1[1].2薛定谔方程

这个问题已经由Schrdinger方程圆满解决。下面用一个简单的方案来引进这个方程。,先讨论自由粒子：,量子力学中最核心的问题就是要解决波函数 如何随时间演化以及在各种具体情况下找出描述体系状态的各种可能的波函数。,1.2 Schrdinger 方程,1.2.1 Schrdinger 方程的引进,其能量与动量的关系是,按照de Broglie关系,即与具有一定能量 和动量 的粒子相联系的是平面单色波,由上式可以看出,利用式（1），可以得出,即,描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包的形式，即为许多平面单色波的叠加,由此，不难证明,所以,可见如式（5）所示的波包仍满足方程(4). 所以方程(4)是自由粒子的波函数满足的方程.,即,在方程(1)中,令,并作用于波函数 上,就可得出方程(4).,在此基础上,我们进一步考虑在势场 中运动 的粒子，可以得到,上式就是单粒子的Schrdinger波动方程.,它揭示了微观世界中物质运动的基本规律.,下面将围绕它进行一系列的讨论.,1. 定域的概率守恒,Schrdinger 方程是非相对论量子力学的基本方程. 在非相对论(低能)情况下,实物粒子( )没有产生和湮没现象,所以在随时间演化的过程中,粒子数目保持不变.对于一个粒子来说,在全空间中找到它的概率之总和应不随时间变化,即,1.2.2 Schrdinger 方程的讨论,以上结论可以从 Schrdinger 方程加以论证:,由 ,得,对式(7)取复共轭,(注意 ),得,将上式在空间区域 中积分,由 Gauss 定理,可得,令,表示概率密度, 表示概率流密度.,因此,式(11)可化为,所以 具有概率流(粒子流)密度的意义,是一个矢量.,上式左边代表在闭区域 中找到粒子的总概率(或粒子数)在单位时间内的增量,而右边(注意负号!)则应表示单位时间内通过 的封闭表面 而流入 内的概率(粒子数).,式(11)或(14)是概率(粒子数)守恒的积分表达式, 而式(10)可改写为,上式即为概率守恒的微分表达式.,即：归一化性质不随时间而改变.在物理上这表示粒子既未产生也未湮没.,在式(11)中,让 (全空间),得,上面提到的概率守恒具有定域的性质.,2. 初值问题,传播子,由于Schrdinger 方程只含波函数 对时间的一次微商,只要在初始时刻 ( )体系的状态 给定,则以后任何时刻 的状态 原则上就完全确定了.,在一般情况下,这个初值问题的求解是不容易的,往往要采用近似方法.但对于自由粒子,容易严格求解.,满足自由粒子Schrdinger 方程的解具有如下的形式：,式中 .,的初态波函数为,正是 的Fourier展开的波幅,它并不依赖于,上式之逆变换即,把式(18)代入式(5),得,这样,体系的初始状态 完全决定了以后任何时刻 的状态 .,由初态 完全确定.,更一般讲,取初始时刻为 ,则,式中,对于自由粒子,这个传播子由式(21)明显给出.,可以证明,的物理意义如下,借助于传播子 ,体系在时刻 的状态 可由时刻 的状态 给出.,称为传播子(propagator).,设初始时刻 粒子处于空间 点, ,按式(20),所以 即 时刻在 点找到粒子的概率波幅.,因此,一般地说,如在 时刻粒子位于 点,则 时刻 在空间 点找到由 传来的粒子概率波幅就是 ,即粒子从 传播到了 .,由式(20)可以看出,在 时刻于空间 点找到粒子的概率波幅 是 时刻粒子在空间中各 点的概率波幅传播到 点后的相干叠加.,下面讨论势能 不显含时间 ,从初态 去求解末态 的情况.,此时,Schrdinger 方程的特解表示为,代入Schrdinger方程得,1.2.3 能量本征方程,在上式中, 是既不依赖于 ,也不依赖于 的常数.,这样,所以,因此,特解(23)可表示为,其中, 满足下列方程,论述:,从数学上讲,对于任何 E 值,不含时Schrdinger 方程(28)都有解.但并非对于一切 E 值所得出的解 都满足物理上的要求.,这些要求中,有些是根据波函数的统计诠释而提出的,有的是根据具体物理情况而提出的.如束缚态边条件,周期性边条件,散射态边条件等.,在束缚态边条件下,只有某些离散的 E 值所对应的解才是物理上可以接受的.,所以得到,能量本征方程(不含时Schrdinger方程),Schrdinger 方程的更普遍的表示是,此时,能量本征方程为,对于更复杂的体系的Schrdinger方程的具体表达式，关键在于如何写出其Hamilton量算符。,是体系的Hamilton算符.当 不显含 时,体系的能量是守恒量.,若在初始时刻( )体系处于某一个能量本征态 ,则,处于定态下的粒子具有如下特征:,形式如(31)的波函数所描述的态,称为定态(stationary state).,1.2.4 定态与非定态,(b) 任何(不显含 的)力学量的平均值不随时间改变.,若体系的初态不是能量本征态,而是若干个能量本征态的叠加,可以证明不同能量本征值相应的本征态正交,(a) 粒子在空间的概率密度 以及概率 流密度显然不随时间改变.,(c) 任何(不显含 的)力学量的测值概率分布也不随 时间改变(以后证明).,在式(32)中, 由初态 唯一确定,不难证明,满足含时Schrdinger方程,在式(35)所示状态下,粒子的能量平均值为,这种由若干个能量不同的本征态的叠加所形成的态, 称为非定态(nonstationary state).,为在式(35)所示状态下粒子能量取 值的概率.,设体系由N个粒子组成,粒子质量分别为 .体