微积分的基本公式

,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、引例,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微积分的基本公式,第五章,一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,？,！,其中,！,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数,设函数 在 上连续，,上任意一点，,存在。,记,(变上限函数),二、积分上限函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1. 若,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,原式,说明 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,例3.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,令,设 在 上连续，且 。证明,例,在 上只有一个根。,三、牛顿 莱布尼兹公式,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,根据定理 1,故,因此,得,定理2.,函数 ,则,(微积分基本公式),人物更多简介参见P77 (SCU),牛顿 (Isaac Newton, 1642-1727)，英国数学家，物理学家，微积分 的奠基人。牛顿关于微积分学的最早公开表述是在1687年出版的 巨著自然哲学之数学原理中。 莱布尼兹 (Gottfrid Wilhelm Leibniz，1646-1716)，德国数学家， 微积分的另一奠基人。牛顿-莱布尼兹公式最早出现在莱布尼兹 1677年的一篇手稿中。,例4. 计算,解:,例5. 计算正弦曲线,的面积 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 求,原式,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 求,解,由图形可知,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解:,例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶 , 其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,车到停车走了多少距离?,内容小结,则有,2. 微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼兹公式,1. 变限积分求导公式,公式 目录 上页 下页 返回 结束,作业,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,习题册,补充题,解：,1.,设,求,定积分为常数 ,设, 则,故应用积分法定此常数 .,机动 目录