ch4弯曲内力-2003《材料力学》课件

材 料 力 学,第四章 弯曲内力 Internal Forces in Bending,.弯曲的概念 在工程中常遇到这样一类等直杆，它们所承受的外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。在这些外力作用下，杆的轴线在变形后成为曲线，这种变形称为弯曲Bending。凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁Beam。梁是一类常用的构件，几乎在各类工程中都占有重要地位。,4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图,几何特点 横截面有一对称轴,与梁轴线构成纵向对称平面。 受力特点 横向外力作用在与杆件的纵向对称面（形心主惯性平面）重合或平行的平面内。 变形特点 杆件的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。,工程中最常见的梁，例如图4la、b、c中的 AB梁，其横截面都具有对称轴，同时，梁上所有的外力（或外力的合力）均作用在包含此种对称轴的同一纵向平面（通常称为纵对称面）内。,4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 .弯曲的概念,由于梁的几何、物性和外力均对称于梁的纵对称面，因此,梁变形后的轴线必定是一条在该纵对称面内的平面曲线（图42），即梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合。这种弯曲称为平面弯曲Plane bending，或更确切地称为对称弯曲。若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。对称弯曲是弯曲问题中最简单和最常见的情况，在下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。至于非对称弯曲问题，则将在第七章中介绍。本章则为弯曲问题的计算提供基础。,4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 .梁的计算简图,由于这里所研究的主要是等截面的直梁，而且外力为作用在梁纵对称面内的平面力系。因此，在梁的计算简图中就用梁的轴线代表梁。梁计算简图中对支座简化的关键，在于分析支座对梁在荷载平面内的约束情况。 梁的支座，按其对梁的约束情况，可以简化为以下三种基本形式:,1固定端fixed end、built-in 固定端支座使梁的端截面既不能移动,也不能转动。故它对梁的端截面有三个约束，对应有三个支反力，即水平支反力H，铅垂支反力R和矩为MR的支反力偶。,2固定铰支座fixed hinged support 固定铰支座限制 梁在支座处的截面沿水平方向和铅垂方向移动，但并不限制梁绕铰中心转动。故其对梁在支座处的截面有两个约束，相应有两个支反力，即水平支反力H和铅垂支反力R。,3可动铰支座movable hinged support 可动铰支座只限制 梁在支座处的截面沿垂直于支承面方向移动。故它对梁在支座处的截面仅有一个约束，相应地也只有一个支反力，即垂直于支承面的支反力R。 梁的实际支座通常可简化为上述三种基本形式。,4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 .梁的计算简图,应当注意,梁实际支座的简化,主要是根据每个支座对梁的约束情况来确定的。但是,支座的简化往往与对计算的精度要求,或与所有支座对整个梁的约束情况有关。例如,图44a所示的插入砖墙内的过梁,由于插入端较短,因而梁端在墙内有微小转动的可能；此外,当梁有可能发生水平移动时,其一端与砖墙接触后,砖墙就限制了梁的水平移动。因此这两个支座中的一个应简化为固定铰支座,而另一个则简化为可动铰支座(图44b)。图41b中的车辆轴的支座也具有类似的情况。,4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 .梁的计算简图,从以上的分析可知，如果梁具有一个固定端，或在梁的两个截面处分别有一个固定铰支座和一个可动铰支座，则其三个支反力可由平面力系的三个平衡方程求出。这种梁称为静定梁statically determinate beam。图4-5a、b、c所示是工程上常用到的三种基本形式的静定梁，分别称为悬臂梁Cantilever beam 、简支梁Simple beam和外伸梁Simple beam with overhang。,有时为了工程上的需要，对一个梁设置较多的支座，因而梁的支反力数目多于平衡方程的数目，此时若只用平衡方程就无法确定其所有的支反力。这种梁称为超静定梁statically indeterminate beam。,梁在两支座间的部分称为跨span，其长度则称为梁的跨长(跨度span)。常见的静定梁大多是单跨的。 根据梁的计算简图就可以按平衡方程求得静定梁的支反力。作用在梁上的荷载一般是作用线垂直于梁轴线的平面平行力系，在此情况下，水平支反力H应等于零。于是，静定梁的支反力将仅有两个，可以通过平面平行力系的两个平衡方程来确定。,4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 .梁的计算简图,q,P,ql/2,3l/4,解:在竖直荷载作用下，梁固定端的支反力有两个，即矩为mA的支反力偶和铅垂支反力RA。设mA和RA的转向和指向如图b所示。,解得:,所得结果为正，表示原假设的支反力和支反力偶的指向和转向正确。,为了校核计算结果，可将所得的RA 和mA与梁上的荷载一起对B点取矩得到:,这一平衡方程能得到满足，因而计算结果是正确的。,例题41计算图a所示悬臂梁的支反力。,代替，合力的作用线通过均布荷载图形面积的形心，即到固定端的距离为3l/4。由平衡方程:,将梁上的均布荷载以其合力ql/2,即,4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 .梁的计算简图,例题42 求图a所示多跨静定梁的支反力。 解：若把梁的AC段移去，则CB段就会坍下来。因此，AC段是该组合梁的基本梁或称为主梁；CB段则称为副梁。,求支反力时，先将中间铰c拆开（图b），并通过平衡方程求出副梁CB的支反力。然后，再将副梁CB的两个支反力XC、YC反向。并分别加在主梁AC的C点处，求出主梁AC的支反力。 （1）研究CB梁，由平衡方程,（2）研究AC梁，由平衡方程,上面所分析的左段梁在横截面m m上的剪力和弯矩，实际上是右段梁对左段梁的作用。根据作用与反作用原理可知，右段梁在同一横截面mm上的剪力和弯矩，在数值上应该分别与以上两式所表达的剪力和弯矩相等，但右段梁上剪力的指向和弯矩的转向则与图b中所示相反(图c)。,4-2 梁的剪力和弯矩 Shear Force and Bending Moment in Beam,为了计算梁的应力和位移，首先应该确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。当作用在梁上的全部外力（包括荷载和支反力）均为已知时，用截面法即可根据这些已知的外力求出内力。,同样应联系变形来定义剪力Q和弯矩M的正负。如图,规定:,(受拉),(受拉),正剪力使微梁段产生左上右下的相对错动时（Q0）。,正弯矩使微梁段产生上凹下凸的变形（M 0）。,4-2 梁的剪力和弯矩 Shear Force and Bending Moment in Beam,例题4-3:图a为图4-1a所示梁的计算简图。已知P1、P2，且P2P1，尺寸a、b、l、c和d亦均为已知。试求梁在E、F点处横截面上的剪力和弯矩。 解:1, 求支反力RA和RB。,2,用截面法计算各指定横截面上的剪力和弯矩。(当计算E点处横截面上的剪力QE和弯矩ME时，将梁沿此横截面假想地截开，并可研究左段梁(图b)。),4-2 梁的剪力和弯矩 Shear Force and Bending Moment in Beam,例题4-4图a所示的简支梁受线性变化的分布荷载作用，最大荷载集度为q0。试计算梁在C点处横截面上的剪力和弯矩。,解:首先应求出支反力RA和RB(图a),显然,所得到的RA和RB与梁上荷载的合力一起能满足 SY=0 这一平衡方程，故计算结果是正确的。,用截面法求C点处横截面上的剪力QC和弯矩MC时，取截面左边一段梁来计算较为简单。,4-2 梁的剪力和弯矩 Shear Force and Bending Moment in Beam,例4-5 如图a所示，一根在整个长度上受线性分布荷载作用的悬臂梁。巳知最大荷载集度q0=20kN/m,梁长l=2m, a=1m。试求C、B两点处 横截面上的剪力和弯矩。,解:对于悬臂梁,当求横截面上的内力时,如取截面一边包括自由端在内的梁段来计算,则不必求出支反力。,先计算C点处横截面上的剪力QC和弯矩MC。,4-2 梁的剪力和弯矩 Shear Force and Bending Moment in Beam,和 MD=RA(c-a)-P1c=-Pa=-600.23=13.8kNm,例4-6 前面图4-1b中车辆轴的计算简图如图所示。 巳知:P1=P2=P=60kN, a=230mm,b=100mm和c=1000mm。试求C、D点处横截面上的剪力和弯矩。,解:利用荷载及铅垂方向约束的对称性,可求得梁的支反力RA、RB(见图)为:,RA=RB=60kN,先计算C点处横截面上的剪力QC和弯矩MC。由于P1力在此截面左侧而且向下作用,故从上述方法可知:,QC=-P1=-60kN,和 MC=-P1b=-600.1=-6.0kNm,再计算D点处横截面上的剪力QD和弯矩MD。由于在此截面左侧的两外力P1、RA分别是向下和向上的，故:,QD=RA-P1=60-60=0,（2）从对弯矩的运算可知，横截面上的弯矩在数值上等于此截面的左侧或右侧梁段上的外力对该截面形心的力矩之代数和。按对弯矩正负号的规定可知，不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值弯矩，而向下的则引起负值弯矩。对于在截面左侧梁段上的外力偶，应该是顺时针转向的引起正值弯矩，逆时针转向的引起负值弯矩;至于在截面右侧梁段上的外力偶则与其相反。,作业: 4-1(c),(f),(i),4-2 梁的剪力和弯矩 Shear Force and Bending Moment in Beam,在上面几个例题中，计算某一横截面上的剪力和弯矩应用了截面法。通过计算可以看出，一般并不必将梁假想地截开，而可直接从横截面的任意一侧梁上的外力来求得该截面上的剪力和弯矩:,（1）从上面对剪力的运算可知，横截面上的剪力在数值上等于此截面的左侧或右侧梁段上外力的代数和。根据对剪力正负号的规定得知，在左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值剪力，反之，则引起负值剪力。,4-3(1)剪力方程和弯矩方程 Shear Function and Bending Moment Function,一般来说，梁上的Q，M随横截面的位置变化。若我们用梁轴线为横坐标，适当选取梁的一端为坐标原点(建议始终以左端为原点)。则梁上任一横截面可用其形心位置x表示。故梁上的Q，M 随横截面位置x的变化规律可表示为:,Q=Q(x),剪力函数Shear Function(工程上习惯叫剪力方程Shear Equation),M=M(x),弯矩函数Bending Moment Function(工程上习惯叫弯矩方程Bending Moment Equation),4-3(2)剪力图和弯矩图 Shear (Force)Diagram and Bending Moment Diagram,为了表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化情况，可仿照轴力图或扭矩图的作法，绘出剪力图和弯矩图，即按选定的比例尺，以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，以截面沿梁轴线的位置为横坐标绘出表示Q(x)或M(x)的图线。绘图时将正值的剪力画在x轴的上侧;至于正值的弯矩则画在梁的受拉侧，也就是画在x轴的下侧。,绘制剪力图和弯矩图的最基本方法是: 首先分别写出梁的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们来作图。这也就是数学中作函数y=(x)的图形所用的方法。,应用剪力图和弯矩图可以确定梁的剪力和弯矩的最大值，以及其所在的截面位置。此外，在计算梁的位移时，也要利用弯矩方程或弯矩图。所以它们是梁的强度计算和刚度计算的重要依据。,4-3剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,Q(x)= P (0xl),由图可见，在固定端处左侧横截面上的弯矩值最大，Mmax=Pl(负值)。,应当注意的是，弯矩的正负表示弯曲变形的方向(向下凸还是向上凸)，剪力的正负表示剪切的方向。,M(x)=P x (0xl),4-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,Qmax= ql 和 Mmax= ql2/2（负值）。,Q(x)=qx (0xl),M(x)=qxx/2 =qx2/2 (0xl),由式可知,剪力图为一倾斜直线。只需确定其上两点即可作出Q图。,弯矩图为二次抛物线,至少需确定其上的三个点才即可作出M图。,由图可见,在固定端处右侧横截面上的剪力和弯矩值均系最大。分别为 :,4-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,解: 对称 RA=RB=ql/2,故 Q(x)= RAqx ql/2qx (0xl),M(x)= RAxqxx/2 = q(lxx2)/2 (0x l),由图可见,此梁在梁跨中点横截面上的弯矩值为最大,Mmax=ql2/8,且此截面上Q=0。,而两支座内侧横截面上的剪力值为最大,Qmax=ql/2(正值,负值)。,4-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,解:由SmB=0 得: RA=Pb/l 又由SmA=0 得: RB=Pa/l,对AC段,有: Q(x)= RAPb/l (0xa),M(x)= RAx = Pbx/l (0x a),对CB段,有: Q(x)= RA- PPb/l - P - P(l-b)/l- Pa/l (axl),M(x)= RAx - P(x-a) = Pbx/l - P(x-a) = Pa(l-x)/l (ax l),由图可见,在ba的情况下,在AC段梁的任一横截面上剪力值为最大。,可见在集中荷载作用处的横截面上弯矩值为最大;在集中荷载作用处左、右两侧截面上的剪力值有突变。,4-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,Mmax=mb/l(负值);在集中力偶作用处左、右两侧截面上的弯矩值有突变。,解:由SmB=0 得: RA=m/l 又由SmA=0 得: RB=- m/l,故: Q(x)= RAm/l (0xl),对AC段,有: M(x)= RAx = mx/l (0x a),对CB段,有: M(x)= RAx - mmx/l - m = - m(l- x)/l (ax l),由图可见,此简支梁的剪力沿梁长不变,为Q=m/l 。,在ba的情况下,集中力偶m作用处的右侧横截面上弯矩值最大。,与此相仿,由于集中力偶实际上也是一种简化的结果,所以按其实际分布情况绘出的弯矩图,在集中力偶作用处长度为Dx的一段梁上也是连续变化的。 (3)全梁的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处;全梁的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Q=0的截面处。 以后在作剪力图和弯矩图时，可以参考上述带有规律性的结论。,由以上各例题所求得的剪力图和弯矩图,可以归纳出以下几条规律: (1)在梁上外力不连续处(即在集中力、集中力偶作用处和分布荷载开始或结束处),梁的弯矩方程和弯矩图应该分段。对于剪力方程和剪力图,除去集中力偶作用处以外,也应分段列出或绘制。 (2)在梁上集中力作用处,左、右两侧横截面上的剪力数值有骤然的变化,两者的代数差即等于此集中力的值。因此,在剪力图上相应于集中力作用处有一个突变,而在弯矩图上的相应位置则形成一个尖角。与此相仿,梁上受集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩数值也有骤然的变化,两者的代数差即等于此集中力偶矩的值。于是,在弯矩图上相应于力偶作用处也有一个突变,但在剪力图上的相应位置并无变化。至于在剪力图和弯矩图上的这种突变,从表面上看，在集中力和力偶作用处的横截面上,剪力和弯矩似无定值。但事实并非如此。集中力实际上是作用在很短的一段梁(其长为Dx)上的分布力的简化,若将此分布力看作是在长为Dx的范围内均匀分布的(图4-8a),则在此段梁上实际的剪力图将是按直线规律连续变化的(图4-8b)。,4-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,分段原则：(1)集中力(包括支反力)作用点； (2)分布荷载的起讫点； (3)集中力偶作用点； (4)梁的端点。,4-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,发生在移动荷载作用于此简支梁的中点时!,工程中有时还会遇到需求梁在移动荷载作用下荷载的最不利位置,即确定梁内最大弯矩达到极大值时荷载的位置等问题。现举例说明如下:,例题 一简支梁受移动荷载P的作用如图a所示。试求梁上的最大弯矩和最大剪力。,解:(1)最大剪力:,发生在移动荷载作用于支座附近时!,(2)最大弯矩:,思考题:试分析本题与例题4-10的异同。,4-4 载荷、剪力、弯矩之间的重要关系 Improtant Relationships of Load、Shear and Bending Moment,因为dx0所以可以认为q(x)在dx微段内均布。,分布荷载q(x)、剪力Q(x)和弯矩M(x)之间的微分关系 Differential Relationships between Distributed load q(x) 、Shear Force Q(x) and Bending Moment M(x),如图，微元平衡条件为: Sy =0: Q+qdx-(Q+dQ)=0,SmC=0:,即:,略去高阶微量，得:,4-4 Improtant Relationships of Load、Shear and Bending Moment,因此,(向上的)集中力F引起剪力的突变,增值(从左到右)为集中力的大小。集中力作用处弯矩连续。但由于Q的突变,由 知M图将有尖角产生(在集中力的作用处)。,m M- M+ 0 Q- Q+ d d,(2)集中力F的影响 Concentrated Force Effect,由微元平衡易得:,(3)集中力偶M的影响 Concentrated Couple Effect:,与(2)类似,有:,4-4 Improtant Relationships of Load、Shear and Bending Moment,(4)载荷F、剪力Q、弯矩M之间的平衡关系 Equilibrium Relationships between Load、Shear and Bending Moment 由截面法易得:,4-4 Improtant Relationships of Load、Shear and Bending Moment,(5)载荷q(x)、剪力Q(x) 、弯矩M(x)之间的积分关系 Integral Relationships of Load、Shear and Bending Moment,其中的面积可正,可负,可为0。,4-4 Improtant Relationships of Load、Shear and Bending Moment,(6)Q图,M图的 直接作图法-简易法,55,作业: 4-2(d),(e),(g) 4-3(f),(m),4-4(c),4-12,4-4 Improtant Relationships of Load、Shear and Bending Moment,Q图,M图的直接作图法 -简易法:,解:(1)求支反力:,(2)作内力图:(显然,全梁需分三段),AD段:,DB段:,BE段:,5.6m,113.6,C,4-5 按叠加原理作弯矩图 Superposition Method of Moment Diagrams,当梁在荷载作用下的变形为微小变形时，其跨长的改变可略去不计，因而在求梁的支反力、剪力和弯矩时，均可按其原始尺寸进行计算，而所得到的结果均与梁上荷载成线性关系。在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力、剪力和弯矩将不受其他荷载的影响。这样，当梁上受几项荷载共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面上弯矩的代数和。这实际上是一个带有普遍性的原理，即叠加原理: 由几个外力共同作用时所引起的某一参数(内力、应力或位移),等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的代数和。 由于弯矩可以叠加,故表达弯矩沿梁长度变化情况的弯矩图也可以叠加。即先分别作出各