2019_20学年高中数学第3章指数函数和对数函数3.4.1对数及其运算课件北师大版必修.pptx

4.1 对数及其运算,一,二,三,四,一、对数的概念 一般地,如果a(a0,a1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作logaN=b .其中a叫作对数的底数,N叫作真数.,一,二,三,四,对数式与指数式之间的关系: (1)指数式ab=N与对数式b=logaN(a0,a1,N0)是等价的,它们表达的是a,b,N三者之间的同一种关系.但a,b,N在两个式子中的名称是不相同的(如下表):,(2)由于在指数式ab=N中,有a0,且a1,因此在对数式b=logaN中也要求a0,且a1. (3)并非所有的指数式都能直接改为对数式,如(-2)2=4不能改写为log-24=2.只有在a0,a1,N0时,才有ab=Nb=logaN.,一,二,三,四,答案:C,一,二,三,四,二、对数logaN(a0,a1)的性质 1.零和负数没有对数,即logaN中N必须大于零; 2.1的对数为0,即loga1=0; 3.底数的对数为1,即logaa=1; 4.对数恒等式:_. 【做一做2】 使对数式log5(3-x)有意义的x的取值范围是( ) A.x3 B.x0 D.x0,即x3. 答案:B,一,二,三,四,三、常用对数与自然对数 1.常用对数:以10为底的对数叫作常用对数,记作:lg N . 2.自然对数:以e为底的对数叫作自然对数, N的自然对数logeN简记作ln N . 【做一做3】 有以下三个说法: (1)lg(lg 10)=0; (2)若10=lg x,则x=10; (3)ln(ln e)=0. 其中正确的序号是 . 解析:lg(lg 10)=lg 1=0;ln(ln e)=ln 1=0,故(1),(3)正确.若10=lg x,则x=1010,故(2)错误. 答案:(1)(3),一,二,三,四,四、对数的运算性质 如果a0,a1,M0,N0,则 1.loga(MN)=logaM+logaN; 2.logaMn=nlogaM (nR); 3.loga =logaM-logaN .,正确理解、记忆、应用运算性质应注意以下几点: (1)对数的运算性质可简记为:积的对数等于对数的和,商的对数等于对数的差. (2)注意前提条件:a0,a1,M0,N0,尤其是“M,N都是正数”这一条件,否则M,N中有一个小于或等于0,就导致logaM或logaN无意义.另外还要注意,M0,N0与MN0并不等价. (3)要注意对数运算性质的逆用.,一,二,三,四,【做一做4】 下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中x,y,z0)( ),答案:D,一,二,三,四,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)因为(-2)2=4,所以log-24=2. ( ) (2)log34与log43表示的含义相同. ( ) (3)0的对数是0. ( ) (4)lg N是自然对数. ( ) (5)logaxlogay=loga(x+y). ( ) (6)loga(-3)4=4loga(-3). ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),探究一,探究二,探究三,易错辨析,对数式与指数式的互化 【例1】 完成下表指数式与对数式的转换.,解析:(1)103=1 000log101 000=3,即lg 1 000=3; (2)log39=232=9; (3)log210=x2x=10; (4)e3=xlogex=3,即ln x=3. 答案:(1)lg 1 000=3 (2)32=9 (3)2x=10 (4)ln x=3,探究一,探究二,探究三,易错辨析,对数式和指数式互化的几个注意: (1)指数式与对数式只有在满足底数大于0且不等于1时,才可以相互转化. (2)把指数式改写成对数式时,指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置,指数式的指数变为对数式中的对数,指数式中的幂值变为对数式中的真数. (3)在进行指数式与对数式的互化时,一定要保证对数式中的真数大于0. (4)注意常用对数与自然对数的表示方法.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,对数基本性质与对数恒等式的应用 【例2】 求下列各式的值:,探究一,探究二,探究三,易错辨析,1.利用对数的定义可以求对数值,这时通常是先将对数式化为指数式,再利用指数的有关运算转化为同底数的幂的形式,从而列出方程,求出结果. 2.注意特殊对数值的应用.若logaN=0,则必有N=1;若logaN=1,则必有a=N.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,对数式的化简与求值 【例3】化简下列各式:,分析:利用对数的运算法则,将所给式子转化为积、商、幂的对数.,(3)原式=2log32-(5log32-2)+3log32-3 =2log32-5log32+2+3log32-3=-1.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(1)注意对数运算法则的正用和逆用; (2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧,如化为最简形式或统一底数等. (3)对于常用对数的化简,要充分利用“lg 2+lg 5=1”“lg 2=1-lg 5”“lg 5=1-lg 2”来解题.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2 =2+1=3.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,忽视对数真数与底数的限制条件而致误 【典例】 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值. 错解:由对数的性质,可得x2+3x=x+3,解得x=1或x=-3.,1.由对数的定义可知,对数logaN的底数a0,且a1,真数N0,因此我们在解题时一定要注意这些限制条件,若忽视了这些条件,则很容易出错. 2.本例中的错解显然忽视了真数为正及对数底数的范围要求.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:因为lg x+lg y=2lg(x-2y), 所以xy=(x-2y)2, 即x2-5xy+4y2=0.所以(x-y)(x-4y)=0, 解得x=y或x=4y.因为x0,y0,x-2y0,1,2,3,4,5,6,1.对数式x=ln 2化为指数式是( ) A.xe=2 B.ex=2 C.x2=e D.2x=e 解析:x=ln 2=loge2,ex=2. 答案:B,1,2,3,4,5,6,2.下列各式中正确的是( ) A.loga6=loga2+loga4(a0,且a1) B.loga9=(loga3)2(a0,且a1) C.loga6=loga2loga3(a0,且a1) D.loga(-2)2=2loga2(a0,且a1) 解析:对于D项,loga(-2)2=loga22=2loga2,正确,其余均不对. 答案:D,1,2,3,4,5,6,3.已知b=log(a-2)(5-a),则实数a的取值范围是( ) A.a5或a2 B.2a5 C.2a3或3a5 D.3a4,答案:C,1,2,3,4,5,6