《数据、模型与决策_(第二版)》第十一章：概率论初步

第三篇 数据分析基础,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),第十一章 概率论初步,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),学习目的,了解概率论的性质，能分辨不确定性的类型，并培养处理随机问题的思想方法；理解随机事件的基本概念，熟练掌握其运算方法，并会计算随机事件的概率；掌握条件概率的计算方法。 明确在实际管理工作中运用概率统计的重要性，熟练掌握具体的运算方法。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),第十一章 概率论初步,11.1 概率论方法概述 11.2 随机事件的运算及其概率 11.3 条件概率及重要公式,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),11.1 概率论方法概述,11.1.1 概率论的性质 11.1.2 不确定性的类型 11.1.3 处理随机问题的思路 11.1.4 概率论的应用,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),11.1.1 概率论的性质,确定性现象 偶然现象 随机现象,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),统计规律性：对随机现象的进行大量重复观察时，随机现象出现的结果呈现出一定的规律性，称之为统计规律性。 随机事件可以是具有属性性质的 随机事件可以是具有数量性质的 概率论是研究随机现象的统计规律性的数学学科。它是一种从数量上描述偶然性、事件风险的工具。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),概率论在以下几个方面与其它数学课程不同：,研究的现象更加接近日常生活 推理方法更加接近人类的真实思维模式 根据概率统计得出的结论：一个是告诉你将要发生的结果，再一个是告诉你这个结果发生的可能性。实际上，它能够告诉你多种可能的结果以及各种结果出现的可能性,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),概率论所研究的现象具有以下性质： 在相同条件下会重复出现。 每次出现的结果具有多种可能性，且可以预期所有可能出现的结果。 不能准确预测会出现何种结果。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),11.1.2 不确定性的类型,随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象 随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),不确定性问题分为以下两种类型： 第一类：可以预期的结果有几个，但具体的结果不确定。 第二类：结果确定，但由于信息不够，而不知是什么结果。 第一类称为随机问题，第二类称为模糊问题。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),11.1.3 处理随机问题的思路,决定随机问题可能性的大小的方法： 重复试验（工程中常用）：如某商场摇奖、次品统计、抛硬币等。 逻辑推断：如100个一样大小的球，其中95个是红色的，5个是白色的，放入袋中，抽出一个，抽到白球的可能性。 主观判断：如下一个月羊毛衫市场情况。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),11.1.4 概率论的应用,工业方面 农业方面 日常生活方面,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),第十一章 概率论初步,11.1 概率论方法概述 11.2 随机事件的运算及其概率 11.3 条件概率及重要公式,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),11.2 随机事件的运算及其概率,11.2.1 随机事件及其运算 11.2.2 随机事件的概率 11.2.3 概率的基本性质,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),11.2.1 随机事件及其运算,随机事件：在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),盒子里放有编号为1，2，3，4，5的5个球。如果从盒子里任取一球，观察其编号后立即放回盒中，通常称这种取法为放回抽样；如果随机的取得一球，检验后不放回，则称这种取法为不放回抽样。现在做多次放回抽样，各次取得的球的号数不一定相同，但每次取得的球的号数是1，2，3，4，5中的一个数。 记录某查询台在上午8:009:00时接到的电话查询次数，多次做这样的试验，在该时段内的查询次数不一定相同，每次记录的查询次数是非负整数0，1，2中的一个数。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),以上试验具有如下三个特点： 试验可以在相同的条件下重复进行。 每次试验的结果不止一个，并能事先明确试验的可能结果。 试验前不能肯定哪个结果会发生。 通常把具有上述性质的试验称为随机试验，简称试验 在随机试验中，可能出现的结果，称随机事件，简称为事件，通常用大写字母A,B,C,D等表示。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),必然事件：在一定条件下必然要发生的事件，称为必然事件。 不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件，称为不可能事件。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),基本事件：不能分解的最简单的随机事件称为基本事件，称随机试验中每一可能的结果为一个样本点，用表示。 样本空间：样本点的全体组成的集合称为该随机试验的样本空间，记做。 随机试验中任何一个事件就是样本空间的子集。 基本事件是由一个样本点组成的单元集，子集与分别称为必然事件和不可能事件。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),写出例1、例2中各个随机试验的样本空间，并用其相应的基本事件表示事件：“取得的球的号数大于2”；“接到的电话查询次数大于40”。 解：例1中，每次取得的球的号数是1，2，3，4，5中的一个数，所以共有5个样本点，取得的球的号数为i这一样本点，记为i（i=1，2，3，4，5），因此样本空间为=1，2，3，4，5。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),概率论中的事件是赋予了具体含义的集合，因此，事件间的关系与运算可以按集合论中的集合间的关系与运算来处理。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),事件的包含。如果事件A的发生必然导致事件B的发生，则称事件B包含事件A，或称事件A被事件B包含，记做A B或 B A。如果A B且B A，则称事件A与事件B相等，记做A=B。 事件的和。事件A和事件B中至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的和，记A B。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),事件的积。事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积，记做A B或AB。 事件的差。事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记做AB。 事件的互不相容（互斥）。如果事件A与事件B不能同时发生，即AB=，则称事件A与事件B互不相容（或互斥）的。 事件的对立（互逆）。如果事件A与事件B满足A B=，AB=，则称事件A与事件B互为对立事件，并称事件B是事件A的对立事件（或逆事件）。同样地，也称事件A是事件B的对立事件（或逆事件），分别记做B= 和A= 。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),完备事件组： 如果n个事件A1，A2，An，满足： AiAj=（1=ij=n） A1 A2 An= 则称A1，A2，An构成一个完备事件组。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),交换律： A B=B A AB=BA 结合律： (A B) C=A (B C) (AB)C=A(BC) 分配律： (A B)C=AC BC (AB) C=(A C)(B C) 对偶律： = =,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),从一批产品中每次取出一个产品进行检验，作不放回抽样，用Ai表示事件“第i取到合格品”（i=1，2，3）。试用A1，A2，A3表示下列事件： 三次都取得合格品； 三次中至少有一次取得合格品； 三次中有两次取得合格品； 三次中最多有一次取到合格品。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),从一批灯泡中任取一个测试其使用寿命t（小时）。设事件A，B，C为：A=t|0t750。写出 ，AB，B C，A C。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),概念小结： 随机试验：试验在相同条件下可以重复进行；试验前能明确所有可能的结果；试验前不能肯定哪个结果会发生三个条件的试验。 随机事件：随机试验的结果，简称为事件。 基本事件：试验的每一个可能直接出现的结果。 样本空间：基本事件的全体形成的集合，常用表示。 必然事件：每次试验一定发生的事件，也用表示。 不可能事件：每次试验一定不发生的事件，用表示。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),11.2.2 随机事件的概率,概率的统计定义 定义1 在相同的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动，且一般说来，n越大，摆动幅度越小，则称常数p为事件A的概率，记做P(A)，即P(A)=p。 概率的古典定义 定义2（概率的古典定义） 对于古典概型试验，如样本空间所含的样本点总数为n，事件A所含的样本点个数为m，则事件A的概率为 ，即：,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),从110这10个自然数中任取一数： 求随机试验的样本空间。 设事件A为“任取的一数是偶数”，求P（A） 设事件B为“任取的一数是5的倍数”求P（B）,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),袋内装有5个白球和5个黑球，从中任取两球 设事件A为“取到的都是白球”，求P（A）。 设事件B为“恰取到一只黑球”，求P（B）。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),已知20件产品中有5件次品： 做放回抽样，每次随机地取到1件，共取三次 做不放回抽样，每次随机地取到1件，共取三次。 求取出的3件都是正品的概率。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),设有一批产品共100件，其中有5件次品，现从中任取50件，问：无次品的概率是多少？ 在上例中，恰有两件次品的概率是多少？,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),11.2.3 概率的基本性质,性质1：0P(A)1 (概率总小于1大于0)，P()=1(必然事件概率为1)，P()=0(不可能事件概率为0)。 性质2：若事件A与事件B互不相容，即AB=，则 P（AB）=P（A）+P（B）,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，其中长度和重量都合格的有85个。现从中任取1产品，记A=”产品长度合格”，B=”产品重量合格”，有： 而 =“产品的长度，重量至少有一个合格”的概率： 这是因为 ，显然不会等于 ，而是：,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),甲乙二人射击时，若A=“甲命中目标”的概率为0.5，B=“乙命中目标”的概率为0.6，AB=“甲乙都命中目标”的概率为0.3，则 =“甲乙二人至少有一人命中目标”的概率为：,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),袋中装有4个白球与3个黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率。 解： 设事件Ai为“抽取的3个球中有i个白球”（i=1，2，3），显然，A2A3=。 因为： ， 且A与B互不相容，由性质2，所求的概率为 P（A2A3）=P（A2）+P（A3）=18/35+4/35=22/35,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),性质3：如果事件A1，A2，An两两互不相容，即AiAj=（ij）则（见式11-2） P（A1A2An）=P（A1）+P（A2）+P(An) (11-2) 性质4：对任何事件A有 P（ ）=1P（A） (11-3),第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),性质5：如果A B，则 P（BA）=P（B）P（A） (11-4) 性质6：（加法公式）对于任意两个事件A，B，有（见式11-5）： P（AB）=P（A）+P（B）P（AB） (11-5),第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),盒中装有4只黑球和1只白球，每次从盒中随机的摸出1只，并换入1只黑球，连续进行。问第三次摸到黑球的概率。 某种产品的生产需经过甲、乙两道工序，若某道工序机器出故障，则产品停止生产。已知甲、乙工序机器的故障率分别为0.25和0.20，两道工序同时发生故障的概率为0.10，求产品停产的概率。 某城市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),第十一章 概率论初步,11.1 概率论方法概述 11.2 随机事件的运算及其概率 11.3 条件概率及重要公式,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),11.3 条件概率及重要公式,11.3.1 条件概率 11.3.2 全概率公式与贝叶斯公式,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),11.3.1 条件概率,条件概率 定义3 设A、B是两个随机事件，P（B）0，称（见式11-6）： (11-6) 式11-6为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),设50件产品中有3件次品，从中任意抽取2件，若已知取到的2件产品中至少有1件次品，求2件都是次品的概率。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),乘法法则 对任意两个事件A，B，若P（B）0，由条件概率公式 ，立即可得（见式11-7）： P（AB）=P（B）P（A|B） (11-7) 同样，若P（A）0，则 P（AB）=P（A）P（B|A） (11-8) 这两个公式都称为乘法公式，相应的，关于n个事件A1、A2An的乘法公式为（见式11-9）： P（A1A2An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）P（An|A1A2An）,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),事件的独立性 定义4 对事件A和B，如果 P（AB）=P（A）P（B） 则称事件A与事件B相互独立。 关于事件的相互独立有如下结论： 如果P（B）0，事件A与B相互独立的充分必要条件是：P（A|B）=P（A）。 如果事件A与B相互独立，则A与 、 与B、 与 中的每一对事件都相互独立。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),甲、乙两人向同一目标射击，已知甲的命中率为0.72，乙的命中率为0.55，求目标被击中的概率。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),定义5 设A、B、C是三个事件，如果满足等式： P（AB）=P（A）P（B） P（AC）=P（A）P（C） P（BC）=P（B）P（C） P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 则称A、B、C为相互独立的事件。,第十一章 概率论初步,数据、模型与决策 (第二版),设袋中装有4张形状相同的卡片，在这4张卡上依次标有下列各组数字：110、101、011、000，从袋中任取一张卡片，用事件Ai表示“取