（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.4指数函数与对数函数课件.pptx

2.4 指数函数与对数函数,高考理数 (课标专用),考点一 指数与指数函数 1.(2019课标,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 ( ) A.abc B.acb C.cab D.bca,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 B 本题主要考查指数与指数函数、对数与对数函数等知识点;考查学生的运算求解 能力,以及数形结合思想的应用;考查的核心素养是直观想象. a=log20.220=1,c=0.20.3(0,0.20),即c(0,1),acb,故选B. 方法点拨 指数幂、对数之间比较大小,常借助指数函数、对数函数的图象,利用函数单调性 比较大小,同时,可利用0、1等中间值进行比较.,2.(2017课标,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( ) A.2x3y5z B.5z2x3y C.3y5z2x D.3y2x5z,答案 D 本题考查指数、对数的运算,指数函数及其性质,考查学生的逻辑推理能力和运算 求解能力. 解法一(特值法):令x=1,则由已知条件可得3y=2,5z=2,所以y= ,z= ,从而3y= = 2,则3y1,因为 = = , = = ,所以 ,所以 .分别作出y=( )x,y=( )x,y=( )x的图象,如图. 则3y2x5z,故选D.,解法三(作商法):由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln 2=yln 3=zln 5.由 = = 1,可得2x 3y;由 = = 1,从而只需比较 , , 的大小,构造函数f(x)= (x0且x1),则f (x)= ,当x(0,1)(1,e)时, f (x)0,所以f(x)在(0,1),(1,e)上单调递减,在 (e,+)上单调递增,又e345,所以 .因为 = ,所以 ,则3y2x 5z,故选D. 方法总结 指数式比较大小. 指数式比较大小一般要先将指数式转化为同底指数式或者是同次指数式的形式.若化为同底 指数式,则直接利用指数函数的单调性比较大小即可;若化为同次指数式,则一般要作出不同底 的指数函数图象来比较.,3.(2016课标,6,5分)已知a= ,b= ,c=2 ,则 ( ) A.bac B.abc C.bca D.cab,答案 A 因为a= = ,c=2 = ,函数y= 在(0,+)上单调递增,所以 ,即ac, 又因为函数y=4x在R上单调递增,所以 ,即ba, 所以bac,故选A. 思路分析 利用指数的运算性质得a= ,c= ,利用幂函数性质可得ac.再利用指数函数性质 比较a,b得ba,从而得结论. 方法总结 比较指数式的大小时,常利用相应函数的单调性来进行.,4.(2019课标,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x0时, f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a= .,答案 -3,解析 本题考查函数的表示和奇函数的定义;考查推理论证能力和运算求解能力;考查的核心 素养为逻辑推理和数学运算. 由x0可得-x0时, f(x)=-f(-x)=-ea(-x)=e-ax,则f(ln 2)=e-aln 2=8, -aln 2=ln 8=3ln 2,a=-3. 一题多解 由f(x)是奇函数可知f(-x)=-f(x),f(ln 2)=-f =-(- )=8,aln =ln 8=3ln 2,a =-3.,答案 C 解法一:由ab1,0bc,A错; 0ac-1,又ab0,abbc-1abac-1,即abcbac,B错; 易知y=logcx是减函数,0logcblogca,logbc-logac0,又ab10,-alogbc-blogac0,alogbcblogac,故C正确. 解法二:依题意,不妨取a=4,b=2,c= .易验证A、B、D均是错误的,只有C正确. 方法指导 本题利用特值法比较简单,注意取值时不能盲目,要选取易于比较的值.,考点二 对数与对数函数 (2016课标,8,5分)若ab1,0c1,则 ( ) A.acbc B.abcbac C.alogbcblogac D.logaclogbc,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 指数与指数函数 1.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25), c=f(2m),则a,b,c的大小关系为 ( ) A.abc B.acb C.cab D.cba,答案 C f(x)=2|x-m|-1为偶函数,m=0. a=f(lo 3)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25log230,函数f(x)=2|x|-1在(0,+)上为增函数, f(log25)f(log23)f(0),即bac,故选C.,2.(2018上海,11,5分)已知常数a0,函数f(x)= 的图象经过点P 、Q .若2p+q=36pq, 则a= .,答案 6,解析 本题主要考查指数式的运算.由已知条件知f(p)= ,f(q)=- ,所以 +, 得 =1,整理得2p+q=a2pq,又2p+q=36pq, 36pq=a2pq,又pq0, a2=36,a=6或a=-6,又a0,得a=6.,3.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a0,a1)的定义域和值域都是-1,0,则a+b= .,答案 -,解析 当a1时, f(x)在-1,0上单调递增,则 无解. 当0a1时, f(x)在-1,0上单调递减,则 解得 a+b=- .,考点二 对数与对数函数 1.(2019天津,6,5分)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.acb B.abc C.bca D.cab,答案 A 本题主要通过指数、对数大小比较来考查指数函数与对数函数的图象和性质,考 查学生逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力. 因为a=log52log0.50.5=1,c=0.50.2= ,0.50.21,所以acb,故选A. 方法技巧 比较指数、对数的大小,往往借助中间量0,1,注意结合幂函数、指数函数、对数函 数的图象和性质.,2.(2019北京,6,5分)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮 度满足m2-m1= lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的 星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 ( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1,答案 A 本题考查对数与对数函数;考查学生的数据处理能力和应用意识;考查的核心素养 是数学建模和数学运算. 依题意,m1=-26.7,m2=-1.45,所以 lg =-1.45-(-26.7)=25.25,所以lg =25.25 =10.1,所以 = 1010.1.故选A. 审题指导 星等和亮度都可以描述天体的明暗程度,本题需要求的是两个天体的亮度的比值. 题中给出了两个天体的星等及星等与亮度比值的关系,代入数据即可求解.,3.(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo ,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.abc B.bac C.cba D.cab,答案 D 本题主要考查对数的大小比较. 由已知得c=log23,log23log2e1,b=ln 2ab,故选D. 方法总结 比较对数的大小 若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数 进行分类讨论;若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;若底 数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.,4.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通 物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是(参考数据:lg 30.48) ( ) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093,答案 D 设 = =t(t0),3361=t1080,361lg 3=lg t+80,3610.48=lg t+80,lg t=173.28- 80=93.28,t=1093.28.故选D.,5.(2019上海,6,4分)已知函数f(x)的周期为1,且当 0x1时, f(x)=log2x,则f = .,答案 -1,解析 本题主要考查函数的周期及函数求值问题,以对数函数为依托,考查学生的运算求解能 力. 由已知f(x)的周期为1,当0x1时, f(x)=log2x,得f =f =log2 =-1.,C组 教师专用题组 考点一 指数与指数函数 (2015江苏,7,5分)不等式 4的解集为 . 答案 x|-1x2,解析 不等式 4可转化为 22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x2,解得-1x2,故所 求解集为x|-1x2.,考点二 对数与对数函数 1.(2015陕西,9,5分)设f(x)=ln x,0p C.p=rq,答案 C 由题意得p=ln ,q=ln ,r= (ln a+ln b)=ln =p,0 ,ln ln ,p=rq.,2.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 ( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数,答案 A 解法一:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x(-1,1), f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则f(x)是 奇函数.当x(0,1)时, f (x)= + = 0,f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A. 解法二:同解法一知f(x)是奇函数. 当x(0,1)时, f(x)=ln =ln =ln . y= (x(0,1)是增函数,y=ln x也是增函数,f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A. 解法三:同解法一知f(x)是奇函数. 任取x1,x2(0,1),且x10,(1+x2)(1-x1)0,0 1, f(x1)-f(x2)0, f(x1)f(x2),f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.,3.(2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x(-1,1).现有下列命题: f(-x)=-f(x);f =2f(x);|f(x)|2|x|. 其中的所有正确命题的序号是 ( ) A. B. C. D.,答案 A f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-ln(1+x)-ln(1-x)=-f(x),正确. f =ln -ln =ln -ln ,x(-1,1),f =2ln(1+x)-2ln(1-x)=2ln(1+x)-ln(1-x)=2f(x), 正确.当x0,1)时,|f(x)|=ln(1+x)-ln(1-x)=ln ,2|x|=2x,令g(x)=ln -2x,则g(x)= 0,g(x)在0,1)上为增函数,g(x)g(0)=0,即|f(x)|2|x|;当x(-1,0)时,|f(x)|=ln(1-x)-ln(1+x)= -ln ,2|x|=-2x,令h(x)=2x-ln ,则h(x)= 0,即|f(x)| 2|x|.当x(-1,1)时,|f(x)|2|x|,正确.,4.(2014辽宁,3,5分)已知a= ,b=log2 ,c=lo ,则 ( ) A.abc B.acb C.cab D.cba,答案 C 由指数函数及对数函数的单调性易知0lo =1,故c ab.,5.(2014福建,4,5分)若函数y=logax(a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 ( ),答案 B 由题图可知y=logax的图象过点(3,1), loga3=1,即a=3. A项,y= 在R上为减函数,错误; B项,y=x3符合; C项,y=(-x)3=-x3在R上为减函数,错误; D项,y=log3(-x)在(-,0)上为减函数,错误.,6.(2015福建,14,4分)若函数f(x)= (a0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取值 范围是 .,答案 (1,2,解析 当x2时, f(x)=-x+6, f(x)在(-,2上为减函数,f(x)4,+).当x2时,若a(0,1),则f(x) =3+logax在(2,+)上为减函数, f(x)(-,3+loga2),显然不满足题意,a1,此时f(x)在(2,+)上 为增函数, f(x)(3+loga2,+),由题意可知(3+loga2,+)4,+),则3+loga24,即loga21,1 a2.,7.(2014重庆,12,5分)函数f(x)=log2 log (2x)的最小值为 .,答案 -,解析 显然x0,f(x)=log2 lo (2x)= log2xlog2(4x2)= log2x(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2= - - ,当且仅当x= 时,取“=”,故f(x)min=- .,考点一 指数与指数函数 1.(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致 的是 ( ) A.y=sin x B.y=x3 C.y= D.y=log2x,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 B y=2x-2-x是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数. 而y=sin x不是单调递增函数,不符合题意; y= 是非奇非偶函数,不符合题意; y=log2x的定义域是(0,+),不符合题意; y=x3是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数,符合题意.故选B.,2.(2019河南安阳模拟,6)已知a= ,b= ,c=2 ,则 ( ) A.bac B.abc C.bca D.cab,答案 A a= =1 ,b= =1 ,根据指数函数的单调性得ab. a= =1 ,c=2 ,ac,bac.故选A.,3.(2019山东潍坊模拟,7)已知函数f(x)=x-4+ ,x(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)= a|x+b|的图象为 ( ),答案 A x(0,4),x+11,f(x)=x-4+ =x+1+ -52 -5=1,当且仅当x=2 时取等号,此时函数f(x)取最小值1,a=2,b=1,此时g(x)=2|x+1|= 此函数图象可以由 函数y= 的图象向左平移1个单位得到,结合指数函数的图象及选项可知A正确,故选 A.,4.(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)= (aR)的图象关于点 对称,则a= .,答案 1,解析 由已知,得f(x)+f(-x)=1,即 + =1, 整理得(a-1)22x+(a-1)2x+1=0,所以当a-1=0,即a=1时,等式成立.,5.(2019河南商丘模拟,18)已知函数f(x)=(a2-2a-2)ax是指数函数. (1)求f(x)的表达式; (2)判断F(x)=f(x)+ 的奇偶性,并加以证明; (3)解不等式:loga(1+x)loga(2-x).,解析 (1)由a2-2a-2=1,可得a=3或a=-1(舍去), f(x)=3x. (2)F(x)是偶函数.证明如下:F(x)=f(x)+ =3x+3-x,xR. F(-x)=3-x+3x=F(x), F(x)是偶函数. (3)不等式loga(1+x)1+x0, -1x , 不等式loga(1+x)loga(2-x)的解集为 .,考点二 对数与对数函数 1.(2018湖南湘潭三模,7)已知a= ,b=lo ,c=log3 ,则( ) A.bca B.abc C.cba D.bac,答案 D a= ,b=lo ,c=log3 ,0lo =1,c=log3 ac.故选D.,2.(2018山东淄博模拟,10)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln + ,对任意aR,存在b(0,+),使f(a)=g(b), 则b-a的最小值为 ( ) A.2 -1 B.e2- C.2-ln 2 D.2+ln 2,答案 D 令y=ea,则a=ln y,令y=ln + ,可得b=2 ,令h(y)=b-a,则h(y)=2 -ln y,h(y)=2 - .显然,h(y)是增函数,观察可得当y= 时,h(y)=0,故h(y)有唯一零点.故当y= 时,h(y)取得最小 值,为2 -ln =2+ln 2,故选D.,3.(2019安徽安庆二模,7)若函数f(x)=logax(a0且a1)的定义域与值域都是m,n(mn),则a的取 值范围是 ( ) A.(1,+) B.(e,+) C.(1,e) D.(1, ),答案 D f(x)=logax的定义域与值域相同, 等价于方程f(x)=logax=x有两个不等的实数解. logax=x, =x, ln a= 有两个不等实数解, 问题等价于直线y=ln a与函数y= 的图象有两个交点. 作函数y= 的图象,如图所示. 根据图象可知,当0ln a ,即1a 时,直线y=ln a与函数y= 的图象有两个交点.故选D.,4.(2017江西一模,15)若函数f(x)=loga (a0且a1)的值域为R,则实数a的取值范围是 .,答案 (0,1)(1,4,解析 函数f(x)=loga (a0且a1)的值域为R,x+ -4能取遍所有的正数, 又当x0时,x+ -42 -4,当x0时,x+ -4-2 -4, 要满足题意,需2 -40,解得a4. 故实数a的取值范围是(0,1)(1,4.,5.(2019安徽黄山模拟,18)已知函数f(x)=log2 . (1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值; (2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围; (3)若函数f(x)在区间0,1上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.,解析 (1)若函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0, 求得a=0. (2分) 当a=0时,f(x)=-x是R上的奇函数. 所以a=0为所求. (4分) (2)若函数f(x)的定义域是一切实数,则 +a0恒成立. 即a- 恒成立,由于- (-,0), (6分) 故只要a0即可. (7分) (3)由已知得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间0,1上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)= log2 . (8分) 由题设得log2(1+a)-log2 2 (11分) 故- a- . (12分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:20分钟 分值:20分 一、选择题(每题5分,共15分),1.(2018福建漳州二模,7)已知函数y=xa,y=xb,y=cx的图象如图所示,则a、b、c的大小关系为 ( ) A.abc B.cba C.cab D.bac,答案 B 由题中图象可知a1,b= ,c ,故cba.故选B.,2.(2019安徽合肥模拟,6)已知a=lo 1.2,b= ,c=1. ,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.abc B.acb C.bca D.bac,答案 B a=lo 1.21,c=1. (0,1),故acb,故选B. 解后反思 代数式比较大小需注意:同底用单调性,不同底可找中间值比较大小.,3.(2019山西阳泉模拟,12)已知函数g(x)=a-x2 与h(x)=2ln x的图象上 存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是 ( ) A. B.1,e2-2 C. D.e2-2,+),答案 B 由已知得方程a-x2=-2ln x, 即-a=2ln x-x2在 上有解. 设f(x)=2ln x-x2 ,求导得f (x)= -2x= , 令f (x)0,得 x1, f(x)在 上单调递增; 令f (x)0,得1xe, f(x)在1,e上单调递减, f(x)有最大值, f(x)最大值=f(1)=-1, f =-2- , f(e)=2-e2,且f(e)f , 方程-a=2ln x-x2在 上有解等价于2-e2-a-1. 从而a的取值范围为1,e2-2.故选B.,思路分析 由已知得方程a-x2=-2ln x,即-a=2ln x-x2在 上有解,构造函数f(x)=2ln x-x2 ,求出它的值域,得到-a的范围即可得结果. 解题关键 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围,关键是将已知转化为方程a-x2= -2ln x,即-a=2ln x-x2在 上有解.,二、填空题(每题5分,共5分) 4.(2019江西赣州模拟,14)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0mn,且f(m)=f(