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函数对称性与周期性,杨少辉,知识点一：对称性的代数表达式；,1、函数 的图像关于直线 对称 当 时， ；,如： 、 等；,2、函数 的图像关于点 对称 当 时， ；,如： 等；,注意：若 有意义，则 ；,总结：若函数方程中含有 且 的系数相反，则函数 具有 对称性；若 则有对称轴；若 则有对称中心；,知识点二：简单的复合函数的奇偶性；,基本思想：转化成 的对称性来研究；,（2） 为偶函数,（1） 为奇函数,知识点三：函数对称性的一个应用；,（1）若 的图像关于 对称，且在区 间 上为增（减）函数；若 则： （ ） ；,例1、已知 满足： ，且在 上为增函数；若不等式 对 恒成立，求a的取值范围？,例2、函数 为定义在R上的减函数， 的图像关于点 对称，若实数 满足： ；点 为原点，当 时， 的取值范围 是_；,例3、已知等差数列 同时满足： （1） （2） 则 的前2011项和 = _；,知识点四：函数的周期性；,1、定义：对于定义域内的任意的 都存在 非零常数 使得 ，则称 为函 数 的一个周期，函数 为周期函数； （注意：如无特殊说明所说周期为最小正周 期；）,2、常见的周期表达式：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,总结：若已知 的一个函数方 程，且“式1”与“式2”中 的系数相同， 一般可以推出周期；,3、对称性与周期性的关系；,（1）若 关于对称轴 对称,（2）若 关于 对称,（3）若 关于 对称,例题讲解：函数的综合应用；,例1、若 是定义在R上的奇函数，且满足 ，则下列命题正确的有_； （1） ；（2） 周期为4； （3） 对称中心为 ； （4） 对称轴为 ；,（变式1）已知 是R上的偶函数， 是 奇函数，且 ，则： _；,（变式2）已知定义在R上的函数 满足： 为奇函数， 为偶函数， 则： = _； = _；,例2、已知 是定义在R上的奇函数，且满 足（1） ； （2） 在区间 上为增函数； （3） 时， 有四个 不等实根 ； 则： = _；,（变式）已知定义在R上的函数 满足： 且 ，则 在 上的所 有实跟之和为_；,例3、已知 是定义在R上的偶函数，且 ，当 时， ；若关于 的方程 在区间 恰有3个不等的实根，则a的取值
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