数字信号处理习题.ppt

,习题,1.1序列x(n)示意如图T1-1,请用各延迟单位脉冲序列的幅度加权和表示,1.4已知人的脑电波的频率范围市045Hz，对其进行 数字处理的最大采样周期是多少？,解：脑电波的频率范围045Hz , 所以 由采样定理： 所以最大采样周期：,1.8设一连续时间信号频普包括直流,1kHz,2kHz, 和3kHz 等频率分量，它们的幅度分别为0.5:1:0.5:0.25,相位频谱为零。设对该连续信号进行采样的采样率为10kHz,画出经过采样后的离散信号频谱。包括从直流到30kHz的所有频率分量。,分析知识点：时域采样，频域周期延拓。,1.9有限频带信号f(t)的最高频率为100Hz，若对下列信号进行时域采样，求最小采样频率.,解：f(t) 的最高频率为100Hz.,(1) f(3t),(3)f(t)*f(2t),1.5一频普从直流到100Hz的连续时间信号延续2分钟，为 了进行计算机处理，需将此信号转换为离散形式，试求 最小的理想采样点数。,解：信号时域总记录时间： 信号频域频率范围：f=0100Hz 由采样定理： 所以最少采样点数：,1.10有限频带信号 ,式 中， 。 用 的冲激函数序列 进行取样. (1)画出f(t)及采样信号 在频率区间(-10kHz, 10kHz) 的频谱图。 (2)若由 恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率应如何选择。,解：,(2)若由 恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率：,1.11有限频带信号,式中,.用,的冲激函数序列,进行,取样。（请注意,(1)画出f(t)及采样信号,在频率区(-2kHz,2kHz),的频普图。,(2)若将采样信号,输入到截止频率,幅度为T的理想低通滤波器，即其频率响应为,画出滤波器的输出信号的频普，并求出输出信号y(t).,1.11解：,注幅植大小只表示各频率成分的相对大小。,1.13今对三个正弦信号,进行理想采样，采样频率为 试求三个采样输出序列，,比较这三个结果，画出 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。,1.14一个理想采样系统，如图T1-2所示，采样频率为,采样后经理想低通 还原。,今有两输入 问输出信号 有没有失真？为什么失真？,1.18判断下列系统的线性和时不变性。,解: (1)线性:,非线性,时不变性：,时不变系统。,（2）线性:,线性系统,时不变性：,时变系统,（3）线性:,时不变性：,（4）线性:,时不变性：,1.19判断下列各系统是否为: ( 1) 稳定系统；(2)因果系统；(3)线性系统。并说明理由。,解 : (1)线性 因果 稳定,1.21讨论一个输入为x(n)和输出为y(n)的系统，系统的输入输出关系由下列两个性质确定：,试问：,(1)判断该系统是否为时不变的： (2)判断该系统是否为线性的： (3)假设差粉方程保持不变，但规定y(0)植为零， ( 1)和(2)的答案是否改变?,解：判断线性时不变性可通过设输入信号： 来检验；,1.34研究一个线性时不便系统，其脉冲响应h(n)和输入x(n)分别为： （1)直接计算x(n)和h(n)的离散卷积，求输出y(n). (2)把输入和单位脉冲响应的Z变换相乘,计算乘积的Z反变换,求输出y(n).,解（1）直接卷积,（2）通过Z变换计算：,1.35求以下序列x(n)的频谱,1.38设x(n)的序列傅立叶变换为 试证明,1.39已知 的傅立叶变换如图T1-5所示，对 进行等间隔采样而得x(n),，采样周期为0.25ms,，试画出x(n)的傅立叶变换 的图形。,解：采样周期T=0.25ms 所以采样频率,1.41已知 式中 以采样频率 对 进行采样，得到采样信号 和时蜮离散信号x(n).试完成下面各题： (1)写出 的傅立叶变换表示式 ( 2)写出 和x(n)的表达式。 (3)分别求出 的傅立叶变换和x(n)序列的傅立叶 变换。,1.44一种用以滤除躁声的简单数据处理方法是移动平均。当接收到输入数据x(n)后，就将本次输入数据与其前3次的输入数据（共4个数据）进行平均。求该数据处理系统的频率响应。,解：该数据处理系统： y(n)=(1/4)x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3),1.45描述某线性时不变离散系统的差分方程为 设输入连续信号的角频率为 ，取样周期为T；已知 输入取样序列 试求该系统的 稳态响应y(n).,解：两边取Z变换得：,1.46设 是如图T1-6所示的x(n)信号的傅立叶变换，不必求出 ，试完成下列计算：,由性质可得：,1.50试作出图T1-9所示谐振器的差分方程，系统函数 零极点图，单位脉冲响应以及频响。试问该系统是IIR还是FIR系统？是递归还是非递归结构？,1.58一个线性时不变系统的单位脉冲响应是 试求这个系统对复指数 的响应。,2.3用封闭形式表达以下有限长序列的DFTx(n).,2.5若已知DFTx(n)=X(k)，求：,0mN,2.6已知序列 X(k)是x(n)的6点DFT. （1）若有限长序列y(n)的6点DFT是 求y(n). （2）若有限长序列w(n)的6点DFT等于X(k)的实部，W(k)=ReX(k),求w(n). （3 ）若有限长序列g(n)的3点DFT满足Q(k)=X(2k)，k=0,1,2.求q(n).,2,6知识点：DFT的性质,（1）圆周移位：,（2）共轭对称性：,2,11已知复有限长序列f(n)是有两个实有限长序x(n),y(n)组成f(n)=x(n)+y(n),且DFTf(n)=F(k),求X(k),Y(k)以及x(n),y(n).,解：由DFT的共轭对称性：,2.13若 和 都是长度为N点的序列， 和 分别是两个序列的N点DFT。试证明：,解：用帕斯维尔定理证明,2.14图T2-2所示为5点序列x(n), （1）计算x(n)与x(n)的线性卷积。 （2）计算x(n)与x(n)的5点圆周卷积。 （3）计算x(n)与x(n)的10点圆周卷积。 （4）为了使N点的x(n)与x(n)圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的N值为多少？,解： （略）,2.17 是长度为N点的序列， 是其序列的N点DFT。试证明：,证明（略）,2.19长度为N的序列x(n)的N点离散傅立叶变换为X(k). （1）证明：若x(n)为奇对称，即x(n)=-x(N-1-n),则X(0)=0. （2）证明：若x(n)为偶对称，即x(n)=x(N-1-n),则X(N/2)=0.,解： （1）证明：若x(n)=-x(N-1-n),2.20序列 的傅立叶变换为 已知一有限长序列y(n)除了 外均有y(n)=0,其10点离散傅立叶变换等于 在其主周期内等间隔的10点取样值。试求y(n).,2.21已知序列 今对其Z变换为X(z)在单位圆上N等分采样，采样值为 求有限长序列IDFTX(k).,解： 由频域采样定理：,2.22令x(n)表示Z变换为X(z)的无限时宽序列，而 表示长度为N的有限时宽序列，其N点离散傅立叶变换用 表示。如果X(z)和 有如下关系： 式中 试求x(n)和 之间的关系。,解：频域采样定理,2.23已知x(n)是长为N的有限长序列，X(k)=DFTx(n),现将长度扩大r倍，得长度为rN的有限长序列y(n). 试求DFTy(n)与X(k)的关系。,2.24已知x(n)是长为N的有限长序列，X(k)=DFTx(n),现将x(n)的每二点补进r-1个零值,得到一个长度rN 的有限长序列y(n). 试求DFTy(n)与X(k)的关系。,2.25频谱分析的模拟信号以8kHz被采样，计算了512个采样的DFT。试确定频谱采样之间的频率间隔，并予以证明。,解：,2.26有一调幅信号 用DFT做频谱分析，要求能分辨 的所有频率分 量，问： （1）抽样频率应为多少赫兹(Hz)? （2）抽样时间间隔应为多少秒(s)？ （ 3）抽样点数应为多少点？ （ 4）若用 频率抽样，抽样数据为512点，做 频谱分析，求X(k)=DFTx(n),512点，并粗略画出X(k)的幅频特性 标出主要点的坐标值。,第三章答案,3.1如果一台通用计算机的速度为平均每台复乘需100us，每次复加需20us，今用来计算N=1024点的DFTx(n)，问用直接运算需要多少时间，用FFT运算需要多少时？：照这样计算，FFT进行快速卷积对信号处理时，估计可以实现实时处理的信号最高频率？,解： N=1024= (1)直接计算: (2)FFT计算： (3)快速卷积：,要计算一次N点FFT（考虑已计算好存入内存），一次N点IFFT和N次复数乘法。所以，计算1024点快速卷积的时间约为：,所以：每秒种处理的采样点数（即采样速率）,由采样定理得可实时处理的信号最高频率：,应当说明:实际实现时， 还要小些。这是由于实际采样频率 ，而且在采用重叠相加法时，重叠部分要计算两次。重叠部分长度与h(n)长度有关，而且还有存取数据指令周期等。,3.4对一个连续时间信号 采样1s得到一个4096个采样点的序列： (1)若采样后没有发生频谱混叠， 的最高频率是多少？ (2)若计算采样信号的4096点DFT，DFT系数之间的频率间隔是多少Hz？ (3)假定我们仅仅对 频率范围所对应的DFT采样点感兴趣，若直接用DFT，要计算这些值需要多少次复乘？若用按时间抽取FFT则需要多少次？,解: (1)采样的采样点数即为采样速率 由采样定理： (2)频率间隔： (3),3.7若给定两个实序列 ： ,令 , 为其傅立叶变换，可以利用快速傅立叶变换类实现快速运算。试利用傅立叶变换的性质求出用 表示的 的 离散傅立叶变换。,