逆矩阵的计算

逆矩阵的概念 矩阵可逆的条件 逆矩阵的求法,3 逆 阵,下页,关闭,矩阵之间没有定义除法，而数的运算有除法，本节相对于实数中的除法运算，引入逆矩阵的概念。,则说方阵 A 是可逆的，并把方阵 B 称为 A 的逆矩阵。,逆阵的概念,注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。,由定义即得：当B为A 的逆矩阵时，A也是B 的逆矩阵。,例如,因为AB = BA = E，所以B是A的逆矩阵，同样A 也是B 的逆矩阵。,定义7 对于n阶方阵A，如果有一个n 阶方阵B，使,AB = BA = E，,上页,下页,返回,B = A -1 。,如果方阵A是可逆的，则 A 的逆阵一定是唯一的。,这是因为：设 B、C 都是 A的逆矩阵，,则有,B = BE = B（AC）=（BA）C = EC = C，,所以 A 的逆阵是唯一的。,A的逆阵记作A -1。,即若AB = BA = E，则,例如,因为AB=BA=E，所以B是A的逆阵，即,A -1 = B,上页,下页,返回,定理1 若方阵 A 可逆，则 A 的行列式不等于 0 。 证 A 可逆，即有 A -1 ，使 AA -1 = E， 故 |A|A -1 |=|E| = 1， 所以|A| 0 。,矩阵可逆的条件,例如,易见AB=BA=E，,即A可逆。,此时|A| = 1 0。,定理1表明，可逆阵的行列式一定不等于零。这个结论反过来也成立。请看下面的定理2。,上页,下页,返回,定理2 若A的行列式不等于0 ，则A可逆，且,证 由例 9 知AA* = A*A = |A|E，,上页,下页,返回,当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非奇异阵。,B = E B =（A -1 A）B = A -1 （AB）= A -1 E = A -1 。,由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充分必要条件是 |A| 0 。,推论 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。,证,因为|A| |B| = |E| 1，,故|A| 0，,因而 A -1存在，,于是,上页,下页,返回,注：定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵。,例如,故A可逆。,需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算A的逆矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可能很大。 对于阶数高于3 的矩阵，以后将介绍用初等变换的方法来求逆矩阵。,上页,下页,返回,方阵的逆阵满足下述运算规律：,证,证,上页,下页,返回,其中 k 为正整数。,定义,上页,下页,返回,A11= 2，A21= 6，A31=4， A12=3，A22=6，A32=5， A13= 2，A23= 2，A33=2，,例9,解,经计算可得：,|A| = 2 0，知A可逆。,求方阵,上页,下页,返回,求矩阵X使满足AXB = C。,例10 设,若A-1 ，B -1 存在，则由A-1左乘AXB = C，又用B-1右乘AXB = C， 有 A-1 AXBB-1 = A-1 CB-1 ， 即 X = A-1 CB-1 。,分析：,上页,下页,返回,解,上页,下页,返回,矩阵的运算小结,一、已定义过的运算：,矩阵与矩阵的加、减法； 矩阵与数的乘积； 矩阵与矩阵的乘积； 方阵的行列式； 逆矩阵； 矩阵的转置。,上页,下页,返回,二、不允许出现的“运算”：,矩阵与数的加、减法； 矩阵与矩阵相除； 数除以矩阵。,矩阵的运算中矩阵不能出现在“分母”中。这与,行列式是根本不同的。因为行列式是“数”，当这个数不等于零时，就可以出现在分母中，因此行列式可以出现在分母中。,上页,下页,返回,三、矩阵运算中要注意的地方,以下运算都只有方阵才有： (1). 逆矩阵； (2). 方幂； (3). 矩阵的行列式。,矩阵的乘法通常没有交换律、消去律。,两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵。,用一个数去乘以矩阵与用一个数去乘以行列,即当两个矩阵的乘积为零矩阵时，不能推出其中必有一个为零矩阵。,式是不同的。,上页,下页,返回,解,又,Ex.4,上页,下页,返回,于是,上页,下页,返回,也可以直接按定义来验证这一结论。,上页,下页,返回,解,Ex.5,上页,下页,返回,解,Ex.6,上页,下页,返回,上页,下页,返回,上页,返回,设给定一个线性变换：,它的系数矩阵是一个 n 阶方阵A，,上页,下页,返回,则线性变换(7)可记为,Y = AX. (8),记,上页,下页,返回,按克拉默法则，若|A|0，则由（7）可解出,即x1 , x2 , . , xn 可用y1 ,y2 , , yn 线性表示为：,上页,下页,返回,从(8)、(10)两式分析变换所对应的方阵A与逆变换所对应的方阵B之间的关系： 将(10)代入(8)，可得,线性变换(9)称为线性变换(7)式的逆变换。,若把(9)的系数矩阵记为B，则(9)也可写成,X = BY (10),Y = A (BY ) = ( AB )Y，,可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB = E 。,Y = AX. (8),前面已得到,上页,下页