（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第十一章计数原理11.2二项式定理课件.pptx

11.2排列、组合,高考理数 (课标专用),考点 二项式定理的应用,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2019课标,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( ) A.12 B.16 C.20 D.24,答案 A 本题考查二项式定理的应用,通过求解二项展开式中指定项的系数考查学生对公 式的运用能力,考查了数学运算的核心素养. (1+x)4的二项展开式的通项为Tk+1= xk(k=0,1,2,3,4),故(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 +2 =12.故选A. 解题关键 掌握多项式乘法的展开式,熟记二项展开式的通项是解决本题的关键.,2.(2018课标,5,5分) 的展开式中x4的系数为 ( ) A.10 B.20 C.40 D.80,答案 C 本题考查二项式定理. 的展开式的通项Tr+1= (x2)5-r(2x-1)r=2r x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22 = 40.故选C.,3.(2017课标,6,5分) (1+x)6展开式中x2的系数为 ( ) A.15 B.20 C.30 D.35,答案 C 本题考查二项展开式中的系数问题,考查学生应用二项式定理解决与展开式系数 有关问题的能力和运算求解能力. 解法一: (1+x)6=1(1+x)6+ (1+x)6,(1+x)6的展开式中的x2的系数为 =15, (1+x)6的展 开式中的x2的系数为 =15,所以所求展开式中x2的系数为15+15=30. 解法二:因为 (1+x)6= ,所以 (1+x)6展开式中x2的系数等于(1+x2)(1+x)6 展开式中x4的系数,而(1+x2)(1+x)6展开式中x4的系数为 + =30,故 (1+x)6展开式中x2的 系数为30. 解法三:因为 (1+x)6= = - ,所以 (1+x)6展开 式中x2的系数为 -2 =30,故选C. 方法总结 对于几个二项式积的展开式中的特定项系数问题,一般可以根据因式连乘的规律, 结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.,4.(2017课标,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80,答案 C 本题考查二项式定理,求特定项的系数. (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1= (2x)5-r(-y)r=(-1)r25-r x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)322 =-40, x3y2项的系数为(-1)223 =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.,5.(2015课标,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60,答案 C (x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展开式中只有 (x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为 =30, 故选C.,6.(2016课标,14,5分)(2x+ )5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案),答案 10,解析 Tr+1= (2x)5-r( )r=25-r ,令5- =3,得r=4,T5=10x3,x3的系数为10. 方法指导 利用二项展开式的通项公式求出含x3的项.,7.(2015课标,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .,答案 3,解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其展开式的所有项的系数和为f(1)=(a+1)(1+1)4=(a+1)16,展开 式中x的奇数次幂项的系数和为 f(1)-f(-1),又f(-1)=0, (a+1)16=32,a=3. 方法总结 (1)求展开式中项的系数和关键是给字母赋值,所赋的值需根据待求展开式中项的 系数和的特征来确定. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则所有项的系数和为f(1),奇次项的系数和为 f(1)-f(-1),偶次项 的系数和为 f(1)+f(-1).,1.(2015湖南,6,5分)已知 的展开式中含 的项的系数为30,则a= ( ) A. B.- C.6 D.-6,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点 二项式定理的应用,答案 D 的展开式的通项为Tr+1= ( )5-r =(-a)r . 依题意,令5-2r=3,得r=1, (-a)1 =30,a=-6,故选D.,2.(2019天津,10,5分) 的展开式中的常数项为 .,答案 28,解析 本题考查二项展开式的通项,通过对二项展开式中指定项的求解考查学生的运算能力. 二项展开式的通项公式为Tk+1= (2x)8-k =(-1)k 28-k2-3kx8-4k=(-1)k 28-4kx8-4k,令8-4k=0,得 k=2,即T3=(-1)2 20= =28,故常数项为28. 解题关键 熟记二项展开式的通项公式是求解本题的关键.,3.(2019浙江,13,6分)在二项式( +x)9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个 数是 .,答案 16 ;5,解析 本题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,通过通项公式的化简和运算确定其中 的特定项,以此考查学生数学运算的能力和核心素养,以及用方程思想解决求值问题的能力. ( +x)9展开式的通项Tr+1= ( )9-rxr= xr(r=0,1,2,9), 令r=0,得常数项T1= x0= =16 , 要使系数为有理数,则只需 Z,则r必为奇数, 满足条件的r有1,3,5,7,9,共五种, 故系数为有理数的项的个数是5. 解后反思 二项式的展开式中特定项的确定需写出其通项公式,并化简整理,根据特定项的特 点列方程确定r的值,进而可求解特定项.,4.(2018天津,10,5分)在 的展开式中,x2的系数为 .,答案,解析 本题主要考查二项展开式特定项的系数. 由题意得Tr+1= x5-r = , 令5- =2,得r=2,所以 = = . 故x2的系数为 . 方法总结 求(a+b)n的展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项Tr+1= an-rbr进行求 解.,5.(2018浙江,14,4分)二项式 的展开式的常数项是 .,答案 7,解析 本小题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算. 的展开式的通项Tk+1= x-k= ,要使Tk+1为常数,则 =0,k=2, 此时T3= =7,故展开式的常数项为7. 思路分析 (1)求出二项展开式的通项.(2)令通项中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1.,6.(2017山东,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= .,答案 4,解析 本题主要考查二项展开式. (1+3x)n的展开式的通项Tr+1= 3rxr,含有x2项的系数为 32=54,n=4.,7.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= .,答案 16;4,解析 本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力. 设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2. 则a4=b2c2+b3c1= 1222+13 2=16, a5=b3c2=1322=4.,8.(2016天津,10,5分) 的展开式中x7的系数为 .(用数字作答),答案 -56,解析 Tr+1= x16-2r(-x)-r=(-1)-r x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3 =-56.,9.(2019江苏,22,10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,n4,nN*,已知 =2a2a4. (1)求n的值; (2)设(1+ )n=a+b ,其中a,bN*,求a2-3b2的值.,解析 本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力. (1)因为(1+x)n= + x+ x2+ xn,n4, 所以a2= = ,a3= = , a4= = . 因为 =2a2a4, 所以 =2 . 解得n=5. (2)由(1)知,n=5. (1+ )n=(1+ )5 = + + ( )2+ ( )3+ ( )4+ ( )5 =a+b . 解法一:因为a,bN*,所以a= +3 +9 =76,b= +3 +9 =44, 从而a2-3b2=762-3442=-32.,解法二:(1- )5= + (- )+ (- )2+ (- )3+ (- )4+ (- )5= - + ( )2- ( )3+ ( )4- ( )5. 因为a,bN*,所以(1- )5=a-b . 因此a2-3b2=(a+b )(a-b )=(1+ )5(1- )5=(-2)5=-32.,1.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(nN+)的展开式中x2的系数为15,则n= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,C组 教师专用题组 考点 二项式定理的应用,答案 C 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 ,所以 =15,即 =15,亦即n2-n=30,解得n=6 (n=-5舍).,2.(2013课标,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的 二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m= ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 B 由题意得:a= ,b= ,所以13 =7 , = , =13, 解得m=6,经检验为原方程的解,选B. 思路分析 先表示出a,b,再利用13a=7b列方程,进而可求出m值.,3.(2013课标,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a= ( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1,答案 D 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1= xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展 开式中相应x2的系数为 ,当r=1时,相应x2的系数为 a,所以 + a=5,a=-1,故选D.,4.(2011课标,8,5分) 的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 ( ) A.-40 B.-20 C.20 D.40,答案 D 由题意,令x=1,得展开式各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2, a=1. 二项式 的展开式的通项为Tr+1= (-1)r25-rx5-2r, 展开式中的常数项为 x (-1)322x-1+ (-1)223x=-40+80=40,故选D. 错因分析 不理解展开式中各项系数的和的含义,求错a的值,或者在求二项式 展开式 的通项时忽略(-1)r造成符号错误. 评析 本题主要考查二项展开式的通项和各项系数之和,以及多项式乘法,属中等难度题.,5.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答),答案 60,解析 Tr+1= 16-r(-2x)r=(-2)r xr,令r=2, 得T3=(-2)2 x2=60x2.故x2的系数为60.,6.(2016山东,12,5分)若 的展开式中x5的系数是-80,则实数a= .,答案 -2,解析 Tr+1=a5-r ,令10- r=5,解之得r=2,所以a3 =-80,a=-2.,7.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为 .(用数字作答),答案 40,解析 (2+x)5的展开式的通项为Tr+1= 25-rxr(r=0,1,5),则x3的系数为 22=40.,8.(2015安徽,11,5分) 的展开式中x5的系数是 .(用数字填写答案),答案 35,解析 展开式的通项为Tk+1= (x3)7-kx-k= x21-4k,令21-4k=5,得k=4,则展开式中x5的系数为 =35.,9.(2015四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是 (用数字填写答案).,答案 -40,解析 Tr+1= (2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r,令5-r=2,则r=3,所以含x2的项的系数是-40.,10.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于 .(用数字作答),答案 80,解析 Tr+1= x5-r2r(r=0,1,5),令5-r=2,得r=3,所以x2的系数为 23=80.,11.(2015广东,9,5分)在( -1)4的展开式中,x的系数为 .,答案 6,解析 ( -1)4的展开式的通项为Tr+1= ( )4-r(-1)r=(-1)r ,令 =1,得r=2,从而x的系数 为 (-1)2=6.,12.(2015天津,12,5分)在 的展开式中,x2的系数为 .,答案,解析 的展开式的通项为Tr+1= x6-r = x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数 为 = .,13.(2014山东,14,5分)若 的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为 .,答案 2,解析 Tr+1= (ax2)6-r = a6-rbrx12-3r, 令12-3r=3,则r=3. a3b3=20,即ab=1. a2+b22ab=2,即a2+b2的最小值为2.,14.(2014大纲全国,13,5分) 的展开式中x2y2的系数为 .(用数字作答),答案 70,解析 Tr+1= =(-1)r ,令 得r=4. 所以展开式中x2y2的系数为(-1)4 =70.,15.(2014课标,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案),答案,解析 Tr+1= x10-rar,令10-r=7,得r=3, a3=15,即 a3=15,a3= ,a= .,16.(2014课标,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案),答案 -20,解析 由题意可知:含x2y7的项可表示为x xy7-y x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 - = - =8-28=-20. 思路分析 (x-y)(x+y)8=x(x+y)8-y(x+y)8,在x(x+y)8,y(x+y)8中利用二项展开式的通项公式分别求 出含x2y7的项,进而求解.,考点 二项式定理的应用 1.(2018山东烟台模拟,8)已知 的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为 ( ) A.5 B.40 C.20 D.10,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 B 由 的展开式的各项系数和为243,得3n=243,即n=5, = ,则Tr+1 = (x3)5-r =2r x15-4r,令15-4r=7,得r=2,展开式中x7的系数为22 =40.故选B.,2.(2018河北邯郸二模,9)在 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的 系数为 ( ) A.15 B.45 C.135 D.405,答案 C 在 中,令x为1,得各项系数和为4n,又展开式的二项式系数和为2n,各项系数 的和与二项式系数的和之比为64, =64,解得n=6,二项式的展开式的通项为Tr+1= 3r ,令6- r=3,得r=2,故展开式中x3的系数为 32=135,故选C.,3.(2019安徽蚌埠二模,6)设aR,若 与 的二项展开式中的常数项相等,则a= ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2,答案 A 的展开式的通项为Tk+1= (x2)9-k = x18-2k2kx-k= 2kx18-3k,由18-3k=0得k= 6,即常数项为T6+1= 26=8464. 的展开式的通项为Tr+1= x9-r = x9-rarx-2r= arx9-3r, 由9-3r=0得r=3,即常数项为T3+1= a3=84a3.两个二项展开式中的常数项相等,84a3=8464, a3=64,即a=4,故选A.,4.(2019江西上饶二模,7)多项式 的展开式中各项系数的和为3,则该展开式中x3 的系数是 ( ) A.-184 B.-84 C.-40 D.320,答案 A 令x=1,可得多项式 的展开式中各项系数的和为(a+1)1=3,a=2, 多项式为 = (x6-12x4+60x2-160+240x-2-192x-4+64x-6),故它的展开式中x3的 系数为2(-12)+(-160)=-184,故选A.,5.(2017豫南九校2月联考,14)已知m=2 cos dx,则二项式 的展开式中x的系数 为 .,答案 -80,解析 m=2 cos dx=-2.二项式 的展开式的通项为Tr+1= x2(5-r) =(-2)r x10-3r. 令10-3r=1,得r=3,展开式中x的系数为-80.,选择题(每题5分,共30分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：20分钟 分值：30分),1.(2018广东肇庆三模,8)已知(1-ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a= ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2,答案 A (1-ax)(1+x)5=(1-ax)(1+5x+10x2+10x3+5x4+x5),其展开式中x2的系数为10-5a=5,解得a= 1.故选A. 一题多解 展开式中含x2的项为 x2+(-ax) x=10x2-5ax2=(10-5a)x2,展开式中x2的系数为10-5a=5,a=1.,2.(2018安徽马鞍山二模,10)二项式 的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则 展开式中x的指数为整数的项的个数为 ( ) A.3 B.5 C.6 D.7,答案 D 根据 的展开式中只有第11项的二项式系数最大,得n=20, 的展开式的通项为Tr+1= ( x)20-r =( )20-r ,要使x的指数是整数,需r是3的倍 数,r=0,3,6,9,12,15,18,x的指数是整数的项共有7项.故选D. 思路分析 根据二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n的值,再利用展开式的通项求得 x的指数是整数的项数. 规律总结 (a+b)n的展开式中二项式系数最大问题的处理依据:若n为偶数,则第 项的二 项式系数最大,为 ;若n为奇数,则第 , 项的二项式系数最大,为 , .,3.(2019广东广州一模,6)(2-x3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32,则该展开式中x4的系数是 ( ) A.5 B.10 C.15 D.20,答案 A 解法一:因为(2-x3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32, 所以(2-1)(1+a)5=32,所以a=1, 因为(x+1)5的展开式的通项为Tr+1= x5-r, 所以原多项式的展开式中x4的系数是2 +(-1) =5,故选A. 解法二:因为(2-x3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32, 所以(2-1)(1+a)5=32,所以a=1, 因为(x+1)5=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1, 所以(2-x3)(x+a)5的展开式中x4的系数是25+(-1)5=5,故选A. 解后反思 本题主要考查二项式定理的应用,分析所给代数式的特点,通过给多项式的x赋值, 求展开式的系数和.,4.(2019广东湛江一模,7)(2x-3y)n(nN*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反 数,则(3x-2y)n的展开式的二项式系数之和等于 ( ) A.16 B.32 C.64 D.128,答案 A (2x-3y)n(nN*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数, 21 (-3)n-1=- 22(-3)n-2,解得n=4,则(3x-2y)4的展开式的二项式系数之和等于24=16,故选A. 失分警示 本题主要考查二项式定理的应用,注意区分二项式系数与项的系数的区别.,5.(2019湖北宜昌模拟,8)若(x-2)5-3x4=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+a4(x-3)4+a5(x-3)5,则a3= ( ) A.-70