（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列课件.pptx

6.2 等差数列,高考理数 (课标专用),1.(2019课标,9,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则 ( ) A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn= n2-2n,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 A 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生的运算求解能力;考查的核 心素养是数学运算. 设an的公差为d,依题意得,4a1+ d=0,a1+4d=5, 联立,解得a1=-3,d=2.所以an=2n-5,Sn=n2-4n.故选A. 解后反思 解数列选择题,可以用逐项检验法、排除法或赋值法等“快速”解法.本题若用逐 项检验法去验证S4和a5,就会发现无法排除错误选项.因此,还是要从通用方法入手.,2.(2018课标,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= ( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12,答案 B 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式. 设等差数列an的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=- a1,又a1=2,d=-3,a5=a1+4d= -10,故选B.,答案 C 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式以及等差数列的性质,考查学生对数 列基础知识的掌握程度和应用能力. 解法一:等差数列an中,S6= =48,则a1+a6=16=a2+a5,又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8, 得d=4,故选C. 解法二:由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组,得 即 解得 故选C. 方法总结 求解此类题时,常用Sn= 先求出a1+an的值,再结合等差数列an中“若m,n,p, qN*,m+n=p+q,则am+an=ap+aq”的性质求解数列中的基本量.,4.(2017课标,9,5分)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的 和为 ( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8,答案 A 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式. 设等差数列an的公差为d,依题意得 =a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又 a1=1,S6=61+ (-2)=-24.故选A.,5.(2016课标,3,5分)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100= ( ) A.100 B.99 C.98 D.97,答案 C 设an的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得 解得 an=a1+(n-1)d=n-2,a100=100-2=98.故选C. 思路分析 用a1,d表示S9,a10,列方程组求出a1,d,从而可求得a100.,6.(2019课标,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和,若a10,a2=3a1,则 = .,答案 4,解析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和 运算求解能力;考查了数学运算的核心素养. 设等差数列an的公差为d,a2=3a1, a2=a1+d=3a1,d=2a1, S10=10a1+ d=100a1,S5=5a1+ d=25a1, 又a10, =4.,7.(2018课标,17,12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解析 (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 等差数列的概念及运算,1.(2015重庆,2,5分)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=( ) A.-1 B.0 C.1 D.6,答案 B 设数列an的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1,a6=a4+2d=0.故选B.,2.(2019江苏,8,5分)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的 值是 .,答案 16,解析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,考查学生的运算求解能力,同时考查数 列基础知识的应用能力. 设数列an的公差为d, 则 解得a1=-5,d=2,所以S8=8(-5)+ 2=16. 一题多解 数列an是等差数列,S9= =9a5=27,a5=3,由3a2+a8=0,得3(a5-3d)+a5+3d =0,即12-6d=0,d=2, S8= =4(a4+a5)=4(a5-d+a5)=16.,3.(2019北京,10,5分)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值 为 .,答案 0;-10,解析 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式;考查函数的思想方法;通过求最值考查 学生的运算求解能力.考查的核心素养是数学运算. 设等差数列an的公差为d,a2=-3,S5=-10, 即 得 a5=a1+4d=0,Sn=na1+ d=-4n+ = (n2-9n)= - , nN*,n=4或5时,Sn取最小值,最小值为-10. 一题多解 设等差数列an的公差为d,易得S5= =5a3,S5=-10,a3=-2,又a2=-3,d=1, a5=a3+2d=0,(Sn)min=S4=S5=-10.,4.(2018北京,9,5分)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为 .,4.(2018北京,9,5分)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为 .,答案 an=6n-3,解析 本题主要考查等差数列的通项公式. 设等差数列an的公差为d,则a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5d=6+5d=36,d=6,an=a1+(n-1)d=3+6(n- 1)=6n-3.,5.(2016天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和 an+1的等比中项. (1)设cn= - ,nN*,求证:数列cn是等差数列; (2)设a1=d,Tn= (-1)k ,nN*,求证: .,证明 (1)由题意得 =anan+1,有cn= - =an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2, 所以cn是等差数列. (2)Tn=(- + )+(- + )+(- + ) =2d(a2+a4+a2n) =2d =2d2n(n+1). 所以 = = = .,1.(2015北京,6,5分)设an是等差数列.下列结论中正确的是 ( ) A.若a1+a20,则a2+a30 B.若a1+a3 D.若a10,考点二 等差数列的性质,答案 C 因为an为等差数列, 所以2a2=a1+a3. 当a2a10时,得公差d0, a30, a1+a32 , 2a22 , 即a2 ,故选C.,2.(2015广东,10,5分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .,答案 10,解析 利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8 =2a5=10.,C组 教师专用题组 考点一 等差数列的概念及运算,1.(2016浙江,6,5分)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,n N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积, 则 ( ) A.Sn是等差数列 B. 是等差数列 C.dn是等差数列 D. 是等差数列,答案 A 不妨设该锐角的顶点为C,A1CB1=,|A1C|=a,依题意,知A1、A2、An顺次排列,设 |AnAn+1|=b,|BnBn+1|=c,则|CAn|=a+(n-1)b,作AnDnCBn于Dn,则|AnDn|=a+(n-1)bsin ,于是Sn= |BnBn+1| |AnDn|= ca+(n-1)bsin = bcsin n+ (a-b)csin ,易知Sn是关于n的一次函数,所以Sn是等 差数列.故选A.,2.(2015浙江,3,5分)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则 ( ) A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS40,答案 B 由 =a3a8,得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2,整理得d(5d+3a1)=0,又d0,a1=- d,则a1d=- d20,又S4=4a1+6d=- d,dS4=- d20,故选B.,3.(2013课标,7,5分)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案 C Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+ d=na1+ , 得 由得a1= ,代入可得m=5. 思路分析 由am=Sm-Sm-1,am+1=Sm+1-Sm及d=am+1-am求得d,利用等差数列前n项和公式列方程组求解. 一题多解 数列an为等差数列,且前n项和为Sn, 数列 也为等差数列. + = ,即 + =0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.,4.(2016江苏,8,5分)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是 .,答案 20,解析 设等差数列an的公差为d,则由题设可得 解得 从而a9=a1+8d= 20.,5.(2014课标,17,12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数, (1)证明:an+2-an=; (2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.,5.(2014课标,17,12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数, (1)证明:an+2-an=; (2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.,解析 (1)证明:由题设anan+1=Sn-1,知an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=an+1. 由于an+10,所以an+2-an=. (2)存在.由a1=1,a1a2=a1-1,可得a2=-1,由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4. 故an+2-an=4,由此可得,a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)4=4n-3; a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)4=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在=4,使得an为等差数列. 思路分析 (1)已知anan+1=Sn-1,用n+1代替n得an+1an+2=Sn+1-1,两式相减得结论. (2)利用a1=1,a2=-1,a3=+1及2a2=a1+a3,得=4.进而得an+2-an=4.故数列an的奇数项和偶数项分 别组成公差为4的等差数列,分别求通项公式,进而求出an的通项公式,从而证出等差数列. 方法总结 对于含an、Sn的等式的处理,往往可转换为关于an的递推式或关于Sn的递推式;对于 存在性问题,可先探求参数的值再证明.,1.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 .,考点二 等差数列的性质,答案 5,解析 设该等差数列为an,若项数为2n-1,nN*,则有a2n-1=2 015,an=1 010, 由a1+a2n-1=2an,得a1=5. 若项数为2n,nN*,则有a2n=2 015, =1 010, 由a1+a2n=an+an+1,得a1=5.综上,a1=5.,2.(2013课标,16,5分)等差数列an的前n项和为Sn.已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 .,答案 -49,解析 由Sn=na1+ d得 解得a1=-3,d= , 则Sn=-3n+ = (n2-10n), 所以nSn= (n3-10n2),令f(x)= (x3-10x2), 则 f (x)=x2- x=x , 当x 时, f(x)递减, 当x 时, f(x)递增,又6 7, f(6)=-48, f(7)=-49,所以nSn的最小值为-49. 思路分析 用a1,d表示S10,S15,求出a1,d,进而得Sn,从而得nSn= (n3-10n2),构造函数f(x)= (x3-10x2), 利用导数研究函数单调性,从而求出nSn的最小值.,考点一 等差数列的概念及运算 1.(2019 53原创冲刺卷一,4)已知等差数列an的前n项和为Sn,S2=3,S3=6,则S2n+1= ( ) A.(2n+1)(n+1) B.(2n+1)(n-1) C.(2n-1)(n+1) D.(2n+1)(n+2),三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 A 设等差数列an的公差为d, 则2a1+d=3,3a1+3d=6, 所以a1=d=1,则an=1+(n-1)1=n. 因此S2n+1= =(2n+1)(n+1).,2.(2018河南濮阳二模,7)已知等差数列an一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项 的值为 ( ) A. B. C.1 D.,答案 D 设等差数列an的公差为d,由题意得 解得 中间一项为a5=a1+4d= +4 = .故选D.,3.(2018河南信阳二模,9)九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分 五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数 列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲得 钱 ( ) A. B. C. D.,答案 C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1,a2,a3,a4,a5,设公差为d, 由题意知a1+a2=a3+a4+a5= ,即 解得 故甲得 钱,故选C.,4.(2019福建龙岩一模,17)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=3,S6=36. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足bn=2nan,nN*,求数列bn的前n项和Tn.,解析 (1)设等差数列an的公差为d, 由a2=3,S6=36可得a1+d=3,6a1+15d=36, 解得a1=1,d=2, 则an=2n-1. (2)bn=2n(2n-1), 可得Tn=12+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n, 2Tn=122+323+524+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1, -Tn=2+222+223+224+22n-(2n-1)2n+1 =2+2 -(2n-1)2n+1=-6+2n+2-(2n-1)2n+1 =-6+2n+1(3-2n), Tn=6+(2n-3)2n+1.,1.(2018山西太原一模,5)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=9,则S9= ( ) A.3 B.9 C.18 D.27,考点二 等差数列的性质,答案 D 设等差数列an的公差为d,a2+a3+a10=9,3a1+12d=9,即a1+4d=3,a5=3,S9= =9a5=27,故选D.,2.(2018广东汕头模拟,8)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=9, - =-4,则Sn取最大值时的n 为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.4或5,答案 B 由an为等差数列,得 - =a5-a3=2d=-4,即d=-2, 由于a1=9,所以an=-2n+11,令an=-2n+11 , 所以Sn取最大值时的n为5,故选B.,3.(2019河南安阳3月联考,4)在等差数列an中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5= ( ) A.60 B.56 C.12 D.4,3.(2019河南安阳3月联考,4)在等差数列an中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5= ( ) A.60 B.56 C.12 D.4,答案 A 在等差数列an中,a2+a8=8,a2+a8=2a5=8,解得a5=4,(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60. 故选A.,4.(2019湖北宜昌一模,8)等差数列an的前n项和为Sn,若公差d0,(S8-S5)(S9-S5)|a8| D.|a7|a8|,答案 D 公差d0,S9S8,又(S8-S5)(S9-S5)0,a70,|a7|a8|,故选D.,5.(2019河南安阳一模,17)已知数列an为等差数列,an0,且满足32a3+32a11= ,数列bn满足 bn+1-2bn=0,b7=a7. (1)求数列bn的通项公式; (2)若cn=nbn,求数列cn的前n项和Sn.,解析 (1)由等差数列的性质可得:32a3+32a11= =322a70,解得a7=64. 数列bn满足bn+1-2bn=0, 可得数列bn是等比数列,公比为2. b7=a7=64,b126=64,解得b1=1. bn=2n-1. (2)cn=nbn=n2n-1, 数列cn的前n项和Sn=1+22+322+(n-1)2n-2+n2n-1, 2Sn=2+222+323+(n-1)2n-1+n2n, -Sn=1+2+22+2n-1-n2n= -n2n, 可得Sn=(n-1)2n+1.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:30分钟 分值:45分 一、选择题(每题5分,共20分),1.(2019河南濮阳二模,7)九章算术有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末 一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺,在粗的一端截下一尺, 重4斤,在细的一端截下一尺,重2斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的题设,假设金箠由粗到 细各尺质量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的质量是 ( ) A. 斤 B. 斤 C. 斤 D.3斤,答案 B 金箠由粗到细各尺构成一个等差数列,设首项a1=4,则a5=2,设公差为d,则2=4+4d,解 得d=- .a2=4- = .故选B. 解后反思 从数学文化中建立数学模型,利用数学知识解决问题是高考的热点内容.,2.(2019湖南益阳3月联考,7)已知an是等差数列,满足:nN*,an+an+1=2n,则数列an的通项an = ( ) A.n B.n-1 C.n- D.n+,答案 C 根据题意,设等差数列an的公差为d,若an满足an+an+1=2n,则an-1+an=2n-2(n2) , -可得an+1-an-1=2d=2,解得d=1. 当n=1时,有a1+a2=2,即a1+a1+d=2,解得a1= ,则an=a1+(n-1)d=n- ,故选C.,3.(2018湖南永州三模,11)已知数列an是等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,给出下列结论: a10=0;S10最小;S7=S12;S20=0. 其中一定正确的结论是( ) A. B. C. D.,答案 C a1+5a3=S8,a1+5a1+10d=8a1+28d,a1=-9d,an=a1+(n-1)d=(n-10)d,a10=0,故一 定正确.Sn=na1+ =-9nd+ = (n2-19n),S7=S12,故一定正确.显然不一定正 确,故选C. 思路分析 先由已知条件得出a1与d的关系,进而表示出an与Sn,由此进行判断. 拓展延伸 等差数列an中求前n项和Sn的最大、最小值时常用到两种方法:第一种,当a10,d0时,设 求n即可;第二种,用前n项和公式求得Sn=f(n), 借助函数图象的对称轴求解.,4.(2018安徽淮北一模,9)Sn是等差数列an的前n项和,S2 018S2 016,S2 017S2 018,则Sn0时n的最大值 是 ( ) A.2 017 B.2 018 C.4 033 D.4 034,答案 D S2 0180.S4 034= =2 017(a2 018+a2 017) 0,可知Sn0是解题的关键. 易错警示 本题中所求的是前n项和Sn0时n的最大值,注意不要与Sn最大时的n值混淆.求Sn0 时n的最大值,运用前n项和公式求解;求Sn最大时的n值一般借助通项公式联立an0与an+10求 解.,5.(2019湖北武汉外国语中学3月模拟,17)若数列an的前n项和为Sn,首项a10且2Sn= +an(n N*). (1)求数列an的通项公式; (2)若an0(nN*),令bn= ,求数列bn的前n项和Tn.,二、解答题(共25分),解析 (1)当n=1时,2S1= +a1=2a1,又a10,则a1=1, 当n2时,an=Sn-Sn-1= - , 即(an+an-1)(an-an-1-1)=0an=-an-1或an=an-1+1, an=(-1)n-1或an=n. (2)an0,an=n,bn= = , Tn= = 1+ - - = - .,6.(2019河南部分重点中学4月联考,17)已知等差数列an的公差d0,其中a3,a7是方程x2-6x-7=0 的两根,数列bn的前n项和为Sn,且满足2Sn+bn=1. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设数列cn的前n项和为Tn,且cn=anbn,若不等式Tn 对任意nN*都成立,求整数k的最小值.,解析 (1)易得方程x2-6x-7=0的两根为-1和7, 因为d0,