2019_20学年高中数学第3章指数函数和对数函数3.3指数函数课件北师大版必修.pptx

3 指数函数,一,二,一、指数函数的定义 函数y=ax(a0,a1)叫作指数函数,其中x是自变量. 【做一做1】 函数f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数,则实数m=( ) A.2 B.1 C.3 D.2或-1 解析:由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故选D. 答案:D,一,二,二、指数函数y=ax(a0,a1,xR)的图像和性质,一,二,一,二,【做一做2】 (1)函数y=( -1)x在R上是( ) A.增函数 B.奇函数 C.偶函数 D.减函数 (2)如图是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像,则a,b,c,d与1的大小关系是( ),A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1dc,一,二,(2)(方法一)在中底数小于1且大于零,在y轴右边,底数越小,图像越靠近x轴,故有bd1ab.故选B. 答案:(1)D (2)B,一,二,函数y=a|x|(a0,且a1)的定义域、值域、奇偶性、单调性分别如下:,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)指数函数y=mx(m0,且m1)是R上的增函数. ( ) (2)指数函数y=ax(a0,且a1)是非奇非偶函数. ( ) (3)所有的指数函数图像过定点(0,1). ( ) (4)函数y=a|x|与函数y=|ax|的图像是相同的. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,指数函数定义的理解 【例1】 (1)下列函数中,一定是指数函数的是 .(填序号),(2)若指数函数g(x)的图像经过点(-1,5),则g(2)= .,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,1.判断一个函数是否是指数函数,关键是分析该函数的解析式是否完全符合指数函数的解析式y=ax(a0,且a1),其特征是: (1)底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x; (2)指数位置是自变量x,且x的系数是1; (3)ax的系数是1. 2.确定指数函数解析式的实质是确定参数a的值,这时可通过待定系数法求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练1(1)已知指数函数图像经过点P(-1,3),则f(3)= . (2)已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a= .,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,指数型函数的定义域与值域问题 【例2】 (1)求下列函数的定义域与值域:,分析:(1)求定义域要根据函数自身的要求,找出关于x的不等式或不等式组,解此不等式或不等式组可得定义域.求值域要根据定义域,借助换元思想与指数函数的单调性求解;(2)先求出y=2x-x2的最值,再结合指数函数的单调性确定原函数的最值.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,函数y=af(x)的定义域、值域的求法 (1)函数y=af(x)的定义域即y=f(x)的定义域. (2)函数y=af(x)的值域的求法如下: 换元,令t=f(x); 求t=f(x)的定义域xD; 求t=f(x)的值域tM; 利用y=at的单调性求y=at,tM的值域.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,答案:(1)A (2)(0,1,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,指数型函数的图像问题,A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 (2)函数y=ax-1+2(a0,且a1)的图像恒过定点 . (3)方程2|x|+x=2的实根的个数为 .,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(2)(方法一)指数函数y=ax(a0,a1)的图像过定点(0,1), 函数y=ax-1+2中令x-1=0,即x=1,则y=1+2=3. 函数图像恒过定点(1,3). (方法二)函数可变形为y-2=ax-1,把y-2看作x-1的指数函数, 则当x-1=0,即x=1时,y-2=1,即y=3. 函数图像恒过定点(1,3). (方法三)由图像变换可知: 指数函数y=ax(a0,且a1)的图像过定点(0,1), y=ax-1的图像恒过定点(1,1). y=ax-1+2的图像恒过点(1,3).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(3)由2|x|+x=2,得2|x|=2-x.在同一坐标系中作出函数y=2|x|与y=2-x的图像(如图),可观察到两个函数图像有且仅有2个交点,故方程有2个实数根,应填2.,答案:(1)D (2)(1,3) (3)2,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,1.牢记指数函数y=ax(a0,a1)的图像恒过定点(0,1),分布在第一和第二象限. 2.对于形如“f(x)-g(x)=0”的等式,若讨论方程根的个数,一般将等式化归为“f(x)=g(x)”的形式,并且使等号两边的函数能方便画出图像,这样把方程根的个数问题变成了两函数图像交点个数问题.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,3.平移变换(0),如图(1)所示.,4.对称变换,如图(2)所示.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(2)如果a1,b-1,那么函数y=ax+b的图像在 ( ) A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限 (3)方程2-x2=2x的根的个数为 .,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解析:(3)根据方程的两端分别设函数f(x)=2x,g(x)=2-x2,在同一直角坐标系中画出函数f(x)=2x与g(x)=2-x2的图像,如图所示. 由图可以发现,二者仅有两个交点,方程2-x2=2x的根的个数为2. 答案:(1)B (2)B (3)2,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,指数函数单调性的应用 【例4】比较下列各组数的大小: (1)3.30.1,3.30.2;(2)0.8-0.1,0.8-0.2;(3)1.70.3,0.93.1;(4)a1.3,a2.5(a0,a1). 分析:由于(1)(2)中的底数相同,因此可直接应用指数函数的单调性进行比较,而(3)中的底数不同,指数也不同,可借助中间值来比较大小,(4)中底数相同,但范围不确定,应讨论. 解:(1)因为3.31,所以指数函数y=3.3x在R上为增函数.又因为0.1-0.2,所以0.8-0.11,0.93.10.93.1. (4)当a1时,函数y=ax在R上是增函数,此时a1.3a2.5. 故当a1时,a1.3a2.5.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,如何比较幂值的大小 若底数相同,则可根据指数函数的单调性得出结果;若底数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然后根据指数函数的单调性得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之,比较时要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,【例5】 解下列不等式.,(2)a2x+1-a-3x0(a0,且a1). 分析:本题考查利用指数函数性质解指数不等式的方法.求解时需将所给不等式化为两边均含相同底数的形式,利用指数函数的单调性转化为关于指数的不等式求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解指数方程或指数不等式要注意: 1.指数方程的类型可分为: (1)形如af(x)=ag(x)(a0,a1)的方程,化为f(x)=g(x)求解. (2)形如a2x+bax+c=0的方程,用换元法求解. 2.指数不等式的类型为:af(x)ag(x)(a0,a1): 当a1时,f(x)g(x); 当0a1时,f(x)g(x).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,指数型函数的综合应用 【典例】 设函数f(x)=kax-a-x(a0,且a1)是奇函数. (1)求k的值; (2)若f(1)0,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(x-4)0; (3)若f(1)= ,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在1,+)上的最小值为-2,求m的值. 分析:(1)根据f(x)是R上的奇函数,利用f(0)=0求k即可; (2)先利用f(1)0求得实数a的范围,再根据函数的单调性解关于x的不等式即可; (3)先利用f(1)= 求出实数a的值,再利用换元法将问题转化为二次函数的最值问题.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,1.特殊值法主要用在解选择题上,在解答题中有时也起到很重要的作用,如本例中利用奇函数在原点有意义的特殊性求解,比利用奇函数的定义求解简单. 2.对指数函数的性质要记准记牢,特别是指数函数的单调性在解题中的应用要掌握,如本例中就需要根据函数的单调性得到关于x的不等关系. 3.在解含有字母的问题时要重视分类讨论思想的应用,如本例中在求二次函数的最值时,就需要根据字母m的范围确定顶点的位置.,1,2,3,4,5,6,答案:B,7,8,1,2,3,4,5,6,答案:B,7,8,1,2,3,4,5,6,3.当a1时,函数y=ax和y=(a-1)x2的图像只可能是 ( ),解析:由a1知函数y=ax的图像过点(0,1),分布在第一象限和第二象限,且从左到右是上升的.由a1知,函数y=(a-1)x2的图像开口向上,对称轴为y轴,顶点为原点.故选项A正确. 答案:A,7,8,1,2,3,4,5,6,4.函数f(x)=a3-x+1(a0,a1)的图像恒过定点 . 答案:(3,2),7,8,1,2,3,4,5,6