2019版高中数学第三章不等式3.5.2简单线性规划课件新人教B版必修5.pptx

3.5.2 简单线性规划,1.体会线性规划的基本思想在求解实际问题中的作用,会求解简单的线性规划问题. 2.经历在线性约束条件下,求实际问题中的线性目标函数的最值问题的求解过程,提高用线性规划解决实际问题的能力.,线性规划中的基本概念,名师点拨1.线性约束条件包括两点:一是关于变量x,y的不等式(或等式),二是次数为1. 2.目标函数与线性目标函数的概念不同,线性目标函数在变量x,y的次数上做了严格的限定:一次解析式,即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数. 3.可行解必须使线性约束条件成立,而可行域是所有的可行解构成的一个区域.,【做一做1】 目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时,z的意义是( ) A.该直线的截距 B.该直线的纵截距 C.该直线纵截距的相反数 D.该直线的横截距 解析:y=2x-z,故z的意义是该直线纵截距的相反数.故选C. 答案:C,【做一做2】 设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=y-2x的最小值为( ) A.-7 B.-4 C.1 D.2 解析:作约束条件 所表示的可行域,如图所示,z=y- 2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当直线过点A(5,3)时,z取最小值,且为-7,故选A.,答案:A,一,二,一、图解法求最值的实质,且随z变化的一族平行线.于是,把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时,直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题.当B0时,z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大;当B0时,z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小. 名师点拨1.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处可使目标函数取得最大或最小值,最优解一般就是多边形的某个顶点. 2.由于最优解是通过图形来观察的,故作图要准确,否则观察的结果可能有误.,一,二,二、常见的线性规划问题类型 剖析:(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用: 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务; 二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. (2)线性规划问题的常见类型有: 物资调运问题 例如已知A1,A2两煤矿每年的产量,煤需经B1,B2两个车站运往外地,B1,B2两车站的运输能力是有限的,且已知A1,A2两煤矿运往B1,B2两车站的运输价格,煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?,一,二,产品安排问题 例如某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A,B,C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的,这个厂每月应如何安排产品的生产,才能使每月获得的总利润最大? 下料问题 例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管,怎样下料能使损耗最小?,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,线性目标函数的最值问题 【例1】 若变量x,y满足约束条件 且z=5y-x的最大 值为a,最小值为b,则a-b的值是( ) A.48 B.30 C.24 D.16,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,解析:画出可行域,如图所示.,即A点坐标为(4,4), 画直线5y-x=0,当其平移至过点A(4,4)时,z取得最大值;当其平移至过点B(8,0)时,z取得最小值,所以zmax=54-4=16,zmin=0-8=-8,即a=16,b=-8,故a-b=24. 答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,反思在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”,即: (1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by); (2)移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点; (3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值; (4)答:给出正确答案.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,【变式训练1】 设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=3x-2y的最小值为( ) A.-5 B.-4 C.-2 D.3 解析:画出可行域,如图所示的阴影部分,作直线l0:3x-2y=0,平移至点A时,目标函数取得最小值,且A(0,2),故zmin=30-22=-4.,答案:B,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,题型六,【例2】 若实数x,y满足不等式组 且x+y的最大值为9,则实数m=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,题型六,解得m=1. 答案:C 反思已知目标函数的最值,求线性约束条件的参数问题,可以先画出线性约束条件中的已知部分,由于最值一般在可行域的顶点或边界处取得,常常利用数形结合的方法求解.,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,题型六,【变式训练2】 已知x,y满足 设z=ax+y(a0),若 当z取最大值时对应的点有无数多个,求a的值.,解:由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示. 一般情况下,当z取最大值时,直线所经过的点都是唯一的,但若直线平行于边界直线,如图所示,即直线z=ax+y(a0)平行于直线AC,则直线经过线段AC上任意一点时,z均取得最大值,此时满足条件,即有无数多个点使函数取得最大值.,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,题型六,分析知,当直线y=-ax+z刚好移动到直线AC时,将会有无数多个点使函数取得最大值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,非线性目标函数的最值问题,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,解:作出可行域,如图阴影部分所示.可求得A(1,3),B(3,1),C(7,9).,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,解:(1)u=x2+y2表示可行域内的点到原点O的距离的平方,由图可知,点C(3,8)到原点O的距离最大,点O(0 ,0)到原点O的距离最小, 所以umax=73,umin=0.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,简单的线性规划问题 【例4】 某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每100克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位,售价0.5元,米饭每100克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位,售价0.4元,学校要求给学生配制盒饭,每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,问应如何配制盒饭,才既科学又费用最少? 分析:根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,再用图解法解之.先作可行域,再作出初始直线l0,通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点,便得最优解,再进一步求最值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,解:设每盒盒饭需要面食x百克,米饭y百克,作出可行域,如图阴影部分所示.,令z=0,作直线l0:0.5x+0.4y=0,即直线5x+4y=0. 由图形可知,把直线l0平移至过点A时,z取最小值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,反思1.在线性规划应用问题中,常常是题中的条件较多,因此认真审题非常重要. 2.线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断. 3.结合实际问题,分析未知数x,y等是否有限制,如x,y为正整数、非负数等. 4.分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等式,而线性目标函数却是一个等式. 5.图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上都是在图上完成的,所以作图应尽可能准确,图上操作尽可能规范.但作图中必然会有误差,假如图上的最优点不容易看出时,需将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一检查,以确定最优解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,【变式训练4】 某工厂投资生产A产品时,每生产一百吨需要资金200万元,需场地200平方米,可获得利润300万元;投资生产B产品时,每生产一百吨需要资金300万元,需场地100平方米,可获利润200万元.现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,问应做怎样的组合投资,可使获利最大? 分析:这是一个线性规划问题,可将题中数据整理成下表,设未知数列出约束条件和目标函数,最后作图求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,解:设生产A产品x百吨,生产B产品y百吨,利润为S百万元,作出可行域(如图阴影部分所示),题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型六,与可行域相交.由图知,使3x+2y取得最大值的(x,y)是两直线2x+y=9与2x+3y=14的交点M(3.25,2.50).此时Smax=33.25+22.50=14.75. 答:生产A产品3.25百吨,生产B产品2.50百吨时,获利最大,且最大利润为14.75百万元.,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型六,最优整数解的问题 【例5】 某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元 解析:设需A,B型车分别为x,y辆(x,yN),题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型六,设租金为z,则z=1 600x+2 400y,画出可行域如图,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z最小等于36 800,故选C.,答案:C 反思如果要求最优整数解,可先求出线性规划的最优解,若它是整数解,则问题解决;若不是,要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解,可通过精确作图,打网格的办法求得.,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型六,【变式训练5】 配制A,B两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂A种药需甲料3毫克,乙料5毫克;配一剂B种药需甲料5毫克,乙料4毫克,今有甲料20毫克,乙料25毫克,若A,B两种药至少各配一剂,问共有多少种配制方法?若A种药价值10元,B种药价值20元,则配出的药价值最大为多少?,上述不等式组的解集是以直线x=1,y=1,3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域内的整点(如图所示),这个区域内的整点为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1).,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型六,所以,在至少各配一剂的情况下,共有8种不同的配制方法. 由目标函数z=10x+20y,作直线l:10x+20y=0,平移直线l过整点(1,3)和(3,2)时,z最大,此时zmax=70(元).,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型六,易错辨析 易错点:在解答线性规划实际问题时,因忽视整点的要求而致误 【例6】 某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y需满足约束条件 则z=10x+10y的最大值是 .,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型六,答案:90,1 2 3 4 5,1若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值和最小值分别为( ) A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0 解析:画出可行域如图阴影部分所示. 画出直线2x+y=0,并向可行域方向移动, 当直线经过点(1,0)时,z取最小值. 当直线经过点(2,0)时,z取最大值. 故zmax=22+0=4,zmin=21+0=2. 答案:B,1 2 3 4 5,2设E为平面上以三点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),则z=4x-3y,(x,y)E的最大值与最小值分别为( ) A.14,-18 B.-14,-18 C.18,14 D.18,-14 解析:当动直线z=4x-3y通过点B时,z取最大值,通过点C时,z取最小值,即zmax=4(-1)-3(-6)=14,zmin=4(-3)-32=-18. 答案:A,1 2 3 4 5,3已知变量x,y满足 则z=3x+y的最大值是 . 答案:16,1 2 3 4 5,4已知变量x,y满足约束条件1x+y4,-2x-y2.若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为 . 解析:变量x,y满足约束条件1x+y4,-2x-y2.在直角坐标系中画出可行域,如图阴影部分所示,得四边形ABCD,其中A(3,1),kAD=1,kAB=-1,目标函数z=ax+y(其中a0)中的z表示斜率为-a的直线截距的大小,若仅在点(3,1)处取得最大值,则斜率应小于kAB=-1,即-a1,所以a的取值范围为(1,+).,答案:(1,+),1 2 3 4 5,5某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐,已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿