（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.3三角函数的图象与性质课件.pptx

4.3 三角函数的图象与性质,高考理数 (课标专用),考点一 三角函数的图象及其变换,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2017课标,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin ,则下面结论正确的是 ( ) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长 度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长 度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度, 得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度, 得到曲线C2,答案 D 本题主要考查学生对正(余)弦型三角函数的图象与性质的掌握和对数形结合思想 的运用,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力. 利用诱导公式可知sin =cos =cos =cos , 由y=cos x的图象得到y=cos 2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不 变;由y=cos 2x的图象得到y=cos 的图象,需将y=cos 2x的图象上的各点向左平移 个 单位长度,故选D. 方法总结 (1)三角函数图象变换: 伸缩变换:将y=sin x图象上的各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,可得到y=sin 的图象;将y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,可得到y=Asin x的图象. 平移变换:函数图象的左右平移变换遵循“左加右减”的原则,但是要注意平移量是指自变 量x的变化量;函数图象的上下平移变换遵循“上加下减”的原则. (2)解决三角函数图象变换问题时,若两函数异名,则通常利用公式sin x=cos 和cos x=sin,将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程.,2.(2016课标,14,5分)函数y=sin x- cos x的图象可由函数y=sin x+ cos x的图象至少向右平 移 个单位长度得到.,答案 ,解析 设f(x)=sin x- cos x=2sin ,g(x)=sin x+ cos x=2sin ,将g(x)的图象向右平 移(0)个单位长度后得到函数g(x-)=2sin =2sin =f(x)的图象,所以x-+ = 2k+x+ ,kZ,此时=-2k- ,kZ,当k=-1时,有最小值,为 . 方法指导 先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成同名三角函数式,再根据三角函数图 象变换遵循的“左加右减”原则求解.,考点二 三角函数的性质及其应用,1.(2019课标,9,5分)下列函数中,以 为周期且在区间 单调递增的是 ( ) A. f(x)=|cos 2x| B. f(x)=|sin 2x| C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin|x|,答案 A 本题考查三角函数的图象与性质;通过三角函数的周期性和单调性考查运算求解 能力以及数形结合思想;考查的核心素养为逻辑推理、数学运算. 对于选项A,作出f(x)=|cos 2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在 上单调递增,且最小正周期 T= ,故A正确. 对于选项B,作出f(x)=|sin 2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在 上单调递减,且最小正周期T = ,故B不正确. 对于选项C,f(x)=cos|x|=cos x,最小正周期T=2,故C不正确. 对于选项D,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3所示.显然f(x)不是周期函数,故D不正确.故选A.,图1,图2 图3,方法点拨 1.y=f(x)的图象的翻折变换: (1)y=f(x) y=f(|x|); (2)y=f(x) y=|f(x)|.,2.求三角函数的最小正周期: (1)形如y=Asin(x+),y=Acos(x+),则最小正周期T= . (2)形如y=|Asin(x+)|,y=|Acos(x+)|,则最小正周期T= .,2.(2019课标,12,5分)设函数f(x)=sin (0),已知f(x)在0,2有且仅有5个零点.下述四 个结论: f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点 f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点 f(x)在 单调递增 的取值范围是 其中所有正确结论的编号是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 本题主要考查三角函数的图象、性质及其应用,函数的零点、极值点、单调性等 知识,通过对函数f(x)=sin (0)图象的研究,考查学生将复杂图象化归为简单图象,将 陌生问题转化为熟悉问题的能力,考查了直观想象的核心素养. 令t=x+ (0),x0,2, t 且y=sin t, f(x)在0,2上有且仅有5个零点, y=sin t在 上有且仅有5个零点, 2+ 5,6), ,故正确. y=sin t在 上极值点的个数即为f(x)在0,2上极值点的个数. 由y=sin t在 上的图象(图略)可知f(x)在0,2有且仅有3个极大值点,有2个或3个极,小值点,故正确,错误. 当x 时,t , 又 , + , 0),利用整体思想将原函数转化为y=sin t来研究. 当0时,y=sin 的图象可由y=sin x的图象经过平移、伸缩变换得到,y=sin 的,增、减区间可通过讨论y=sin x的增、减区间得到.,3.(2019课标,11,5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: f(x)是偶函数 f(x)在区间 单调递增 f(x)在-,有4个零点 f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题考查函数的奇偶性、三角函数的图象与性质;考查学生的推理论证能力和运 算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理. f(x)的定义域为(-,+), f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),故f(x)是偶函数,正确; 当x 时, f(x)=sin x+sin x=2sin x单调递减,不正确; 当x0,时,sin x0, f(x)=2sin x有两个零点,当x-,0)时, f(x)=-2sin x仅有一个零点,故不 正确; 当x0时, f(x)=sin x+|sin x|,其最大值为2,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在R上的最大值为2,正 确. 综上,正确,不正确.故选C. 名师点拨 本题背景熟悉,方法常规,但对学生的知识储备要求较高.每个结论考查的侧重点各 不相同,很难通过一个性质排除所有错误结论.,4.(2018课标,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 本题主要考查三角函数的性质. f(x)=cos x-sin x= cos , 由题意得a0,故-a+ 0,导致a的范围扩大而失分.,5.(2016课标,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称 轴为 ( ) A.x= - (kZ) B.x= + (kZ) C.x= - (kZ) D.x= + (kZ),答案 B 将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到函数y=2sin = 2sin 的图象,由2x+ =k+ (kZ),可得x= + (kZ).则平移后图象的对称轴为x= + (kZ),故选B. 思路分析 先得出平移后图象对应的解析式,再利用正弦函数图象的对称轴得平移后图象的 对称轴. 易错警示 本题易犯的错误是得出平移后图象为函数y=2sin 的图象.,6.(2015课标,8,5分)函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ( ) A. ,kZ B. ,kZ C. ,kZ D. ,kZ,答案 D 不妨令0,由函数f(x)=cos(x+)的部分图象,可得函数的周期T=2 =2,由T= 得=,f(x)=cos(x+),再根据函数的图象可得 += +2k,kZ,= +2k(kZ), f(x)=cos ,由2k0,根据函数图象求出函数f(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性求得f(x)的 单调递减区间. 一题多解 由题图可知 = - =1,所以T=2.结合题图可知,在 (f(x)的一个周期)内,函数 f(x)的单调递减区间为 .由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为 ,kZ,故选D.,7.(2016课标,12,5分)已知函数f(x)=sin(x+) ,x=- 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图 象的对称轴,且f(x)在 单调,则的最大值为 ( ) A.11 B.9 C.7 D.5,答案 B 由f(x)在 上单调,得 - ,12,依题意,有 (m、n Z), 又| ,m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,=4n+1,= ,取n=2,得=9, f(x)=sin 符合题 意.当m+n=-1时,=- ,=4n+3,取n=2,得=11, f(x)=sin ,此时,当x 时,11x- , f(x)不单调,不合题意.故选B. 解后反思 本题要求的最大值,正面入手难度较大,故对取特殊值进行检验. 评析 本题考查三角函数的图象与性质,对运算能力、逻辑思维能力都有较高的要求.,8.(2017课标,14,5分)函数f(x)=sin2x+ cos x- 的最大值是 .,解析 本题主要考查三角函数的最值. 由题意可得f(x)=-cos2x+ cos x+ =- +1. x ,cos x0,1.当cos x= 时, f(x)max=1.,答案 1,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 三角函数的图象及其变换,1.(2018天津,6,5分)将函数y=sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数 ( ) A.在区间 上单调递增 B.在区间 上单调递减 C.在区间 上单调递增 D.在区间 上单调递减,答案 A 本题主要考查三角函数的图象变换及三角函数的性质. 将y=sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin = sin 2x,令2k- 2x2k+ (kZ),得k- xk+ (kZ).所以y=sin 2x的递增区间为 (kZ),当k=1时,y=sin 2x在 上单调递增,故选A. 易错警示 进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是对自变量本身而 言;还要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,则应先利用诱导公式化为同名函 数.,2.(2016北京,7,5分)将函数y=sin 图象上的点P 向左平移s(s0)个单位长度得到点P. 若P位于函数y=sin 2x的图象上,则 ( ) A.t= ,s的最小值为 B.t= ,s的最小值为 C.t= ,s的最小值为 D.t= ,s的最小值为,答案 A 点P 在函数y=sin 的图象上,t=sin = .所以P .将点P 向左平移s(s0)个单位长度得P . 因为P在函数y=sin 2x的图象上,所以sin = ,即cos 2s= ,所以2s=2k+ 或2s=2k+ (kZ),即s=k+ 或s=k+ (kZ),又s0,所以s的最小值为 .,3.(2016江苏,9,5分)定义在区间0,3上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是 .,答案 7,解析 在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间0,3上的图象(如图).由图象可 知,共有7个交点. 思路分析 解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图 象是解题的关键.,1.(2019天津,7,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有 点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期 为2,且g = ,则f = ( ) A.-2 B.- C. D.2,考点二 三角函数的性质及其应用,答案 C 本题主要考查三角函数的图象和性质,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力. f(x)=Asin(x+)为奇函数,=k,kZ,又|0,0)为奇函数,则=k(kZ);若f(x)为偶函数,则= k+ (kZ);,2.若函数f(x)=Acos(x+)(A0,0)为奇函数,则=k+ (kZ);若f(x)为偶函数,则=k(kZ).,2.(2019上海,15,5分)已知R,函数f(x)=(x-6)2sin(x),存在常数aR,使得f(x+a)为偶函数,则 的值可能为 ( ) A. B. C. D.,答案 C f(x+a)=(x+a-6)2sin(x+a),因为f(x+a)为偶函数,所以y1=(x+a-6)2与y2=sin(x+a)都 为偶函数,由于y1=x2+2(a-6)x+(a-6)2,所以可得a-6=0,即a=6,此时y2=sin(x+6)为偶函数,则6= +k(kZ),则= + (kZ),当k=1时,= ,所以的值可能为 .故选C.,3.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|.若f =2, f =0,且f(x)的 最小正周期大于2,则 ( ) A.= ,= B.= ,=- C.= ,=- D.= ,=,答案 A f =2, f =0, f(x)的最小正周期大于2, = - = ,得T=3,则= = , 又f =2sin =2,sin =1. +=2k+ ,kZ,=2k+ ,kZ. |2,可知 T= - = ,得T=3.若不注意已知条件,则容 易出现 T= ,得T=,从而造成错误.,4.(2016山东,7,5分)函数f(x)=( sin x+cos x)( cos x-sin x)的最小正周期是 ( ) A. B. C. D.2,答案 B f(x)=( sin x+cos x)( cos x-sin x)=4sin cos =2sin ,T= =,故选B. 评析 本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换,属中档题.,5.(2019北京,9,5分)函数f(x)=sin22x的最小正周期是 .,答案,解析 本题考查二倍角的余弦公式以及三角函数的最小正周期;考查学生的运算求解能力.考 查的核心素养为数学运算. 因为f(x)=sin22x,所以f(x)= (1-cos 4x),所以函数f(x)的最小正周期T= = .,6.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cos (0).若f(x)f 对任意的实数x都成立,则的最 小值为 .,答案,解析 本题主要考查三角函数的性质及其应用. f(x)f 对任意的实数x都成立,f =1, - =2k,kZ,整理得=8k+ ,kZ. 又0,当k=0时,取得最小值 . 导师点睛 由题意知函数f(x)在x= 处取得最大值,从而得出答案.,7.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,xR. (1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值; (2)求函数y= + 的值域.,解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学 素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想. (1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+), 即sin xcos +cos xsin =-sin xcos +cos xsin , 故2sin xcos =0, 所以cos =0. 又0,2),因此= 或 . (2)y= + =sin2 +sin2 = + =1-,=1- cos . 因此,函数的值域是 . 思路分析 (1)根据偶函数的定义,知f(-x+)=f(x+)恒成立,利用三角恒等变换,得出cos =0,从 而求出的值. (2)将函数解析式化简为y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式,利用三角函数的性质求值 域.,8.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2 sin xcos x(xR). (1)求f 的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.,解析 本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力. (1)由sin = ,cos =- , 得f = - -2 =2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x- sin 2x=-2sin . 所以f(x)的最小正周期是. 由正弦函数的性质得 +2k2x+ +2k,kZ, 解得 +kx +k,kZ. 所以, f(x)的单调递增区间是 (kZ).,9.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sin +sin ,其中03.已知f =0. (1)求; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左 平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在 上的最小值.,解析 本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质. (1)因为f(x)=sin +sin , 所以f(x)= sin x- cos x-cos x = sin x- cos x= = sin . 由题设知f =0,所以 - =k,kZ. 故=6k+2,kZ,又03,所以=2. (2)由(1)得f(x)= sin , 所以g(x)= sin = sin . 因为x ,所以x- ,当x- =- ,即x=- 时,g(x)取得最小值- .,C组 教师专用题组 考点一 三角函数的图象及其变换,1.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin 的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 C.向左平行移动 个单位长度 D.向右平行移动 个单位长度,答案 D y=sin 可变形为y=sin ,所以将y=sin 2x的图象向右平行移动 个单 位长度即可,故选D.,2.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移 个单位后得到函数g(x)的图 象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min= ,则= ( ) A. B. C. D.,答案 D g(x)=sin2(x-)=sin(2x-2). |f(x)|1,|g(x)|1, |f(x1)-g(x2)|2, 当且仅当f(x1)=1,g(x2)=-1或f(x1)=-1,g(x2)=1时,满足|f(x1)-g(x2)|=2. 不妨设A(x1,-1)是函数f(x)图象的一个最低点,B(x2,1)是函数g(x)图象的一个最高点,于是x1=k1+ (k1Z),x2=k2+ +(k2Z), |x1-x2| = . , |x1-x2| -. 又|x1-x2|min= , -= ,即= ,故选D. 评析 本题考查三角函数的图象与性质,对逻辑思维能力与数形结合能力要求较高,要求考生,能准确地画图并理解题意.属中等难度题.,3.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin 的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称, 则的最小正值是 .,答案,解析 根据题意设g(x)=f(x-)=sin , 则g(x)的图象关于y轴对称,g(0)=1, 即sin =1, -2+ =k+ (kZ),=- - (kZ). 当k=-1时,取最小正值,为 .,4.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+) 在某一个周期 内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:,(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的 一个对称中心为 ,求的最小值.,解析 (1)根据表中已知数据, 解得A=5,=2,=- . 数据补全如下表:,且函数表达式为f(x)=5sin . (2)由(1)知 f(x)=5sin ,得g(x)=5sin . 因为y=sin x图象的对称中心为(k,0),kZ, 所以令2x+2- =k,kZ,解得x= + -,kZ. 由于函数y=g(x)的图象关于点 中心对称, 令 + -= ,kZ,解得= - ,kZ. 由0可知,当k=1时,取得最小值 .,1.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期 ( ) A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关 C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关,考点二 三角函数的性质及其应用,答案 B f(x)=sin2x+bsin x+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c= (1-cos 2x)+c,此时f(x)的最小正周期为; 若b0,则f(x)的最小正周期为2,所以选B.,2.(2015陕西,3,5分),如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k,据此函数可知,这 段时间水深(单位:m)的最大值为 ( ) A.5 B.6 C.8 D.10,答案 C 因为函数y=3sin +k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大 值为3+5=8(m),选C.,3.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x= 时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是 ( ) A. f(2) f(-2) f(0) B. f(0) f(2) f(-2) C. f(-2) f(0) f(2) D. f(2) f(0) f(-2),答案 A 0,T= =,=2.又A0,f =-A,即sin =-1,得+ =2k+ ,k Z,即=2k+ ,kZ,又0,可取= ,则f(x)=Asin ,f(2)=Asin , f(-2)=Asin , f(0)=Asin .sin(-)=0,从而有0f(-2)f(0).故有f(2)f(-2) f(0). 评析 本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数值的大小比较.准确判断4+ 与-4+ 的范围是解题的关键.,4.(2012课标,9,5分)已知0,函数f(x)=sin 在 单调递减,则的取值范围是 ( ) A. B. C. D.(0,2,答案 A 由题意知 = - = (0), 02,又由 x得 + x+ + , 当x 时, x+ , 又当 时,y=sin 仅在 上递减, 所以 解得 ,故选A. 评析 本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的单调减区间求参数的问题.,5.(2011课标,11,5分)设函数f(x)=sin(x+)+cos(x+) 的最小正周期为,且f(-x)= f(x),则 ( ) A.f(x)在 单调递减 B.f(x)在 单调递减 C.f(x)在 单调递增 D.f(x)在 单调递增,答案 A f(x)=sin(x+)+cos(x+)= sin x+ , T= =,=2.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数, + =k+ ,kZ,即=k+ ,kZ. 又| ,= ,f(x)= sin = cos 2x,易得f(x)在 上单调递减,故选A. 错因分析 一是不知道将f(x)化成f(x)=Asin(ax+b)的形式,二是由f(x)为偶函数求时得+ =k (kZ),进而得=- 导致错选. 评析 本题考查三角公式和三角变换,考查三角函数的单调性、周期,属中等难度题.,6.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 .,答案 ; (kZ),解析 f(x)=sin2x+sin xcos x+1= + sin 2x+1= (sin 2x-cos 2x)+ = sin + .易 知最小正周期T= =.当 +2k2x- +2k(kZ),即 +kx +k(kZ)时, f(x) 单调递减,所以f(x)的单调递减区间为 (kZ).,7.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.,解析 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,- ),ab, 所以- cos x=3sin x. 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0. 于是tan x=- .又x0,所以x= . (2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,- )=3cos x- sin x=2 cos . 因为x0,所以x+ , 从而-1cos . 于是,当x+ = ,即x=0时, f(x)取到最大值3; 当x+ =,即x= 时, f(x)取到最小值-2 .,8.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)= sin cos - sin2 . (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间-,0上的最小值.,解析 (1)因为f(x)= sin x- (1-cos x) =sin - , 所以f(x)的最小正周期为2. (2)因为-x0,所以- x+ . 当x+ =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间-,0上的最小值为f =-1- .,9.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,xR. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)由已知,有 f(x)= - = - cos 2x= sin 2x- cos 2x= sin . 所以, f(x)的最小正周期T= =. (2)因为f(x)在区间 上是减函数,在区间 上是增函数, f =- , f =- , f = ,所以, f(x)在区间 上的最大值为 ,最小值为- .,10.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2 . (1)求f(x)的单调区间; (2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f =0,a=1,求ABC面积的最大值.,解析 (1)由题意知f(x)= - = - =sin 2x- . 由- +2k2x +2k,kZ,可得- +kx +k,kZ; 由 +2k2x +2k,kZ,可得 +kx +k,kZ. 所以f(x)的单调递增区间是 (kZ); 单调递减区间是 (kZ). (2)由f =sin A- =0,得sin A= , 由题意知A为锐角,所以cos A= . 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 可得1+ bc=b2+c22bc,即bc2+ ,且当b=c时等号成立.,因此 bcsin A . 所以ABC面积的最大值为 . 评析 本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,以及解三角形等基础知识和基本方法, 对运算能力有较高要求.属中等难度题.,11.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=sin -x sin x- cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论f(x)在 上的单调性.,解析 (1)f(x)=sin sin x- cos2x =cos xsin x- (1+cos 2x) = sin 2x- cos 2x- =sin - , 因此f(x)的最小正周期为,最大值为 . (2)当x 时,02x- ,从而当02x- ,即 x 时, f(x)单调递增, 当 2x- ,即 x 时, f(x)单调递减. 综上可知, f(x)在 上单调递增,在 上单调递减.,考点一 三角函数的图象及其变换 1.(2019河北衡水中学3月全国大联考,9)将曲线C1:y=2cos 上的点向右平移 个单位长 度,再将各点横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,得到曲线C2,则C2的方程为 ( ) A.y=2sin 4x B.y=2sin C.y=2sin x D.y=2sin,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 A 将曲线C1:y=2cos 上的点向右平移 个单位长度,可得y=2sin 2x的图象,再将 各点横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,可得曲线C2:y=2sin 4x,故选A.,2.(2019河南郑州一模,8)已知函数f(x)=sin(x+) 的图象相邻的两个对称中心 之间的距离为 ,若将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则函数 f(x)的一个单调递减区间为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 因为函数f(x)=sin(x+)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ,所以 = ,即 T=,所以 =,=2,得f(x)=sin(2x+),将f(x)的图象向左平移 个单位长度后,得到g(x)=sin 的图象,因为g(x)为偶函数,所以 +=k+ (kZ),解得=k+ (kZ). 又因为- ,所以= ,所以f(x)=sin . 令 +2k2x+ +2k(kZ), 解得 +kx +k(kZ). 当k=0时,得到一个单调递减区间为 . 又 ,故选B.,3.(2018广东肇庆二模,14)函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0)的部分图象如图所示,则 f 的值是 .,答案 -,解析 由图象可知A= , = - = ,即T=,又知T= ,=2,函数f(x)= sin(2x+).由 题意知f =- ,即 sin =- ,sin =-1, +=2k+ ,kZ.= 2k+ (kZ),f(x)= sin = sin .f = sin =- .,1.(2019河南部分示范性高中1月联考,10)已知函数f(x)=2sin(x+) 的图象经过 点 和 ,则函数f(x)的图象的对称轴方程可以是 ( ) A.x=- B.x=- C.x= D.x=,考点二 三角函数的性质及其应用,答案 A 由题意得, - = T,k1N,得T= (k1N),故= =4k1+2(k1N).因为0 6,k1N,所以=2,从而f =2sin =2,得 +=2k2+ (k2Z),因为| ,故= ,所以 f(x)=2sin .令2x+ = +k(kZ),得x= + (kZ),取k=-4,得x=- .,2.(2019山西3月质检,7)将函数f(x)=sin x的图象向右平移 个单位长度后得到函数y=g(x)的图 象,则函数y=f(x)g(x)的最大值为 ( ) A. B. C.1 D.,答案 A 由题可知g(x)=sin ,y=f(x)g(x)=sin sin x= sin2x- sin xcos x= = ,所以y=f(x)g(x)的最大值为 .,3.(2019湖南长沙一中第三次模拟,8)若函数f(x)=sin x-cos x(0)在 上单调递增,则 的取值不可能为 ( ) A. B. C. D.,答案 D f(x)=sin x-cos x= sin (0),令- +2kx- 2k+ ,kZ,得- + x + ,kZ.f(x)=sin x-cos x(0)在 上单调递增,令- - 且 ,得0 ,结合选项知选D.,4.(2018河北、河南重点中学第三次联考,7)若对于任意xR,都有f(x)+2f(-x)=3cos x-sin x,则函 数f(2x)图象的对称中心为 ( ) A. (kZ) B. (kZ) C. (kZ) D. (kZ),答案 D 因为f(x)+2f(-x)=3cos x-sin x,xR, 所以f(-x)+2f(x)=3cos x+sin x. 解得f(x)=cos x+sin x= sin , 所以f(2x)= sin . 令2x+ =k(kZ),得x= - (kZ). 所以f(2x)图象的对称中心为 (kZ).,5.(2019 53原创预测卷七,14)将函数y=cos -cos 的图象向右平移(0)个单位长 度后得到g(x)的图象,且g(x)的图象关于原点对称,则的最小值为 .,答案,解析 令 +x=t,则 -x= -t,所以y=cos -cos t=sin t-cos t= sin = sin , 所以g(x)= sin (0),由函数g(x)的图象关于原点对称,得g(0)= sin =0,即 -+ =k(kZ),=-k+ (kZ),0,min= .,6.(2017广州五校联考,14)设x ,则函数y= 的最大值为 .,答案,解析 因为x ,所以tan x0,y= = = = = , 当且仅当3tan x= 时等号成立,故最大值为 .,一、选择题(每题5分,共35分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：50分钟 分值：55分),1.(2019湖南长沙高三统一模拟考试,9)已知P(1,2)是函数f(x)=Asin(x+)(A0,0)图象的一个 最高点,B,C是与P相邻的两个最低点,设BPC=,若tan = ,则f(x)图象的对称中心可以是 ( ) A.(0,0) B.(1,0) C. D.,答案 D 由已知作出图形,连接BC,过P作BC的垂线,如图所示. 由题意知A=2.又BPC=,所以tan = = ,解得|BC|=6,所以T=6= ,又0,解得= .所以f(x)=2sin . 将点P(1,2)的坐标代入函数解析式,得2sin =2,解得= +2k(kZ).令k=0,得= ,所以 f(x)的解析式是f(x)=2sin .令 x+ =m(mZ),解得x=3m- (mZ).令m=1,得x= ,即f(x),图象的对称中心可以是 .故选D.,2.(2019豫南九校第四次联考,8)已知函数f(x)=Asin(x+) 的部分图象如图 所示,点 , , 在图象上,若x1,x2 ,x1x2,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)= ( ) A.3 B. C.0 D.-,答案 D 由题图可知函数f(x)的最小正周期T=2 =4,所以= ,又点 , 在函数f(x)的图象上,所以 又A0,| ,所以=- ,A=3,则f(x)=3sin .由 x1,x2 ,x1x2,f(x1)=f(x2),根据图象的对称性知x1+x2= + = ,所以f(x1+x2)=f = 3sin =- . 思路分析 先求出f(x)的解析式,进而得出函数f(x)在 上的图象关于直线x= 对称,再 由f(x1)=f(x2)可得x1+x2= ,代入f(x)的解析式即可求出f(x1+x2)的值.,3.(2019福建福州质检,10)已知函数f(x)= sin 2x-2cos2x+1,将f(x)的图象上的所有点的横坐标 缩短到原来的 ,纵坐标保持不变,再把所得图象向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图 象,若g(x1)g(x2)=9,则|x1-x2|的值可能为 ( ) A. B. C. D.,答案 B f(x)= sin 2x-(2cos2x-1)= sin 2x-cos 2x=2sin ,将函数f(x)的图象上的所有 点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,则所得图象对应的解析式为y=2sin ,再将所得 的函数图象向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=2sin +1的图象,则函数g(x)的值域为 -1,3,又g(x1)g(x2)=9,所以g(x1)=g(x2)=g(x)max=3,则|x1-x2|=nT(nN,T为g(x)的最小正周期),又T= = ,所以|x1-x2|= (nN),结合选项知选B. 误区警示 函数图象左右平移的单位长度相应加减在解析式中的x上;与函数值域有关的 问题常需要考虑三角函数的有界性,同时注意相邻两个最高点(最低点)之间的距离等于一个 周期.,4.(2019湖南郴州二模,10)已知函数f(x)=sin +cos 的最大值为M,若存在 实数m,n,使得对任意实数x总有f(m)f(x)f(n)成立,则M|m-n|的最小值为( ) A. B. C. D.,答案 B f(x)=sin +cos =sin 2 019xcos +cos 2 019xsin +cos 2 019x cos +sin 2 019xsin = (sin 2 019x+cos 2 019x)=2sin ,f(x)的最大值M=2.由 题意知f(m)为f(x)的最小值,f(n)为f(x)的最大值,|m-n|min= = ,M|m-n|的最小值为 , 故选B. 思路分析 根据题意,利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的周期性及 最值求出M|m-n|的最小值.,5.(2019河南百校联盟2月联考,10)将函数f(x)=sin 2x+ cos 2x+1的图象向右平移 个单位长 度后得到函数g(x)的图象,当a(0,1)时,方程|g(x)|=a在区间0,2上所有根的和为( ) A.6 B.8 C.10 D.12,答案 C f(x)=sin 2x+ cos 2x+1=2sin +1,将其图象向右平移 个单位长度后得到g (x)=2sin 2x+1的图象.画出函数y=|g(x)|的图象与直线y=a(0a1)如图,由图知两图象在0,2上 共有8个交点,其中交点A与D,B与C分别关于直线x= 对称,交点E与H,F与G分别关于直线x= 对称,所以xA+xD=xB+xC= ,xE+xH=xF+xG= ,故所有交点横坐标之和为10,则方程|g(x)|=a在 区间0,2上所有根的和为10.,6.(2018福建福州四校联考,8)将函数f(x)=sin x(0)的图象向右平移 个单位得到函数y=g(x) 的图象,并且函数g(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,则实数的值为 ( ) A. B. C.2 D.,答案 C 将函数f(x)=sin x(0)的图象向右平移 个单位得到函