（江苏专用）2020版高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用课件.pptx

7.3 基本不等式及不等式的应用,高考数学 (江苏省专用),五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,考点 基本不等式及不等式的应用,1.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x0)上的一个动点,则点P到直线 x+y=0的距离的最小值是 .,答案 4,解析 本题通过曲线y=x+ (x0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基 本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何 关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养. 设P ,x00,则点P到直线x+y=0的距离d= = 4,当且仅当x0= , 即x0= 时取“=”. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.,一题多解 当点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行. 设P ,x00,易知y=1- , 令1- =-1,得 =2. x00,x0= ,P( ,3 ). 此时点P到直线x+y=0的距离为 =4. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.,2.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交 AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 .,答案 9,解析 解法一(面积法):利用SABC=SABD+SBCD, 得 acsin 120= csin 60+ asin 60, 则ac=a+c,即 + =1, 所以4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当a= ,c=3时取等号.故4a+c的最小值为9. 解法二(解析法):以B为原点,BD所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A ,C ,D (1,0),由A,D,C三点共线, 得 = ,化简得ac-a-c=0,即 + =1, 所以4a+c=(4a+c) =5+ + 9, 当且仅当a= ,c=3时取等号.故4a+c的最小值为9.,3.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总 存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .,答案 30,解析 本题考查基本不等式及其应用. 设总费用为y万元,则y= 6+4x=4 240. 当且仅当x= ,即x=30时,等号成立.,4.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .,答案 8,解析 sin A=2sin Bsin C, sin(B+C)=2sin Bsin C, 即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 亦即tan B+tan C=2tan Btan C, tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C) =- = , 又ABC为锐角三角形, tan A= 0, tan B+tan C0,tan Btan C1, tan Atan Btan C= tan Btan C = , 令tan Btan C-1=t,则t0, tan Atan Btan C= =2 2(2+2)=8,当且仅当t= ,即tan Btan C=2时,取“=”. tan Atan Btan C的最小值为8.,一题多解 由已知得sin Bsin C= sin A, 令cos Bcos C=tcos A, 则得tan Btan C= tan A, -得cos A= sin A-tcos A, 即(1+t)cos A= sin Atan A=2(1+t), 故tan Atan Btan C= tan2A= 2(1+t)2= =8, 当且仅当t=1,即cos Bcos C=cos A,即tan A=4时取等号.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点 基本不等式及不等式的应用,1.(2019天津理,13,5分)设x0,y0,x+2y=5,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运 算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养. x+2y=5,x0,y0, = = =2 + 2 =4 ,当且仅当 即 或 时,原式取得最小值4 .,2.(2018天津文,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 .,答案,解析 本题主要考查运用基本不等式求最值. a-3b+6=0,a-3b=-6, 2a+ =2a+2-3b2 =2 =2 = . 当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+ 取得最小值,为 .,易错警示 利用基本不等式求最值应注意的问题: (1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件.,3.(2017天津,12,5分)若a,bR,ab0,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本题考查基本不等式的应用. a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立), =4ab+ , 由于ab0,4ab+ 2 =4 当且仅当4ab= 时“=”成立 , 故当且仅当 时, 的最小值为4.,规律方法 利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须 一致.,4.(2017山东文改编,12,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .,答案 8,解析 本题考查基本不等式及其应用. 由题设可得 + =1,a0,b0, 2a+b=(2a+b) =2+ + +24+2 =8 . 故2a+b的最小值为8.,5.(2015重庆,14,5分)设a,b0,a+b=5,则 + 的最大值为 .,答案 3,解析 设 =m, =n,则m,n均大于零, 因为m2+n22mn,所以2(m2+n2)(m+n)2, 所以m+n , 所以 + =3 , 当且仅当 = ,即a= ,b= 时“=”成立,所以所求最大值为3 .,C组 教师专用题组,考点 基本不等式及不等式的应用,1.(2014上海,5,4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 .,答案 2,解析 x2+2y22 =2 xy=2 ,当且仅当x= y时取“=”,x2+2y2的最小值为2 .,2.(2014福建,13,4分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造 价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 (单位:元).,答案 160,解析 设底面相邻两边的长分别为x m,y m,总造价为T元,则V=xy1=4xy=4. T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)80+202 =80+204=160(当且仅当x=y时取等号). 故该容器的最低总造价是160元.,3.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是 .,答案,解析 b2+c22bc,即2(b2+c2)b2+c2+2bc=(b+c)2,b2+c2 ,由a+b+c=0,得b+c=-a,由a2+ b2+c2=1,得1-a2=b2+c2 = ,a2 ,- a , 故a的最大值为 .,4.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b0,则当a= 时, + 取得最小值.,答案 -2,解析 a+b=2, + = + = + = + + +2 = +1. 当且仅当 = 且a0时, + 取得最小值,此时可求得a=-2.,5.(2013山东理改编,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最大值时, + - 的 最大值为 .,答案 1,解析 由x2-3xy+4y2-z=0, 得z=x2-3xy+4y2, = = . 又x、y、z为正实数, + 4, 当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2. + - = + - =- + =- +1,当 =1,即y=1时,上式有最大值1.,评析 本题考查基本不等式及其应用、二次函数求最值等知识,考查学生的运算能力.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点 基本不等式及其应用,1.(2019常州期末,9)已知正数x,y满足x+ =1,则 + 的最小值为 .,答案 4,解析 + = 1= =2+ + 2+2 =4,当且仅当 = ,即y=x2时, 取“=”,故 + 的最小值为4.,名师点睛 本题考查利用基本不等式求最值.将 + 看成 1,进行“1”的代换,就可以 利用基本不等式.本题同时考查计算能力,属于基础题.,2.(2019宿迁期末,9)已知正实数a,b满足a+2b=2,则 的最小值为 .,答案,解析 解法一:由a+2b=2得a=2-2b0,所以0b1, 则 = ,令f(b)= , 则f (b)= = = , 当b 时, f(b)递减,当b 时, f(b)递增, 所以,当b= 时, f(b)有唯一的极小值,即是最小值, f = = , 所以 的最小值为 . 解法二:a+2b=2, +b=1, = = = + = = + + 2 + = , 当且仅当3a=4b,即a= ,b= 时取“=”.,3.(2019镇江期末,12)已知x0,y0,x+y= + ,则x+y的最小值为 .,答案 3,解析 因为(x+y)2=(x+y)(x+y)=(x+y) =5+ + 5+2 =9,当且仅当y=2x时取 “=”. 又x0,y0,所以x+y3.,方法点拨 看到等号右边的 + 以及结论中的x+y,联想到用 (x+y)求最值.,4.(2019无锡期中,12)设x,y为正实数,且 + =1,则xy的最小值为 .,答案 27,解析 对于 + =1,去分母得4(2+y)+3(1+x)=(1+x)(2+y),即xy=x+3y+9,又x,y为正实数,所 以xy2 +9(当且仅当x=3y,即x=9,y=3时,取“=”), 即xy-92 ,两边平方,得(xy)2-30(xy)+810, 解得xy3或xy27, 由xy2 +9,知xy3不成立, 所以xy27.,5.(2019如皋期末,11)已知正实数x,y满足x+2y=2,则 的最小值是 .,答案,解析 因为x+2y=2,x+2y2 ,所以xy , 因为 =xy+ -3, 又因为x,y都是正实数,且xy , 所以令t=xy , f(t)=t+ -3,易知f(t)在 上是单调递减的, 所以当xy= 时,原式取最小值,为 + -3= .,思路分析 要求 的最小值,先将其展开化简得xy+ -3,由此需要求出xy的取值 范围,根据均值不等式求出xy ,再利用函数的单调性易得当xy= 时,原式取最小值,求得结 果.,易错警示 本题主要考查了均值不等式以及结合函数的单调性求最值.本题易错答案为2 - 3,主要是没有考虑到均值不等式的条件:“一正、二定、三相等”.属于中档题.,6.(2019徐州期中,12)已知正实数a,b满足a+2b=1,则 的最小值为 .,答案 18,解析 因为 =2+ + + =2+ =2+ ,又1=a+2b2 ,所以ab ,则2 + 2+28=18,当且仅当a=2b,即a= ,b= 时,取等号.,7.(2019南京、盐城期末,12)若正实数a、b、c满足ab=a+2b,abc=a+2b+c,则c的最大值为 .,答案,解析 由abc=a+2b+c,ab=a+2b, 得c= = =1+ , ab=a+2b, + =1, a+2b=(a+2b) =4+ + 4+2 =4+4=8,当且仅当a=2b,即a=4,b=2时取等号. c .,思路分析 求c的最值,利用条件将c用a、b表示出来,得到c= ,然后分离常数得到c=1+ ,转化为求a+2b的范围.本题难度中等.,8.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,9)已知正实数a,b满足a+b=1,则 + 的最小值 为 .,答案 11,解析 + =2a+ +2b+ =2+ + =2+ (a+b)=2+5+ + 7+4=11,当且仅当 = ,即b=2a= 时,取“=”.,思路分析 看到 + 这一结构,分离常数,简化问题,然后利用“1”的代换,进而利用 基本不等式.这些是高三复习中常见的处理方法,要熟练掌握.,9.(2018盐城中学期末,8)若log4(a+4b)=log2 ,则a+b的最小值是 .,答案 9,解析 因为log4(a+4b)=log2 =log4ab,所以a+4b=ab(ab0),所以 + =1,所以a+b= (a +b)=5+ + 5+4=9,当且仅当a=6,b=3时等号成立,故填9.,思路点拨 先由题意得到a+4b=ab,构造 + =1,然后将所求式子乘1后变形,利用均值不等式 求解.,10.(2017苏州期末,11)已知正数x,y满足x+y=1,则 + 的最小值为 .,答案,解析 令x+2=a,y+1=b,则a+b=4(a2,b1), + = + = (a+b) = (5+4)= ,当且仅当a= ,b= ,即x= ,y= 时等号成立.,11.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,17)为了保护环境,2018年起国家加大 了对工厂废气污水的检查力度,并给予已经对废气污水处理的企业适当补偿.某医药企业引进 污水处理设备,经测算2019年月处理污水成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地 表示为y= 且每处理一吨污水,可得到价值为100元的可利用资 源,若污水处理不获利,国家将给予补偿. (1)当x(200,500时,企业是否需要国家补贴,什么情况下企业需要申请国家补贴? (2)每月的处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?,解析 (1)需要.当x(200,500时,设该污水处理项目获利为s元,则 s=100x- =- (x2-600x+90 000)+5 000=- (x-300)2+5 000, 当s0时,5 000 (x-300)210 000(x-300)2x200或x400, (5分) 当400x500时,企业需要申请国家补贴. (6分) (2)由题意,可知污水的每吨处理成本为 = 当x120,200时, 在x=120处取得最小值240. (9分) 当x(200,500时, = x+ -2002 -200=200( -1),当且仅当 x= ,即x =200 时取“=”,故 的最小值为200( -1). (12分) 因为200( -1)240,所以当每月的处理量为200 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低. (1 4分),12.(2019南京调研,17)销售甲种商品所得利润是P万元,它与投入资金t万元的关系有经验公式 P= ;销售乙种商品所得利润是Q万元,它与投入资金t万元的关系有经验公式Q=bt,其中a,b 为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售:若全部投入甲种商品,所得利润为 万元;若全部投入乙种商品,所得利润为1万元.若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售, 余下的投入乙种商品的销售,则所得利润总和为f(x)万元. (1)求函数f(x)的解析式; (2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品,才能使所得利润总和最大?并求最大值.,解析 (1)因为P= ,Q=bt, 所以当t=3时,P= = ,Q=3b=1. (3分) 解得a=3,b= . (5分) 所以P= ,Q= . 从而f(x)= + ,x0,3. (7分) (2)由(1)可得f(x)= + = - . (9分) 因为x0,3, 所以x+11,4, 故 + 2, (11分) 当且仅当 = ,即x=2时取等号, 从而f(x) -2= .,所以f(x)的最大值为 . 答:分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时,所得利润总和最大,最大利润是 万元. (1 4分),一、填空题(每小题5分,共40分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：45分钟 分值：70分),1.(2019七大市三模,12)如图,有一壁画,最高点A处离地面6 m,最低点B处离地面3.5 m.若从离地 面高2 m的C处观赏它,则离墙 m时,视角最大.,答案,解析 过C作AB的垂线,垂足为D,设CD=x m,x0, 则tanACD= ,tanBCD= , 所以tan =tan(ACD-BCD)= = = ,当且仅当x= ,即x= 时取等号. 故离墙 m时,视角最大.,评析 本题考查基本不等式的应用,要注意抓住条件利用角的正切求解.,2.(2019金陵中学调研,12)已知x,y为正数, + 的最大值为a+b (其中a,b为有理数),则 ab的值为 .,答案 -,解析 设m=3x+y,n=x+2y, 则m0,n0, x= (2m-n),y= (3n-m), + = + = - - 2 = - ,当且仅当m= n时取“=”, a= ,b=- , ab=- .,3.(2019南通、如皋二模,13)已知正数x,y满足3x+y+ + = ,则x- 的最小值为 .,答案 -,解析 x- =x- + - =x- +3x+y+ + - =4x+ +y+ - 2 +2 - =- ,当且 仅当x= ,y=1时取等号.,4.(2019金陵中学期中,13)已知正数a,b,c满足b2+2(a+c)b-ac=0,则 的最大值为 .,答案,解析 b2+2(a+c)b-ac=0c= , c0,a-2b0, = = = , 令t= -2(t0), 则 = = = , 当且仅当t= , 即t= 时取“=”.,导师点睛 在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.一正:关系式中,各 项均为正数;二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;三相等:含变量的 各项均相等,取得最值.,5.(2019如皋一模,13)已知正数a,b,c,d满足 + =1, + =2,则a+bcd的最小值为 .,答案 13+4,解析 a+bcd= (a+bcd)=1+2cd+ + 1+2cd+2 =1+2cd+2 , a+bcd1+2cd+2 , 又 + =222 cd6, 所以a+bcd1+2cd+2 1+26+2 =13+4 , 当且仅当a=1+2 ,b= ,c=2,d=3时取“=”. 所以a+bcd的最小值为13+4 .,6.(2019南通三县联考,13)已知实数ab0,且a+b=2,则 的最小值为 .,答案,解析 由于a+b=2,且ab0, 则0b1a2, 所以 = = = = , 令t=2a-1(1,3), 则2a=t+1, 所以 = = = = = = = = , 当且仅当t= (1t3), 即t= 时,等号成立, 因此 的最小值为 .,一题多解 a2+2ab-3b2=(a-b)(a+3b), 令 由a+b=2x+y=4, 则 = = = = (x+y)= ,当 且仅当 = ,即y= x时取“=”.,7.(2019海安期末,14)设P(x,y)为椭圆 + =1在第一象限上的点,则 + 的最小值为 .,答案 4,解析 椭圆 + =1化为 + =4, + = + + = + =4,当且仅当x=2,y=3时,取等 号.,8.(2018扬州期末,14)已知正实数x,y满足5x2+4xy-y2=1,则12x2+8xy-y2的最小值为 .,答案,解析 解法一:5x2+4xy-y2=(5x-y)(x+y)=1, 令5x-y=a,x+y=b, 则x= ,y= , 则12x2+8xy-y2= a2+ b2+ 2 + = ,当且仅当 a2= b2, 即a=3b时等号成立. 解法二:12x2+8xy-y2= =1+ , 令7+ =t,则 = , 原式=1+ =1+ =1+ =1+ 1+ = ,当且 仅当t= ,即t=9时等号成立.,二、解答题(共30分) 9.(2019淮安五校联考,17)某水库的蓄水容量为30万亿立方米.某年该水库从年初起到6月份末, 在原有蓄水量为12万亿立方米的基础上,每月再调进水库m万亿立方米水.设x表示月份,前x个 月调出去的水为p=ax2+5x(万亿立方米),且前两个月调出去的水为14万亿立方米. (1)若用f(x)(万亿立方米)表示每月水库的总蓄水量,试写出y=f(x)的函数关系式; (2)要使6个月内每月水库的水总能满足用水需求,且每月水调出后,水库中的水的剩余量不超 过水库的容量,试确定m的取值范围.,解析 (1)依题意,当x=2时,p=a22+52=14, 解得a=1,所以p=x2+5x. (2分) 故f(x)=12+mx-p=12+mx-x2-5x(1x6,且xN*).