,a= .,由图可知,a 时,函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点. 另外,当直线l与曲线y= ,x1相切时,恰有两个公共点,此时a0. 联立 得 =- x+a, 即 x2-ax+1=0, 由=a2-4 1=0,得a=1(舍去负根). 综上,a 1.,一题多解 令g(x)=f(x)+ x= 当0x1时,g(x)=2 + 为增函数,其值域为 ;当x1时,g(x)= + ,对g(x)求导得g(x)=- + ,令g (x)=0,得x=2,当x(1,2)时,g(x)0,g(x)单调递增,当x=2时,g(x)min=g(2)=1,函数g(x)的简图如图 所示: 方程f(x)=- x+a恰有两个互异的实数解,即函数y=g(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点,由 图可知 a 或a=1满足条件.,易错警示 本题入手时,容易分段研究方程2 =- x+a(0x1)与 =- x+a(x1)的解,陷入 相对复杂的运算过程.利用数形结合时,容易在区间的端点处出现误判.,2.(2018课标全国理改编,9,5分)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则 a的取值范围是 .,答案 -1,+),解析 本题主要考查函数的零点及函数的图象. g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)= 与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图, 当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a1,即a-1.,方法总结 已知函数零点的个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数 问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.,3.(2018天津理,14,5分)已知a0,函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互 异的实数解,则a的取值范围是 .,答案 (4,8),解析 本题主要考查函数零点的应用. 设g(x)=f(x)-ax= 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点, 满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况: 情况一: 则 4a8.,情况二: 则 不等式组无解. 综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).,解题策略 解决方程的根的问题时,通常转化为函数的零点问题,进而转化为函数图象的交点 问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.,4.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)= (a0,且a1)在R上单调递减,且关于x 的方程|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 .,答案,解析 函数f(x)在R上单调递减, 解得 a . 在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|与y=2- 的图象,如图所示. 方程|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2- 的图象恰有两个交点,则,需满足3a2,得a ,综上可知, a .,易错警示 (1)f(x)在R上单调递减,需满足 缺少条件是失分的一个原因; (2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数 的问题是解决这类问题常用的方法.,评析 本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问 题转化为求两个函数图象交点个数的问题,这是求解这类问题的常用方法.,5.(2015北京,14,5分)设函数f(x)= 若a=1,则f(x)的最小值为 ; 若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .,答案 -1 2,+),解析 当a=1时, f(x)= 其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. 当a0时,显然函数f(x)无零点; 当01,由二次函数的性质可知,当x1时, f(x)有2个零点, 则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-,1)上无零点,则2-a0,即a2. 综上可知,满足条件的a的取值范围是 2,+).,6.(2015天津改编,8,5分)已知函数f(x)= 函数g(x)=b-f(2-x),其中bR.若函数y=f(x)- g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是 .,答案,解析 由已知条件可得g(x)= 函数y=f(x),y=g(x)的图象如图所示: 要使y=f(x)-g(x)恰有4个零点,只需y=f(x)与y=g(x)的图象恰有4个不同的交点,需满足 在x2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令,h(x)=x2-5x+8-b,需 即 解得 b2. 综上所述,满足条件的b的取值范围是 b2.,C组 教师专用题组,1.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)= 若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的 取值范围是 .,答案 (-,0)(1,+),解析 当a1时, f(x)的图象如图所示,当b(a2,a3时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1= ,x2= .综上,a(-,0)(1,+).,2.(2015湖北,12,5分)函数f(x)=4cos2 cos -2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为 .,答案 2,解析 f(x)=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|,x-1,函数f(x)的零点个数即为函数y= sin 2x与y=|ln(x+1)|(x-1)的图象的交点个数.分别作出两个函数的图象,如图,可知有两个交点, 则f(x)有两个零点.,3.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x0,3)时, f(x)= .若函 数y=f(x)-a在区间-3,4上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是 .,答案,解析 当x0,3)时, f(x)= = ,由f(x)是周期为3的函数,作出f(x)在-3,4上的 图象,如图. 由题意知方程a=f(x)在-3,4上有10个不同的根. 由图可知a .,4.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,xR.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实 数a的取值范围为 .,答案 (0,1)(9,+),解析 记g(x)=a|x-1|,则g(x)的图象过定点(1,0). 原方程恰有四个互异的实数根,则f(x)与g(x)的图象恰有四个不同交点,故a0.分以下三种情况: i)四个交点的横坐标均小于1.由 得x2+(3-a)x+a=0,由1=(3-a)2-4a0得a9舍去). 故01)也相切,解得a=1且a=9,此种情形不存在. iii)两个交点的横坐标小于1,另两个交点的横坐标大于1.由 得x2+(3-a)x+a=0,由2= (3-a)2-4a0得a9(a9时恰有四个交点. 综上,a(0,1)(9,+).,5.(2013天津改编,7,5分)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 .,答案 2,解析 易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数即为方程|log0.5x|= = 的根的个数,亦即函数y1= |log0.5x|与y2= 的图象的交点个数.两个函数的图象如图所示,可知两个函数图象有两个交点.,6.(2013重庆改编,6,5分)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位 于区间 . (a,b)和(b,c)内; (-,a)和(a,b)内; (b,c)和(c,+)内; (-,a)和(c,+)内.,答案 ,解析 由题意可得f(a)0, f(b)0,由二次函数图象知f(x)的两个零点分别位于区间(a,b) 和(b,c)内.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点 函数的零点与方程的根,1.(2018南京、盐城一模,11)设函数f(x)是偶函数,当x0时, f(x)= 若函数y=f(x)- m有四个不同的零点,则实数m的取值范围是 .,答案,解析 画出当x0时f(x)的图象,根据偶函数的图象关于y轴对称可得x0时的图象,由图象可得 m .,评析 零点个数问题一般采用数形结合法,本题只要能够准确画出分段函数图象,不难得到结 果,需要注意的是,要注意端点处是否取得.,2.(2019七市第二次调研,11)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在区间2,4)上, f(x)= 则函数y=f(x)-log5|x|的零点的个数为 .,答案 5,解析 依题意,得f(x)是周期为4的奇函数, 由f(x+4)=f(x),得f(x+2)=f(x-2), 在0,4)上图象关于(2,0)对称, f(1)=f(-3)=-f(3)=1, 令y=f(x)-log5|x|=0,得f(x)=log5|x|,分别画出y=f(x)和y=log5|x|的图象, 由图可知,两图象有5个交点,所以零点的个数为5.,3.(2018泰州中学期中,10)已知函数y=f(x)的周期为2,当x-1,1时, f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图 象与函数y=|lg x|的图象的交点共有 .,答案 10个,解析 在同一直角坐标系中,分别作出y=f(x)和y=|lg x|的图象,如图,结合图象知,共有10个交点.,4.(2019金陵中学期中,12)已知函数f(x)= 则关于x的方程ff(x)=3的解的个数为 .,答案 5,解析 由题意得,2f(x)+1=3或|ln f(x)|=3,即f(x)=1(舍去)或f(x)=e3或f(x)=e-3.若f(x)=e3,则2x+1=e3或| ln x|=e3,故x= (舍去)或x= 或x= .若f(x)=e-3,则2x+1=e-3或|ln x|=e-3,故x= 或x= 或x= ,故方程ff(x)=3共有5个解.,一题多解 (数形结合)作出f(x)= 的图象,如图: 设t=f(x), f(t)=3, 易知f(x)=3有2个根t1=e3,t2=e-3, t1=e3时,方程f(x)=e3有2个根, t2=e-3时,方程f(x)=e-3有3个根,所以共有5个根.,5.(2019南通通州、海门联考,12)已知函数f(x)= 若函数y=|2f(x)-a|-1存在5个零点,则 实数a的取值范围为 .,答案 (1,3),解析 作出y=f(x)的图象,如图. y=|2f(x)-a|-1有5个零点, |2f(x)-a|-1=0有5个根, f(x)= 和f(x)= 共有5个零点. (1) 解得1a3. (2) 无解.,综上,a的取值范围是(1,3).,思路分析 本题采用数形结合法.函数y=|2f(x)-a|-1有5个零点等价于f(x)= 和f(x)= 共有 5个零点,利用图象讨论得到答案.,6.(2019泰州期末,13)已知函数f(x)= 若存在x00,使得f(x0)=0,则实数a的取值范 围是 .,答案 -1,0),解析 (1)当a0时, 如果xa, f(x)=x3-3x+2a=0,即函数y=x3与y=3x-2a的图象在(-,0)上有交点,由图象可知不存在. 如果xa, f(x)=x3+3x-4a=0,即函数y=x3与y=-3x+4a的图象在(-,0)上有交点,由图象可知不存在. (2)当a0时, 如果xa, f(x)=x3-3x+2a=0,即函数y=x3与y=3x-2a在(-,0)上有交点,如图,两图象相切时,y=3x2= 3,x=-1,切点为(-1,-1),代入y=3x-2a,得a=-1, 所以,当-1a0时,在x0且xa处有交点,即存在x00,使得f(x0)=0.,如果xa且a-1时, f(x)=x3+3x-4a=0,即函数y=x3与y=-3x+4a在x0,即xa处有交点,因a3+3a-4a=a (a+1)(a-1)0,两图象交点的横坐标是大于a的,如图. 所以在xa处,两图象无交点. 综上可知,-1a0.,一题多解 令f(x)=0,则有xa时,x3=3x-2a,xa时,x3=-3x+4a,等价于x3=3|x-a|+a存在x00使得 = 3|x0-a|+a, 也就是研究函数y=x3图象与函数y=3|x-a|+a图象在x0时有交点. 如图,y=3|x-a|+a就是把y=3|x|图象顶点沿着直线y=x移动,不难发现a=-1时是临界位置,从而-1 a0.,7.(2019扬州中学检测,11)已知函数f(x)= 若关于x的方程|f(x)|-ax-5=0恰有三个不同 的实数解,则满足条件的所有实数a的取值集合为 .,答案,解析 令f(x)=0,得x=-2或x=ln 5, f(x)在(-,0上单调递减,在(0,+)上单调递增, |f(x)|= 作出y=|f(x)|的函数图象如图所示:,关于x的方程|f(x)|-ax-5=0恰有三个不同的实数解, 直线y=ax+5与y=|f(x)|的图象有3个交点, 直线y=ax+5过点(-2,0)或过点(ln 5,0)或直线y=ax+5与y=|f(x)|的图象相切, (1)若直线y=ax+5过点(-2,0),则a= ; (2)若直线y=ax+5过点(ln 5,0),则a=- ; (3)若直线y=ax+5与y=|f(x)|在(-2,0上的图象相切,设切点为(x0,y0), 则 解得a=2; (4)若直线y=ax+5与y=|f(x)|在(0,ln 5上的图象相切,设切点为(x1,y1), 则 解得a=-e. a的取值集合为 .,思路分析 作出函数y=|f(x)|的图象,根据直线y=ax+5与y=|f(x)|的图象有3个交点得出两函数图 象的关系,从而得出a的值.,8.(2019如皋一模,11)已知函数f(x)= 若函数h(x)=f(x)+ x-a恰有3个不同的零点, 则实数a的取值集合为 .,答案,解析 h(x)= h(x)= 所以x ln 2时,函数h(x)单调递增. 由 h h(ln 2)h(0)h(ln 2)=0或h(0)=0,解得a=1或 . 故实数a的取值集合为 .,填空题(每小题5分,共40分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：30分钟 分值：40分),1.(2019前黄中学期初,12)已知f(x)=|xex|,g(x)=f 2(x)+tf(x)(tR).若方程g(x)=-1有四个实数根,则t 的取值范围为 .,答案 t-e-,解析 设h(x)=xex,则h(x)=(x+1)ex, 所以h(x)在(-,-1)上递减,在(-1,+)上递增,极小值为h(-1)=- , 当x-时,h(x)=xex= 0且h(x)0; 当x+时,h(x)=xex+. 在坐标系中画出h(x)=xex的图象,将x轴下方的部分沿x轴翻折至上方,得到f(x)=|xex|的图象.,当m 或m=0时, f(x)=m有且仅有1个实数解; 当m= 时, f(x)=m恰有2个实数解; 当0 ,00,且m+时(m)0, 所以只需 = +t +10即可,解得t-e- .,2.(2019徐州期中,14)已知函数f(x)=x|x2-a|-a,若f(x)有三个零点,则实数a的取值范围是 .,答案 a,解析 a=0时, f(x)=x|x2|=x3,只有一个零点,不符合题意. a0, f(x)在R上单调递增, 所以f(x)=x3-ax-a不可能有3个零点,不符合题意. a0时, f(x)=x|x2-a|-a=0,则|x2-a|= (x0), 则当x 或x- 时,x2-a= ,作出y=x2-a,y= 的图象,如图,两函数图象有一个交点;,方程x2-a= 有唯一实根. 当- 0,则 = -a +a .,思路分析 本题考查函数的零点,当a=0和a0时,得到两个方程x2-a= 和x 2-a=- , x2-a= 转化为x2=a+ ,明显有唯一零点, x2-a=- 转化为x3-ax+a=0,考察最小值即可.,3.(2019南通基地学校3月联考,12)已知函数f(x)= 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围是 .,答案,解析 对于f(x)=ln x-m,x0,无论m取何值总有且只有一个零点,所以x0时, f(x)=x3-3mx-m必有 两个零点,此时f (x)=3x2-3m, 显然m0时不成立,那么必须满足 即 解得m .,思路分析 根据条件容易发现x0时有一个零点,这是解题的突破口,这样x0时函数必须有 两个零点,从而研究三次函数的图象和性质.,4.(2019南京、盐城二模,13)已知函数f(x)= 设g(x)=kx+1,且函数y=f(x)-g(x)的图 象经过四个象限,则实数k的取值范围为 .,答案,解析 作出函数f(x)的图象,如图. 因为函数y=f(x)-g(x)的图象经过四个象限,所以y=f(x)与y=g(x)在(-,0)和(0,+)都有交点. k0时,在(-,0)内,当k 时满足题意; k0时,在(0,+)内,只需求过定点(0,1)且与函数f(x)的函数图象相切的直线斜率即可,经计算可 知此时k(-9,0).,显然k=0符合题意. 综上可知,k的取值范围为 .,5.(2019南通、如皋二模,14)定义mina,b= 已知函数f(x)=ex- ,g(x)=(x-1)(mx+2m2-m-1), 若h(x)=minf(x),g(x)恰好有3个零点,则实数m的取值范围是 .,答案 ,解析 当m0时, f(x)=ex- 的零点为x=ln =-ln m, g(x)=(x-1)(mx+2m2-m-1)的零点为x1=1,x2=1+ -2m. (1)若1+ -2m1,则有0m ,画出两函数图象如图.,由图可知,要有3个零点,需满足-ln m ,所以 ,画出两函数图象如图. 由图可知,要有3个零点,需满足-ln m0, 令(m)=1+ -2m+ln m,求导得(m)=- -2+ = , 对于函数k(m)=-2m2+m-1,=1-8=-70,所以k(m)0恒成立,即(m)0, 所以 m1. 综上可知,实数m的取值范围是 .,6.(2019扬州期末,13)已知函数f(x)=a+3+ -|x+a|有且仅有三个零点,并且这三个零点构成等差 数列,则实数a的值为 .,答案 或-1-,解析 由f(x)=a+3+ -|x+a|=0,得 +3=|x+a|-a, 原函数有三个零点,即函数y= +3与y=|x+a|-a= 的图象有且仅有三个交点,设三个 交点的横坐标分别为x1,x2,x3,且x1x2x3, (1)如图所示:,联立 解得x2=-1,x3=4, 又三个零点构成等差数列,则x2= ,得x1=-6,得 +3=-(-6)-2a,解得a= . (2)如图所示:,联立 解得x3=4,由x2= ,得x1-2x2=-4, 由 消去y,得x2+(2a+3)x+4=0, 由根与系数的关系,得 又x1-2x2=-4, =4,化为4a2+8a-23=0, 因为-a0,所以a0,所以a= . 综上可得,a的值为 或-1- .,解题关键 本题考查零点问题,利用数形结合法,函数f(x)=a+3+ -|x+a|的零点个数转化为函数 y=3+ 图象与函数y=|x+a|-a图象交点个数.,7.(2018南通调研,12)设函数f(x)= (其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点, 则实数m的取值范围是 .,答案 (1,+),解析 画出f(x)的图象如图中实线部分, 当x0时,y=e-x- 的图象与x轴有一个交点, 故当x0时,y=x3-3mx-2的图象与x轴有两个交点, f(x)=x3-3mx-2(x0)的图象恒过点(0,-2), x0时, f (x)=3x2-3m(x0),令f (x)=0,则x=- , f(x)在(-,- )上单调递增,在(- ,0)上单调递减, f(x)极大值=f(- )=(- )3-3m(- )-20. m1.,一题多解 当x0时, f(x)=e-x- ,令f(x)=0,得x=ln 2,有一个根. 故当x0时,x3-3mx-2=0有两个不等实根,显然x=0不是此方程的实根. x2- =3m. 令g(x)=x2- (x0),g(x)=2x+ ,令g(x)=0,则x=-1, 则g(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增, 画出g(x)的图象,如图. 由图象可得g(x)(3,+),则3m(3,+), 即m(1,+).,8.(2017苏北四市期末,14