极坐标方程与直角方程互化zst.ppt

曲线的极坐标方程的意义,在平面直角坐标系中，方程x=1和y=1分别表示什么几何图形？,在极坐标系中，方程=1表示什么几何图形？,3、求曲线方程的步骤。,复习回顾,1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？,2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义？,问题1：在直角坐标系中，以原点O为圆心, 1为半径的圆的方程是什么？,在直角坐标平面上,曲线可以用 x、y的二元方程f (x , y)=0来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。,知识探究,问题2：在极坐标系中，以极点O为圆心, 1为半径的圆的方程是什么？,知识探究,问题3：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？,以极点O为圆心, 1为半径的圆上任意一点极径 为1，反过来，极径为1的点都在这个圆上。因此, 以极点为圆心, 1为半径的圆可以用方程=1来表示.,在极坐标平面上, 曲线也可以用关于r、q 的二元方程f (r , q )0来表示, 这种方程称为曲线的极坐标方程。,在极坐标系中，由于点的极坐标表示不唯一，因此，在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足方程。,定义：一般地, 如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (r , q )0 ； 反之, 极坐标适合方程 f (r , q )0的点在曲线上, 那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程, 这条曲线称为这个极坐标方程的曲线.,1.曲线的极坐标方程,注意:由于点的极坐标表示不唯一，导致曲线的极坐标方程也不唯一。,如：以极点O为圆心，1为半径的圆可以用方程r =1表示，也可以用方程r =-1表示.,例1：求下列极坐标方程表示的曲线,4.已知直线的极坐标方程为 sin(+ )= ，求点A(2， )到这条直 线的距离.,【解析】直线的极坐标方程 sin(+ )= 化为直角坐标得 (sincos +cossin )= ， 即sin+cos=1,由 ，得直线的直角坐标方程为 x+y=1，即x+y -1=0. 由 ，得点A的直角坐标为 (2 , -2)，所以点A到这条直线的距离,【例1】指出下列方程所表示的曲线的形状. (1)cos(- )=2; (2)2cos2=3; (3)2-3cos+6sin-5=0; (4)= .,极坐标方程与直角坐标方程的互化,【解析】(1)原方程变形为 , 所以 , 即 , 它表示倾斜角为150，且过点(4，0)的直线. (2)原方程变形为2(cos2-sin2)=3,所以x2 -y2=3, 它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的等轴双曲线.,(3)原方程变形为 x2+y2 -3x+6y -5=0, 它 表示圆心为 , 半径为 的圆. (4)原方程变形为+sin=2, 所以 , 所以 x2+y2=4 -4y+y2, 即 x2= -4(y -1), 它表示顶点为(0 , 1), 开口向下的抛物线.,点评,这类题多采用化生为熟的方法，即常将极坐标方程化为普通方程，再进行判断.,1.(2011南通中学期末卷) 在极坐标系中，已知曲线 C1：=12sin，曲线C2： =12cos(- ). (1)求曲线C1和C2的直角坐标方程； (2)若P、Q分别是曲线C1和C2上的动点，求PQ的最大值.,【解析】(1)因为=12sin, 所以2=12sin , 所以 x2+y2 -12y=0，即曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+(y -6)2=36. 又因为=12cos(- )， 所以2=12(c