向量组的线性相关性ppt课件

一 相关性的定义,第11讲 向量组的线性相关性,相关性的判别,定理判别,几个特殊定理,三 一个结论,定义判别,1,向量组之间的线性关系,向量组 B 能 由向量组 A 线性表示,向量组 A 与 向量组 B 等价,向量 b 能由 向量组 A 线性表示,2,向量b 能否由 向量组 A： a1, a2, , am 线性表示,判断 R (A, b ) 与R (A) 是否相等,R (A) R (A, b ),（2）b不能由向量组 A线性表示,（1）b 可由向量组 A: a1，a2， ，am线性表示，且表示式唯一,b 可由向量组 A: a1，a2， ，am线性表示，且表示式不唯一,R (A)=R (A, b ) m,R (A)=R (A, b ) = m,3,例3 给定向量组:,及向量,问：k为何值时，(1) b 能由1, 2, 3 线性表示?,解,0 0 k-2 -4,0 1 -1 3,1 0 2 -1,(A ),A,(2) b 不能由1, 2, 3 线性表示?,4,一 相关性的定义,第11讲 向量组的线性相关性,相关性的判别,定理判别,几个特殊定理,三 一个结论,定义判别,5,一、 相关性的定义,向量组 A ：a1, a2, , am 线性相关： P87定义4 k1a1 + k2a2 + + kmam,=O,如果存在不全为零的实数 k1, k2, , km ，使得,否则称它是线性无关的,6,注：,向量组a1，a2， ，am线性相关,P87,证明,设向量组a1，a2， ，am线性相关,则存在k 1，k2， ，km 不全为0,使得,k1a1k2a2 kmamo,不妨假设,则,k1a1= - k2a2 - -kmam,a1= - a2 - - am,7,注：,向量组a1，a2， ，am线性相关,P87,证明,向量组有一个向量(不妨假设为am) 能由其余向量线性表示,则存在k1， ，km-1,，使得,因此: 向量组a1，a2， ，am线性相关,8,一、 相关性的定义,等式成立当且仅当 k1 =k2 = =km=0,例：向量组A:,线性相关,=O,例：向量组B:,线性无关,9,一、 相关性的定义,注:,1.对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关.,3.向量组含有两个向量时：相关,对应分量成比例P87,2、向量组只包含一个向量时，,例:,向量组A:,10,注：4、,向量组a1，a2， ，am线性相关,4向量组a1，a2， ，am线性无关,P87,11,1、定义 2、定理判定定理 3、几种特殊的判定定理,12,例 设 线性无关,证明 也是线性无关的。,a1，a2，a3,1、定义判别,证明 ：设有一组实数 使得,则,故 线性无关。,P89例6,13,例2 设,证明,线性相关,证明 ：设有一组实数 使得,取,故：向量组 b1，b 2，b 3 线性相关,可以不全为零,14,例 判断向量组A是否线性相关,解：设有一组实数 使得,问题转化为齐次方程组 是否有非零解？,A=（a1, a2 , a3）是由向量组构造的矩阵,15,定理1,向量组构成的矩阵的秩 向量个数,R(A) m,2、定理判别,P88定理4,相关,无关,R(A) = m,定理2,16,特别地，若向量组构成的矩阵 A 为方阵,向量组A : 线性相关,2、 定理判定,向量组A : 线性无关,17,解,例1 判断向量组是否线性相关,向量组 a1，a 2，a 3 线性相关,向量组对应的矩阵为,向量个数3,R(A) (=) 向量个数,18,例3,试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性,解：,可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关；,同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关,19,例4 已知向量组 线性相关,求k 值,解:,线性相关,k 2 2,2 2 k,2 k 2,A 为方阵,20,3、几种特殊的判定定理,（1）向量组含有零向量,相关,（2) 向量组里有两个向量成比例,相关,（3）部分相关,整体相关,（4）整体无关,部分无关,（5）向量的维数向量的个数,相关,n+1个n维向量一定线性相关,P90 定理5,21,结论 若向量组 线性无关，,而 线性相关,