高中数学选修4-4坐标系.ppt

第一讲 坐标系,xxz,一、平面直角坐标系,1、平面直角坐标系,思考:,思考:,思考:,探究,根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：,（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；,（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；,（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。,x,O,2,y=sinx,y=sin2x,二.平面直角坐标系中的伸缩变换,思考：,（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?,在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x.,（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。,O,2,y=sinx,y=3sinx,y,x,在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。,（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。,设点P（x,y）经变换得到点为,（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。,O,2,y=sinx,y=3sin2x,y,x,在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.,设点P（x,y）经变换得到点为,（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。,定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换,的作用下，点P(x,y)对应 称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。,注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。,例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换,后的图形。,（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1,1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换： 曲线4x2+9y2=36变为曲线,2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换 后， 曲线C变为 ，求曲线C的方程并画出图形。,课堂小结： （1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题； （2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。,题型一 轨迹探求,例1 线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且|AB|4，求AB中点P的轨迹方程,分析：题目未给出坐标系，因此，应先建立适当的坐标系，显然以互相垂直的两直线分别为x轴，y轴最合适 解析：解法一 以两条互相垂直的直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，如图所示,解法二 建立直角坐标系，同解法一 设P(x，y)，A(x1，0)，B(0，y2)， 则xy16. 又P为AB的中点，所以x12x，y22y. 代入，得4x24y216. 故点P的轨迹方程为x2y24. 答案：x2y24,点评： 1求曲线方程一般有下列五个步骤： (1)建立适当的直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素，使得解题更加简化； (2)写出适当条件P下的点M的集合：M|P(M)； (3)用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)0； (4)化简方程f(x，y)0(必须是等价变形)； (5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上，补上遗漏点或挖去多余点,一般地，方程的变形过程是等价的，步骤(5)可以省略 2求曲线方程主要有以下几种方法： (1)条件直译法：如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，我们可以把这些关系直译成含“x，y”(或、)的等式，我们称之为“直译” (2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称之为相关点如果相关点满足的条件简单、明确，就可以用动点坐标把相关点的坐标表示出来，再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动点的轨迹,(3)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系，如果借助中间参量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这样便可得动点的轨迹方程 (4)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程再确定其中的基本量 3在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注意： (1)选择适当的坐标系，坐标系如果选择恰当，可使解题过程简化，减少计算量,(2)要注意给出曲线图形的范围，要在限定范围的基础上求曲线方程如果只求出曲线的方程，而没有根据题目要求确定出x、y的取值范围，最后的结